小升初奥数几何之立体图形
立体图形
一、问题简介
小学
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阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的
表
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面积、体积计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。下表
总结
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了四大立体图形的相关知识点:
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二、常见题型和解题方法
(一)表面积和体积
立体图形表面积、体积的求法有很多种,也比较杂,在这里我们重点介绍四种比较经典和巧妙的方法——拼接法、三视图法、切片法、套模法!其中套模法比较难,在长沙小升初考试中用到的很少,但是在各奥数杯赛中是一种很好解决立体几何难题的方法,所以大家对于这种方法可以有选择的学习!
1、拼接法
与平面几何中的方法类似,将不规则的图形体积、表面积化作规则的体积进行加减计算的方法,主要适用于立体图形的体积和表面积。
例1、如图所示,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米?(π取3.14)
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例2、如图是一个正方体,它的棱长为4cm,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体,问:此图的表面积是多少?
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2、三视图法
主要适用于求正方体积木图形的表面积计算,以及染色问题或计数问题,从上、前、做这三个基本视角,分析图形的表面积。
例、用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?
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3、切片法
主要适用于求具有穿孔结构或内部结构,并且“孔”之间有重叠的立体图形的体积计算。所谓“切片法”,就是把整个立体图形某个方向切成一片一片的(或一层一层的),然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目,化立体为平面,最后再把它们相加。
例、一个由125个同样的小正方体组成的大正方体,从这个大正方体中抽出若干个小正方体,把大正方体中相对的两面打通,下图就是抽空的状态。求图中剩下的小正方体有多少个?
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4、套模法
割补法的引申,分析立体图形的展开图,以最适合该立体图形的基本几何图形为模型,看看它们与基本立体图形相比,缺少了哪些部分,再在该图形上进行切割。这样做基于两点考虑,一是如果有类似的模型,可以直接应用其计算公式;二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面,那么可以从这个模型入手。
此法可以说是解不规则立体图形最难的方法了,需要非常强的空间想象能力,但是大家也不用恐慌,一般我们是在正方体这个最特殊的基本立体图形上套膜的!
例、图中的⑴、⑵、⑶、⑷是同样的小等边三角形,⑸、⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍,⑺、⑻、⑼、⑽是同样的等腰直角三角形,⑾是正方形。那么,以⑸、⑹、⑺、⑻、⑼、⑽、⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴、⑵、⑶、⑷为平面展开图的立体图形体积的几倍?
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(二)染色计数
染色计数问题一直是立体图形的一个考查方面,有时还会结合数论中的最值问题,此时难度就会加大。解决这类问题时要牢牢把握立体图形染色面不同时相应的计算方法,再结合数论知识解决!
例1、将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后,锯成边长为1的小正方形木块1000块。问:这一千块小正方体木块中,没有涂红色的共有多少块?只有一个面是红色的共有多少块?恰有两个面为红色的共有多少块?恰有三个面为红色的共有多少块?
【详解】没涂色的小正方块共有:(10-2)×(10-2)×(10-2)=8×8×8=512块,只有一面涂色的共有:(10-2)×(10-2)×6=8×8×6=384块;恰有两个面为红色的共有:(10-2)×12=8×12=96块;恰有三个面为红色的共有:18块。
例2、有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体,其中34个为白色的,30个为黑色的。现将它们拼成一个4×4×4的大正方体,在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米?
【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多,相当于要使大正方体表面上黑色部分最少,那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来。
在整个大正方体中,没有露在表面的小正方体有:(4-2)×(4-2)×(4-2)=8(个),用黑色的;在面上但不在边上的小正方体,即只露出一个面的有:(4-2)×(4-2)×6=24(个),其中:30-8=22(个)用黑色。
这样,在表面的:4×4×6=96(个)小正方形中,有22个是黑色,剩下的:96-22=74(个)就是白色。所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米。
(三)容积
这里我们研究的是不规则立体图形里面装了部分液体(未满),求液体体积或者不规则图形的容积这类问题。解题思路是通过已知条件抓住液体与空气的体积比,从而求出液体或不规则图形的容积!
例、一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如图所示,已知它的容积为26.4π立方厘米。当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米;瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米。问:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升?
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(四)旋转体
旋转体是由平面图形通过旋转转变成了立体图形,解决这类题型的关键是要通过空间想象得出旋转体的形状,进一步才能求出其体积等!
例、如图,ABCD是矩形,BC=6cm,AB=10cm,对角线AC、BD相交O。E、F分别是AD与BC的中点,图中的阴影部分以EF为轴旋转一周,则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米?(π取3)
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三、经典例题详解
例1、如图,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下底面的洞口是直径为4厘米的圆,求此立体图形的表面积和体积。
2012-9-5 09:36 上传
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例2、如图所示,一个5×5×5的立方体,在左右方向上开有1×1×5的孔,在上下方向上开有2×1×5的孔,在前后方向上开有3×1×5的孔,剩余部分的体积是多少?表面积为多少?
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例3、图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图,图中所有的边长都相同。问:图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍?
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例4、三个完全一样的长方体,棱长总和是288厘米,每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数。给这三个长方体涂色:一个涂一面、一个涂两面、一个涂三面。涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体,只有一个面涂色的小正方体最少有多少个?
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例5、把一个大长方体木块表面上涂满红色后,分割成若干个同样大小的小正方体,其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块,那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体?
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