基本不等式中解决最值问题的9种题型基本不等式与
函数
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相结合的最值问题若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【解析】因为两个不等的实根是和，不妨令，故可得，解得，则=，故选：C.【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.的最小值为（）A．2B．16C．8D．12【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.【解析】∵，∴，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.已知函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点A，若点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为________．【解析】由题意可知函数y＝logax＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)－4＝0上，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq\f(1,4)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝1，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时等号成立，∴m＋n的最小值为1.基本不等式与线性规划相结合的最值问题已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（）A．3B．1C．2D．【分析】画出可行域，根据目标函数最大值求关系式，再利用不等式求得最小值.【解析】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D基本不等式与数列相结合的最值问题已知递增等差数列中，，则的（）A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则eq\f(1,ab)的最小值为________．【解析】由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正数，故2ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以eq\f(1,ab)的最小值为eq\f(1,2).基本不等式与向量相结合的最值问题如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根据条件：,,又,.又,,三点共线,.,,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由题意可知（+）• =0，即（，）• (，－2)=0．所以曲线C的方程式为．（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即．则点到的距离．又，所以当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且面积最大？若存在，求出点坐标及相对应的面积；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由，所以，设是椭圆上任意一点，则，∴，所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（Ⅱ）存在点满足
要求
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，使得面积最大．假设直线与圆相交于不同两点,则圆心到的距离，∴①因为在椭圆上，所以②，由①②得：∵所以，由②得代入上式得，当且仅当，∴，此时满足要求的点有四个．此时对应的的面积为．基本不等式与圆相结合的最值问题设，，若直线与圆相切，则取值范围是（）A．B．C． D．【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离，所以，设，则，解得.基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【解析】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。已知，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．9B．12C．16D．20【分析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可【解析】，，，当且仅当时，等号成立，故。基本不等式与立体几何相结合的最值问题如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C基本不等式与解三角形相结合的最值问题在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（）A．B．C．D．【解析】,由正弦定理得，由余弦定理得，，，当且仅当时，等号成立，，所以的最大值为.的内角所对的边分别为．（=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI）若成等差数列，证明：；（=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII）若成等比数列，求的最小值．【解析】（1）成等差数列，，由正弦定理得，（2）成等比数列，，由余弦定理得（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为
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