2019年最新（统考）高考（全国卷）原创押题卷(二)数学理科试题及答案解析

高考原创押 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 卷（二）数学(理科)时间：120分钟　　　满分：150分第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{x∈N|y＝eq\r(5－x)}，A＝{x∈N*|x－4<0}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．{2}B．{4}C．{2，4，5}D．{0，2，4，5}2．已知i是虚数单位，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为复数z(1－i)的实部与虚部，则复数z的共轭复数为(　　)A.eq\f(1,2)－eq\f(3,2)iB.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)iD．－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i3．若双曲线E：eq\f(x2,2m－2)－eq\f(y2,m)＝1(m>1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±eq\f(5,4)xB．y＝±eq\f(9,16)xC．y＝±eq\f(3,4)xD．y＝±eq\f(4,3)x4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4＋a10＝40，则eq\f(2Sn＋30,n)的最小值为(　　)A．6eq\r(10)＋1B．20C.eq\f(41,2)D．195．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图2­1所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为(　　)图2­1A．459B．138C．115D．1036．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图2­2所示，并用图2­3所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示小组成员的物理成绩)，则输出的A，B值分别为(　　)图2­2图2­3A．76，37.5%B．75.5，37.5%C．76，62.5%D．75.5，62.5%7．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2eq\r(3)，∠ACB＝120°，AA1＝4，则该三棱柱外接球的体积为(　　)A.eq\f(16\r(2)π,3)B．64eq\r(2)πC．32πD.eq\f(64\r(2)π,3)8．p：∃x0∈R＋，x0lnx0＋xeq\o\al(2,0)－ax0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为(　　)A．a∈(0，3)B．a∈(－∞，3]C．a∈(3，＋∞)D．a∈[3，＋∞)9．已知a＝eq\f(2,π)eq\i\in(0,2,)eq\r(4x－x2)dx，实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≥0，,x－2y＋2≥0，,2x－y－4≤0，))则z＝x2＋y2＋ay的取值范围为(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(25,4)，8))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,5)，\f(212,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(8，\f(212,9)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(31,5)，8))10．若函数f(x)对定义域内任意x，都有f(x)＋f(－x)＝0，且对定义域内任意x1，x2，且x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是(　　)A．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(ex＋1,1－ex)，x≠0，,0，x＝0))B．f(x)＝ln(3x＋eq\r(9x2＋1))C．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x>0，,0，x＝0，,－x2＋2x＋1，x<0))D．f(x)＝tanx11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)的部分图像如图2­4所示，则关于函数g(x)＝－2Asin2(eq\f(ωx,2)＋eq\f(φ,2)＋A)，下列说法正确的是(　　)图2­4A．g(x)的单调递增区间为（eq\f(2kπ,3)，eq\f(2kπ,3)＋eq\f(2π,9)，k∈Z）B．直线x＝－eq\f(5π,18)是曲线y＝g(x)的一条对称轴C．将函数f(x)图像上所有的点向左平移eq\f(π,6)个单位长度，即可得到函数y＝g(x)的图像D．若函数g(x＋m)为偶函数，则m＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z12．已知函数y＝(x－2)ex＋1＋x2－2x＋a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，e2＋1]B．(－∞，e2＋1)C．(e2＋1，＋∞)D．(e2，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题　共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式(ax＋1)7展开式的各项系数和为128，(ax＋1)7＝a0＋a1(ax＋3)＋a2(ax＋3)2＋…＋a7(ax＋3)7，则a4＝________．14．已知在△DEF中，DE＝2，EF＝3，∠DEF＝60°，M是DF的中点，N在EF上，且DN⊥ME，则eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝________．15．已知直线2x＋y－2＝0与x轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C的焦点F，P是抛物线C上一点，以P为圆心，|PF|为半径的圆截x轴所得的弦长为2，则圆P的方程为________________．16．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前40项和为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，eq\f(b,c)＝eq\f(sinC－sinB－sinAcosB,sinAcosC－sinB).(1)求角A的大小；(2)若a＝2，△ABC是锐角三角形，求eq\f(4S△ABC,c)＋eq\r(3)c的取值范围．18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示： 不喜爱 喜爱 总计 五十岁以上(含五十岁) 10 b 22 五十岁以下(不含五十岁) c 4 46 总计 52 16(1)求2×2列联表中b，c的值，并判断是否有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关？(2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X，求X的分布列与数学期望．附： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(n＝a＋b＋c＋d)．19．(本小题满分12分)在如图2­5所示的四棱锥P­ABCD中，△PAB是边长为4的正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，BC＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点．(1)求证：BE⊥PC；(2)求二面角A­PD­C的正弦值．图2­520．(本小题满分12分)已知A，B分别是离心率为eq\f(\r(3),2)的椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点与右顶点，右焦点F2到直线AB的距离为eq\f(2\r(5)－\r(15),5).(1)求椭圆E的方程；(2)过M(0，2)作直线l交椭圆E于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ的面积的最大值．21．(本小题满分12分)函数f(x)＝a(x－1)ln(x－1)＋(bx＋1)(x－1)＋a＋1(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋1＝0，求实数a，b的值；(2)已知b＝1，当x>2时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－eq\f(3,4)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值． 参考答案 有机化学期末考试题统计学b答案数学分析3答案计算机必考试卷02新大家的日语参考答案 ·数学(理科)高考原创押题卷（二）1．D　[解析]由题知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，∴∁UA＝{0，4，5}，∴(∁UA)∪B＝{0，2，4，5}，故选D.2．B　[解析]由题知，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，－2，所以z(1－i)＝－1－2i，所以z＝－eq\f(1＋2i,1－i)＝－eq\f(（1＋2i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，故复数z的共轭复数为eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，故选B.3．C　[解析]由题知a2＝2m－2，b2＝m，c＝5，所以c2＝2m－2＋m＝25，解得m＝9，所以a＝4，b＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，故选C.4．B　[解析]设公差为d，由题知126＝S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝9a5，解得a5＝14，由2a7＝a4＋a10＝40，得a7＝20，所以d＝eq\f(a7－a5,2)＝3，所以a1＝a5－4d＝2，所以Sn＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(1,2)n，所以eq\f(2Sn＋30,n)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(10,n)))＋1.令y＝x＋eq\f(10,x)，该函数在(0，eq\r(10))上单调递减，在(eq\r(10)，＋∞)上单调递增，所以当n＝3时，eq\f(2Sn＋30,n)＝20，当n＝4时，eq\f(2Sn＋30,n)＝eq\f(41,2)，故eq\f(2Sn＋30,n)的最小值为20，故选B.5．C　[解析]由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋eq\f(1,3)×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.6．A　[解析]由程序框图，知输出的A表示本小组物理成绩的平均值，B表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A＝eq\f(55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋98,8)＝76，B＝eq\f(3,8)×100%＝37.5%，故选A.7．D　[解析]设该三棱柱的外接球的半径为R，底面所在截面圆的半径为r，由正弦定理，知2r＝eq\f(AB,sin120°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，所以r＝2，所以R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AA1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(,22＋22)＝2eq\r(2)，所以该三棱柱外接球的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π×（2\r(2)）3,3)＝eq\f(64\r(2)π,3)，故选D.8．A　[解析]由题知綈p：∀x∈R＋，xlnx＋x2－ax＋2≥0是真命题，即a≤lnx＋x＋eq\f(2,x)对x∈R＋恒成立．设f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,x)(x>0)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋1－eq\f(2,x2)＝eq\f(（x＋2）（x－1）,x2)，当0<x<1时，f′(x)＜0，当x>1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝3，∴a≤3，故选A.9．B　[解析]令y＝eq\r(4x－x2)＝eq\r(4－（x－2）2)，∴(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，∴eq\i\in(0,2,)eq\r(4－（x－2）2)dx表示直线x＝2，x轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的eq\f(1,4)圆的面积，∴a＝eq\f(2,π)eq\i\in(0,2,)eq\r(4－（x－2）2)dx＝2，∴目标函数z＝x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1表示可行域内点(x，y)与点M(0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，－2－4|,\r(12＋22))过M作直线x＋2y－4＝0的垂线，垂足为N，由图知，N在线段AB上，MN＝＝eq\f(6,\r(5))，∴zmin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,\r(5))))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(31,5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,2x－y－4＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(8,3)))，∴MC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)＋1))\s\up12(2))＝eq\f(\r(221),3)，∴zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(221),3)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(212,9)，∴z的取值范围为eq\f(31,5)，eq\f(212,9)，故选B.10．B　[解析]依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A，定义域为R，∀x∈R且x≠0，f(－x)＝eq\f(e－x＋1,1－e－x)＝eq\f(ex＋1,ex－1)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f(－1)＝eq\f(e－1＋1,1－e－1)>0＞f(1)＝eq\f(e＋1,1－e)，∴f(x)在定义域内不是增函数，故A不是“优美函数”；对选项B，∵9x2＋1>9x2，∴eq\r(9x2＋1)>|3x|，∴eq\r(9x2＋1)＋3x>|3x|＋3x≥0，∴f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln(3x＋eq\r(9x2＋1))＋ln[－3x＋eq\r(9（－x）2＋1)]＝ln[(3x＋eq\r(9x2＋1))(－3x＋eq\r(9x2＋1))]＝ln[9x2＋1－(3x)2]＝ln1＝0，∴该函数是奇函数，∵f′(x)＝eq\f(3＋\f(18x,2\r(9x2＋1)),3x＋\r(9x2＋1))＝eq\f(3,\r(9x2＋1))＞0，∴该函数在R上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋1＝eq\f(7,16)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f(7,16)，∴该函数在R上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D，由y＝tanx的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.11．C　[解析]由图知A＝3，f(0)＝3sinφ＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinφ＝eq\f(\r(3),2)，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴eq\f(ωπ,18)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴ω＝3，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3))).∵g(x)＝－2Asin2eq\f(ωx,2)＋eq\f(φ,2)＋A＝Acos(ωx＋φ)＝3cos（3x＋eq\f(π,3)）.令2kπ－π≤3x＋eq\f(π,3)≤2kπ，k∈Z，解得eq\f(2kπ,3)－eq\f(4π,9)≤x≤eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为（eq\f(2kπ,3)－eq\f(4π,9)），（eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)），k∈Z，故A错；∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,18)))＝3cos3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,18)))＋eq\f(π,3)＝0，∴直线x＝－eq\f(5π,18)不是曲线y＝g(x)的对称轴，故B错；∵将f(x)的图像向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y＝3sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\f(π,3)＝3sineq\f(π,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，故C正确；∵g(x＋m)＝3cos3(x＋m)＋eq\f(π,3)＝3cos3x＋3m＋eq\f(π,3)为偶函数，∴3m＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，∴m＝eq\f(kπ,3)－eq\f(π,9)，k∈Z，故D错．故选C.12．B　[解析]由题知，方程(x－2)ex＋1＋x2－2x＋a＝0有两个不同的解，即方程(x－2)ex＋1＝－x2＋2x－a恰有两个解．设g(x)＝(x－2)ex＋1，φ(x)＝－x2＋2x－a，则函数y＝g(x)的图像与y＝φ(x)的图像恰有两个交点．因为g′(x)＝ex＋1(x－1)，当x<1时，g′(x)＜0，当x>1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，g(x)取得最小值g(1)＝－e2.因为φ(x)＝－x2＋2x－a＝－(x－1)2－a＋1，所以当x＝1时，φ(x)取得最大值φ(1)＝1－a，则1－a>－e2，所以a<1＋e2，故选B.13．－280　[解析]令x＝1，得(a＋1)7＝128，解得a＝1，∴(ax＋1)7＝(x＋1)7＝[－2＋(x＋3)]7，∴a4＝Ceq\o\al(4,7)×(－2)3＝－280.14.eq\f(9,2)　[解析]设eq\o(EN,\s\up6(→))＝λeq\o(EF,\s\up6(→))，∴eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝λeq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→)).eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)))．∵DN⊥ME，∴eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)))·(λeq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(λ－1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋λ|eq\o(EF,\s\up6(→))|2－|eq\o(ED,\s\up6(→))|2]＝eq\f(1,2)[(λ－1)×2×3×eq\f(1,2)＋λ×32－22]＝0，解得λ＝eq\f(7,12)，∴eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(7,12)eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))·(eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→)))＝eq\f(7,12)|eq\o(EF,\s\up6(→))|2－eq\f(19,12)eq\o(ED,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＝eq\f(7,12)×32－eq\f(19,12)×2×3×eq\f(1,2)＋22＝eq\f(9,2).15．x2＋y2＝1或(x－2)2＋(y±2eq\r(2))2＝9　[解析]由题知F(1，0)，故抛物线C的焦点在x轴上，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.设P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝4x0，根据抛物线的定义，知|PF|＝1＋x0，圆心P到x轴的距离为|y0|，由垂径定理，得(1＋x0)2＝yeq\o\al(2,0)＋12，即(1＋x0)2＝4x0＋1，解得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y0＝0，|PF|＝1，圆P的方程为x2＋y2＝1；当x0＝2时，y0＝±2eq\r(2)，|PF|＝3，圆P的方程为(x－2)2＋(y±2eq\r(2))2＝9.16.eq\f(7（240－1）,15)　[解析]由题设知a2－a1＝1①，a3＋a2＝2②，a4－a3＝22③，a5＋a4＝23，a6－a5＝24，a7＋a6＝25，a8－a7＝26，a9＋a8＝27，a10－a9＝28，a11＋a10＝29，a12－a11＝210，…，a38－a37＝236，a39＋a38＝237，a40－a39＝238，∴②－①得a1＋a3＝1，③＋②得a4＋a2＝3×2，同理可得a5＋a7＝24，a6＋a8＝3×25，a9＋a11＝28，a10＋a12＝3×29，…，a37＋a39＝236，a38＋a40＝3×237，∴a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，…，a37＋a39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a2＋a4，a6＋a8，a10＋a12，…，a38＋a40是首项为6，公比为24，项数为10的等比数列，∴数列{an}的前40项和为eq\f(1－1610,1－16)＋eq\f(6（1－1610）,1－16)＝eq\f(7（240－1）,15).17．解：(1)由eq\f(b,c)＝eq\f(sinC－sinB－sinAcosB,sinAcosC－sinB)及正弦定理，得eq\f(b,c)＝eq\f(c－b－acosB,acosC－b)，即c2－bc－accosB＝abcosC－b2，2分由余弦定理，得c2－bc－ac·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)－b2，整理得c2＋b2－a2＝bc，4分∴cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，5分∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).6分(2)由正弦定理，得eq\f(2,sin\f(π,3))＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(4,\r(3))sinB，c＝eq\f(4,\r(3))sinC，8分∴eq\f(4S△ABC,c)＋eq\r(3)c＝4×eq\f(1,2c)bcsineq\f(π,3)＋eq\r(3)c＝eq\r(3)(b＋c)＝4(sinB＋sinC)＝4sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝4sinB＋sineq\f(2π,3)cosB－coseq\f(2π,3)sinB＝4eq\r(3)eq\f(\r(3),2)sinB＋eq\f(1,2)cosB＝4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).10分由(1)知B＋C＝eq\f(2π,3)，∴C＝eq\f(2π,3)－B＜eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤1，∴6<4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤4eq\r(3)，∴eq\f(4S△ABC,c)＋eq\r(3)c的取值范围为(6，4eq\r(3)].12分18．解：(1)由题知b＝22－10＝12，c＝52－10＝42.由2×2列联表中的数据，得K2＝eq\f(68×（10×4－42×12）2,52×16×22×46)≈17.388＞6.635，4分∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关．5分(2)X的可能取值为0，1，2，3，6分P(X＝0)＝3,12)eq\f(C,Ceq\o\al(3,16))＝eq\f(11,28)，P(X＝1)＝2,12)eq\f(CCeq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,16))＝eq\f(33,70)，P(X＝2)＝1,12)eq\f(CCeq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,16))＝eq\f(9,70)，P(X＝3)＝3,4)eq\f(C,Ceq\o\al(3,16))＝eq\f(1,140)，9分∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq\f(11,28) eq\f(33,70) eq\f(9,70) eq\f(1,140)10分∴E(X)＝0×eq\f(11,28)＋1×eq\f(33,70)＋2×eq\f(9,70)＋3×eq\f(1,140)＝eq\f(3,4).12分19．解：(1)证明：设AB的中点为F，连接PF，EF，BE，FC，设FC∩BE＝O，∵△PAB是边长为4的正三角形，∴PF⊥AB，BF＝2.∵平面PAB⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，∵BE⊂平面ABCD，∴PF⊥BE.2分∵E是CD的中点，底面ABCD是平行四边形，BC＝2，∴EF∥BC，AB∥CD，BF＝BC，∴四边形BCEF是边长为2的菱形，∴BE⊥FC.∵FC∩PF＝F，∴BE⊥平面PFC.又PC⊂平面PFC，∴BE⊥PC.5分　(2)由(1)知，PF＝2eq\r(3)，PF⊥平面ABCD，四边形BCEF是边长为2的菱形，∠FBC＝60°，BE⊥FC，∴OB＝OE＝eq\r(3)，OC＝OF＝1.以O为原点，过O作PF的平行线为z轴，以OC，OB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C(1，0，0)，F(－1，0，0)，E(0，－eq\r(3)，0)，P(－1，0，2eq\r(3))，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，0)，∴A(－2，－eq\r(3)，0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2，－2eq\r(3)，0)，∴D(－1，－2eq\r(3)，0)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，0)，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，2eq\r(3)).7分设平面PAD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AD,\s\up6(→))＝x1－\r(3)y1＝0，,m·\o(DP,\s\up6(→))＝2\r(3)y1＋2\r(3)z1＝0，))令y1＝1，则x1＝eq\r(3)，z1＝－1，∴m＝(eq\r(3)，1，－1)．设平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CD,\s\up6(→))＝－2x2－2\r(3)y2＝0，,n·\o(DP,\s\up6(→))＝2\r(3)y2＋2\r(3)z2＝0，))令y2＝1，则x2＝－eq\r(3)，z2＝－1，∴n＝(－eq\r(3)，1，－1)，9分∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－\r(3)×\r(3)＋1×1－1×（－1）,\r(（－\r(3)）2＋12＋（－1）2)×\r(（\r(3)）2＋12＋（－1）2))＝－eq\f(1,5)，11分设二面角A­PD­C的平面角为θ，则sinθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(6),5)，∴二面角A­PD­C的正弦值为eq\f(2\r(6),5).12分20．解：(1)由题知，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\f(\r(3),2)a，∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\f(1,2)a，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，B(a，0)，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，0))，∴直线AB的方程为x＋2y－a＝0，∴eq\f(\f(\r(3),2)a－a,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5)－\r(15),5)，解得a＝2，∴b＝1，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.4分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，显然直线l的斜率一定存在，故设直线l方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程x2＋4y2－4＝0，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>eq\f(3,4)，x1＋x2＝－eq\f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(12,1＋4k2)，7分∴|PQ|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋k2）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16k,1＋4k2)))\s\up12(2)－4×\f(12,1＋4k2))))＝4eq\r(\f(（1＋k2）（4k2－3）,（1＋4k2）2))，原点O到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，9分∴S△OPQ＝eq\f(1,2)|PQ|·d＝4eq\r(\f(4k2－3,（1＋4k2）2))，设t＝eq\r(4k2－3)，则4k2＝t2＋3，t>0，∴S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t))≤eq\f(4,2\r(t·\f(4,t)))＝1，当且仅当t＝eq\f(4,t)，即k＝±eq\f(\r(7),2)时，取等号，11分∴△OPQ的面积的最大值为1.12分21．解：(1)f(x)的定义域为(1，＋∞)，f′(x)＝aln(x－1)＋a＋2bx＋1－b，由题知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）＝2b＋1＋a＋1＝3，,f′（2）＝a＋4b＋1－b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1.))4分(2)当b＝1时，f(x)＝a(x－1)ln(x－1)＋(x＋1)(x－1)＋a＋1，当x>2时，由f(x)＞0，知eq\f(f（x）,x－1)＝aln(x－1)＋eq\f(a＋1,x－1)＋x＋1＞0，设g(x)＝aln(x－1)＋eq\f(a＋1,x－1)＋x＋1(x>2)，∴g′(x)＝eq\f(a,x－1)－eq\f(a＋1,（x－1）2)＋1＝eq\f(x2＋（a－2）x－2a,（x－1）2)＝eq\f(（x－2）（x＋a）,（x－1）2).7分当a≥－2时，－a≤2，g′(x)＞0，∴g(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，∴g(x)＞g(2)＝a＋1＋2＋1≥0，解得a≥－4，∴a≥－2；9分当a<－2时，－a>2，当2<x<－a时，g′(x)＜0，当x>－a时，g′(x)＞0，∴g(x)在区间(2，－a)上是减函数，在区间(－a，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(－a)＝aln(－a－1)＋eq\f(a＋1,－a－1)－a＋1＝aln(－a－1)－a，由题知g(x)min＝aln(－a－1)－a＞0，即ln(－a－1)<1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－2，,－a－1<e，))解得－e－1<a<－2.11分综上所述，实数a的取值范围为(－e－1，＋∞)．12分22．解：(1)由题知tanα＝－eq\f(3,4)＜0，0<α<π，∴eq\f(π,2)<α<π，sinα＝－eq\f(3,4)cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)cosα))eq\s\up12(2)＋cos2α＝1，解得cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，∴直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t为参数).3分由ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，得ρ＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得x2＋y2－4x－4y＝0，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0.5分(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x2＋y2－4x－4y＝0内部，∴直线l与曲线C相交.7分设直线l与曲线C的交点M，N对应的参数分别为t1，t2，将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(4,5)t，,y＝1＋\f(3,5)t))(t为参数)代入x2＋y2－4x－4y＝0，整理得t2＋eq\f(2,5)t－6＝0，∴t1＋t2＝－eq\f(2,5)，t1t2＝－6，∴|MN|＝|t1－t2|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))\s\up12(2)－4×（－6）)＝eq\f(2\r(151),5)，故直线l被曲线C截得的弦长为eq\f(2\r(151),5).10分23．解：(1)∵f(x)＝|x－1|－|2x－3|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x≤1，,3x－4，1<x<\f(3,2)，,2－x，x≥\f(3,2)，))∴f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数，∵f(0)＝－2，f(3)＝－1，∴当0≤x≤3时，f(x)min＝f(0)＝－2，则m≤－2.5分(2)由(1)知，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(1,2)，∴a＋2b＝eq\f(1,2)ab，∴eq\f(2,b)＋eq\f(4,a)＝1，∴a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(4,a)))＝8＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(4b,a)))≥8＋2×2eq\r(\f(a,b)×\f(4b,a))＝16，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b＝8时，a＋2b取得最小值16.10分