133
第 六 章 定 积 分
§ 6.1 定积分与不定积分
给定非负函数 )(xfy = ，定义于闭区间 ],[ ba ，如果我们要求函数图形 )(xfy = 下边
曲边梯形面积，就需要定积分 ò
b
a
dxxf )( 。
给定闭区间 ],[ ba 内任意时刻 t的即时速度 )(tfy = ，求 ],[ ba 内走过路程，也需要定
积分 ò
b
a
dttf )( 。
定义 函数 )(xf 定义在 ],[ ba 上，给 ],[ ba 任意一个分割 <<<=D L10: xxa
bxn = ，记 knk xD= ££1maxl ， 1--=D kkk xxx ，" ],[ 1 kkk xx -Îx ，作和 å
=
D=
n
k
kk xf
1
)(xs 。
如果 I=
®
s
l 0
lim 存在，则称 I 为 )(xf 在 ],[ ba 上的定积分，记作 ò=
b
a
dxxfI )( 。称a为
积分上限，b为积分下限， )(xf 为被积函数， x为积分变量（哑变量），即
òò =
b
a
b
a
dttfdxxf )()(
用 de - 语言
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
述定： 0>"e ， 0>$d ，使得不管如何分割 D，如何选取
],[ 1 kkk xx -Îx ，只要 dl
那样简单，固定
l，分割 D有很多种，固定 D， kx 的选择还有很多种。
定积分与不定积分有密切关系，看例子：速度 )(tv 在 ],[ ba 通过路程 ò=
b
a
dttvS )( ；由
原函数定义， ò += CdttvtS )()( ，则 )()()( aSbSdttv
b
a
-=ò ，一般地我们有
定理 1（Newton-Leibinz 公式） 设 ],[)( baCxf Î ， ],[)( baCxF Î ，且 F 在
),( ba 上是 )(xf 的原函数，即 )()( xfxF =¢ ， ),( bax Î ，则
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()()( =-=ò 。
证 给定 ],[ ba 任意一个分割： bxxxa n =<<<=D L10: ，
[ ] åå
==
- D=-=-
n
k
kk
n
k
kk xfxFxFaFbF
11
1 )()()()()( h ，
这里 1--=D kkk xxx ， ],[ 1 kkk xx -Îh ，用了 Lagrange 中值定理。 ],[)( baCxf Î ，由 Cantor
定理， f 在 ],[ ba 一致连续，所以 0>"e ， 0>$d ，只要 ],[, baÎhx ， dhx <- ，就有
ab
ff
-
<-
e
hx )()( 。
于是，当 dl ò
b
a
dxxg ，令
ò
ò
=
b
a
b
a
dxxg
dxxgxf
)(
)()(
m 即可。
推论1 若 )(xf 在 ],[ ba 连续， )(xg 在 ],[ ba 上可积，不变号，则 ],[ baÎ$x ，使得
òò =
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( x 。
推论2 若 )(xf 在 ],[ ba 连续，则存在 ),( baÎ$x ，使得 ))(()( abfdxxf
b
a
-=ò x 。
推论1是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。
推论2 的结论中要求 ),( baÎx ，证明还需要作点加工：若 f 为常数，结论显然；若 f
非常数，则 21 , xx ¢¢$ ，使得 Mxf <¢)( 1 ， mxf >¢ )( 2 且 )()( 21 xfxf ¢>¢ ，还可找到 0>d ，
使得 0)( >- xfM ， d<¢- 1xx ；
0)( >- mxf ， d<¢- 2xx 。
所以 )()()( abMdxxfabm
b
a
-<<- ò ，
取 ò-=
b
a
dxxf
ab
)(
1
m ， Mm << m ，所以 ),( baÎ$x ，使得 mx Î)(f 。
3. 变限定积分
用 Newton-Leibniz 公式，我们知道，若 ],[)( baCxf Î , )(xF 在 ],[ ba 上是 )(xf 的原函
数，则 ],[ bax Î" ，有 )()()( aFxFdttf
x
a
-=ò 。
137
但是我们还不知道若 ],[)( baCxf Î 原函数是否存在，我们称 ò=
x
a
dttfxF )()( 为变上限定
积分，它启示我们它就是 )(xf 的一个原函数。
定理 设 ],[)( baCxf Î ，则 ò=
x
a
dttfxF )()( 是 )(xf 在 ],[ ba 上的一个原函数，满足
)()( xfxF =¢ ，并且满足 0)( =aF 。
证 为证 )()( xfxF =¢ ， bxa ££ ，我们固定 ),(0 bax Î ，
考虑当 0xx > 时：
ò
ò
ò
-
-
£
-
-
=
-
-
=-
-
-
x
x
x
x
x
x
dtxftf
xx
dtxftf
xx
xfdttf
xx
xf
xx
xFxF
0
0
0
)()(
1
)]()([
1
)()(
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
当 0xx < 时，
ò --£--
- 0
)()(
1
)(
)()(
0
0
0
0
0
x
x
dtxftf
xx
xf
xx
xFxF
因为 )(xf 在 0x 连续， 0>"e ， 0>$d ，使得 d<- 0xx 时，有 e<- )()( 0xfxf
这时
ee =-××
-
£
-
-
£-
-
-
ò
0
0
0
0
0
0
0
1
)()(
1
)(
)()(
0
xx
xx
dtxftf
xx
xf
xx
xFxF x
x
0x 是区间端点时，左右导数可类似证明。
变限定积分还有一些变种
òò -==
x
b
b
x
dttfdttfxG )()()( ， )()( xfxG -=¢ ，
))(()()(
)(
xFdttfx
x
a
j
j
==F ò ，
)())(()( xxfx jj ¢=F¢ 。
138
例 设 ]1,1[)( -Î Cxf ，证明 ò-+® =-+
1
1 2200
)()(lim tfdxxtf
xh
h
h
p 。
证 不妨设 0=t ，考虑
)0()
2
1
(2
)]0(2)()([)]0(2)()([
)0()
2
1
(2)]0(2)()([
)0()
2
1
(2)]0()([
)0()(
0
1
2222
1
0 22
1
1 22
1
1 22
f
h
arctg
dxfxfxf
xh
h
dxfxfxf
xh
h
f
h
arctgdxfxfxf
xh
h
f
h
arctgdxfxf
xh
h
fdxxf
xh
h
I
p
p
p
p
d
d
-+
--+
+
+--+
+
=
-+--+
+
=
-+-
+
=
-
+
=
ò ò
ò
ò
ò
-
-
对 0>"e ， ]1,1[)( -Î Cxf , Mxf £)( , 0>$d ，使当 d$h ，使当 h<< h0 时，
Mxh
dxh
h
arctg
h
arctg
2
1 1
22
ed
d
<
+
=- ò ，且 Mharctg 62
1 ep
<- ，
这时 e
eee
=++<
333
I 。
§6.3 定积分的换元法、分部积分法和第二中值定理
1． 换元法
定理1 ],[)( baCxf Î ， ],[1 baj CÎ ，又 a=)(aj ， b=)(bj ， bta ££ )(j
)( ba ££ t 。 则 òò ¢=
b
a
jj dtttfdxxf
b
a
)()]([)( 。
证 ],[)( baCxf Î ，它有原函数，记为 )(xF ，则 )]([ tF j 是 )()]([ ttf jj ¢ 的原函
数，由 Newton-Leibniz 公式，有
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=ò ，
及 )()()]([)]([)()]([ aFbFFFdtttf -=-=¢ò ajbjjj
b
a
，可得结论。
139
注1 在原函数定义 ò
b
a
dxxf )( 中“dx”仅是一个记号，这个定理告诉我们它可看成
微分， )(tx j= ， dttdx )(j ¢= ，这样理解换元法公式是自然了。
定理2 设 ],[)( baCxf Î ， ],[)( 1 baj Ctx Î= ，满足
o1 a=)(aj ， b=)(bj ；
o2 )(tj 在 ],[ ba 严格单调，则
òò ¢=
b
a
jj dtttfdxxf
b
a
)()]([)( 。
证 不妨设 )(tj 严格上升，这时 ba < ，给 ],[ ba 任意一个分割 nttt <<<=D L10:a
b= ，因为 )(tj 严格上升，相应地产生 ],[ ba 一个分割 bxxxa n =<<<=D¢ L10: ，其
中 )( ii tx j= ， ni ,,2,1,0 L= 。
因 )(tj 在 ],[ ba 一致连续， 0>"e ， 0>$d ，使得 d<-=D -1iii ttt 时，有
ejj <-=-=D -- )()( 11 iiiii ttxxx 。
即当 0max ®D it 时，有 0max ®D ix 。
作 )()]([ ttf jj ¢ 的任一积分和： ii
n
i
i tf D¢= å
=
)()]([
1
tjtjs ， ],[ 1 iii tt -Ît
及 )(xf 的某一积分和：
,)()]([
)]()()[()(
1
1
1
1
å
åå
=
=
-
=
D¢=
-=D=¢
n
i
iii
n
i
iii
n
i
ii
tf
ttfxf
tjtj
jjxxs
ii xtj =)( ， ],[ 1 iii tt -Ît 。 因 )(tj ¢ 在 ],[ ba 一致连续， 0>"e ， 0>$h ，当
hl af ， Mdxxgxf
af
m
b
a
££ ò )()()(
1
， ],[)( baCxG Î ， ],[1 baÎ$x ，使得
ò=
b
a
dxxgxf
af
G )()(
)(
1
)( 1x ，即 òò =
1 )()()()(
x
a
b
a
dxxgafdxxgxf 。
（2） 类似可证。
（3） 不妨设 )(xf 单调上升，令 )()()( afxfxF -= ，单调上升， 0)( ³xF ，由（2）
],[ baÎ$x ，使得 òòò -==
bbb
a
dxxgafbfdxxgbFdxxgxF
xx
)()]()([)()()()( 。
145
òòòò -+=
bbb
a
b
a
dxxgafdxxgbfdxxgafdxxgxf
xx
)()()()()()()()(
òò +=
b
a
dxxgbfdxxgaf
x
x
)()()()( 。
例1 )(xf 在 ],[ pp- 单调下降，求证
02sin)(12 ³= ò-
p
pp
dxnxxfb n ，
0)12(sin)(
1
12 £+= ò-+
p
pp
dxxnxfb n 。
证
，0)]()(][2cos1[
2
1
2
12cos
)(
2
2cos1
)(
1
2sin)(2sin)(
1
2
³---=
úû
ù
êë
é -+
-
-=
úû
ù
êë
é +-= òò-
ppx
p
x
p
x
p
p
pp
p
p
x
x
p
ffn
n
n
n
f
n
n
f
dxnxfdxnxfb n
.0)]()(][)12cos(1[
)12(
1
12
1)12cos(
)(
12
)12cos(1
)(
1
)12(sin)()12(sin)(
1
12
£--+--
+
=
úû
ù
êë
é
+
-+-
-
+
+--
-=
úû
ù
êë
é +++-= òò-+
ppx
p
x
p
x
p
p
pp
p
p
x
x
p
ffn
n
n
n
f
n
n
f
dxxnfdxxnfb n
习题：
6.1 利用定积分的几何意义，求下列积分：
（1） ò
b
a
xdx； （2） ò --
b
a
dxxbax ))(( ；
（3） ò
+
-
b
a
dx
ba
x
2
。
6.2 设 [ ]baRxf ,)( Î （ [ ]baR , 表示 [ ]ba, 上的可积函数全体），求证：
（1） åò
-
=
+¥®
÷
ø
ö
ç
è
æ -+
-
=
1
0
)(
lim)(
n
i
n
b
a n
abi
af
n
ab
dxxf ；
（2） åò
-
=
+¥®
÷
ø
ö
ç
è
æ -++
-
=
1
0
))(1(
lim)(
n
i
n
b
a n
abi
af
n
ab
dxxf ；
146
（3） L+
-
++
-
=
¥®ò )(2)([2lim)( n
ab
afaf
n
ab
dxxf
n
b
a
)]()
))(1(
(2 bf
n
abn
af +
--
++ 。
6.3 设 )(tf 在 [ ]cbca ++ , 上可积。证明： )( cxf + 在 [ ]ba, 上可积，且
òò
+
+
=+
cb
ca
b
a
dttfdxcxf )()( 。
6.4 计算下列定积分：
(1) ò
p
0
2cos xdx； （2） ò -
a
dxxa
0
；
（3） ò -
a
dxxax
0
； （4） ò
-
- -
3
4 2 4xx
dx
。
6.5 求下列极限：
（1） å
=
+¥®
n
k
n n
k
n1
sin
1
lim
p
；
（2） )
2
1
1
11
(lim
nnnn
++
+
+
+¥®
L ；
（3） n
n
nnn
n
)12()1(
1
lim -+
+¥®
L 。
6.6 求下列积分：
（1） ò
p
0
cos xdx； （2） ò- -
2
1
2
1 21 x
dx
；
（3） ò- +
1
1 21 x
dx
； （4） )0(
1cos2
1
1 2
pa
a
<<
+-ò- xx
dx
；
（5） ò- +
2
2
22 cos2sin
p
p xx
dx
； （6） ò
b
a
dxxsin ；
（7） )0,(
cossin
2
0 2222
>
+ò baxbxa
dxp
；
（8） )0,(
cossin
cos2
0 2222
>
+ò baxbxa
xdxp
；
（9） dxxò- -
1
1
1 ； （10） )10(
cos1
2
0
<<
+ò ee
p
x
dx
。
6.7 设 [ ]baCxf ,)( Î ，且 ò =
b
a
dxxf 0)( ，求证： )(0)( bxaxf ££º 。
6.8 设 [ ]baCxgxf ,)(),( Î 。求证：
147
òòò ×£×
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 22 ，
而且等号成立当且仅当 )()( xfxg l= （或 )()( xgxf l= ），其中l为常数。
6.9 设 [ ]baCxgxf ,)(),( Î 。求证：
[ ] òòò +£+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 222 ，
而且等号成立当且仅当 )()( xfxg l= （ 0³l 为常数）。
6.10 设 dx
x
x
I
n
n ò +=
1
0 1
，试建立 nI 的递推公式；并利用所得结果证明：
2ln]
1
)1(
3
1
2
1
1[lim 1 =-+-+- -
+¥® n
n
n
L 。
6.11
(1) 试建立 dt
t
nt
I n ò= 20
2
sin
sinp
的递推公式；
（2） 求证：
1
sin
sin
ln
2
lim 2
0
2
=ò+¥® dtt
nt
nn
p
。
6.12 证明下列极限：
（1） )10(0)1(lim
0
2 <<=-ò+¥® bdxx
nb
n
；
（2） 0)1(lim
1
0
2 =-ò+¥® dxx
n
n
；
（3） 0sinlim 2
0
=ò+¥® dxx
n
n
p
。
6.13
（1）任给 0>d ，求证： 0
)1(
)1(
lim 1
0
2
1 2
=
-
-
ò
ò
+¥® dtt
dtt
n
n
n
d ；
（2）设 [ ]1,1)( -Î Cxf ，令 ò -=
1
0
2 )1(2 dtt nnl ， 求证：
)0()()1(
1
lim
1
1
2 fdttft n
n
n
=-ò-+¥® l 。
6.14 设 0)( ³xf ， 0)( £¢¢ xf ，对 [ ]bax ,Î" 成立。求证：
148
ò-£
b
a
dxxf
ab
xf )(
2
)( 。
6.15 设 ( )+¥¥-Î ,)( Cxf ，并存在常数a满足
ò=+
x
a
dttfx )(405 3 。
（1） 求出 )(xf ； (2) 定出常数a。
6.16 设 ( )+¥¥-Î ,)( Cxf ，求出下列函数的导数。
（1） ò=
2
0
)()(
x
dttfxF ； （2） ò
+
+
=
bx
ax
dttfxF )()( 。
6.17 求下列极限：
（1） qq
q
dctg
h
h
n
)
1
(
1
lim
02 ò -+¥® ； （2） dtetx
e tx
x
n
2
2
0
2lim ò
-
+¥®
。
6.18 求下列函数：
（1） ò=
x
tdtxf
0
sgn)( ； （2） ò=
x
dttxf
0
)( ；
（3） ò -=
1
0
)( dttxxf ； （4） ò -=
1
0
)( dttxtxf 。
6.19 设 )(xPn 为n次代数多项式。求证： )(max2)( xPndxxP n
bxa
b
a n ££
£¢ò 。
6.20 计算下列积分：
（1） ò +
1
0 )1(
dx
x
x
a
； （2） ò +
1
0
)1ln( dxx ；
（3） ò +
-a
dx
xa
xa
0
； （4） ò +
-a
dx
xa
xa
arctg
0
；
（5） ò >-
2
0 2/322
)0(
)(
a
a
xa
dx
； （6） ò
+3
1
21
dx
x
x
；
（7） ò -
1
0
1 dxxx ； （8） ò -
9
1
3 1 dxxx ；
（9） ò
-
2
1
0 2
3
1
dx
x
x
； （10） ò >-
a
adxxa
0
22 )0( ；
（11） ò
2/
0
2 cossin
p
xdxx ； （12） ò >-
a
adxxax
0
222 )0( ；
（13） ò -
2
1
4
1 )1(
arcsin
dx
xx
x
； （14） ò
-a
a
dx
x
ax2
4
22
。
6.21 求证：
149
（1） ò <<=+-
-p
pq
q
2
0 2
2
)10(2
cos21
1
rd
rr
r
；
（2）
nn nn xx
dx
2
1
1)1(
1
0
=
++
ò 。
6.22 求证：
（1）
ïî
ï
í
ì
¹
==ò
;,0
,,coscos 20
nk
nkkxdxnx
p
p
(2) 1
2/
0 2
coscos +=ò nn xdxnx
pp
。
6.23 求证：当n为奇数时， tdtxF
x nò= 0 sin)( 是以 p2 为周期的周期函数；而当n为偶
数时， )(xF 是线性函数与周期函数的和。
6.24 给定积分 ò=
p
0
)(sin dxxxfI ， )(xf 是[0，1]上的连续函数。求证：
（1） ò=
pp
0
)(sin
2
dxxfI ；
（2）求 ò +
p
0 2cos1
sin
dx
x
xx
。
6.25 设 )(xf 是周期为T 的连续函数。求证：
òò =+¥®
Tx
x
dxxf
T
dttf
x 00
)(
1
)(
1
lim 。
6.26 计算下列积分：
（1） dxxx )1ln(
1
0
2ò ++ ； （2） dxarctgxxò
1
0
2)( ；
（3） nxdxx sin
0
2ò
p
； （4） nxdxex cosò-
p
p
；
（5） dx
x
dx
ò -
1
0 22 )2(
； （6） dx
x
x
ò
+2
1 2
21
；
（7） dxxx 53
1
0
2 )1( -ò ； （8） dxxx 3
1
0
2)1(ò - ；
（9） xdxx ln
2
1
2ò ； （10） dxex xò
1
0
2 。
6.27 求下列定积分：
（1） xdxe x b
p a sin
2/
0ò ； （2） xdxe
x b
p a cos
2/
0ò 。
6.28 求下列定积分，其中 nm, 为正整数：
(1) xdxx nn ln
1
0ò ； （2） dxxx
nm 11
0
1 )1( -- -ò ；
150
（3） dxxtg nò
1
0
2 ； （4） xdxx mn cossin
2
0ò
p
( mn + 为奇数)
提示：先建立递推公式。
6.29 设 [ ]baCxf ,)( ΢ ，且 0)( =af 。求证：
)(max
2
)(
)(
2
xf
ab
dxxf
bxa
b
a
¢-£
££ò 。
6.30 设 [ ]baCxf ,)( ΢¢ ，且 0)()( == bfaf 。求证：
（1） òò --¢¢=
b
a
b
a
dxbxaxxfdxxf ))()((
2
1
)( ；
（2） )(max
12
)(
)(
3
xf
ab
dxxf
bxa
b
a
¢¢-£
££ò 。
6.31 求证：
ò
+
+¥®
>=
pn
nn
pdx
x
x
)0(0
sin
lim 。
6.32 设 )(xf 在 [ ]p2,0 上单调有界。求证：
（1） 0sin)(lim
2
0ò =+¥®
p
l
lxdxxf ；
（2） 0cos)(lim
2
0ò =+¥®
p
l
lxdxxf 。
6.33 设 )(xf 在 [ ]p2,0 上单调下降。求证：
ò ³=
p
p
2
0
0sin)(
1
nxdxxfbn 。
6.34 设 )(xf 在 [ ]pp ,- 上单调下降。求证：
ò- ³=
p
pp
02sin)(
1
2 nxdxxfb n ；
ò-+ £+=
p
pp
0)12sin()(
1
12 xdxnxfb n 。
6.35 设 )(xf 在 [ ]1,0 上严格单调下降。求证：
（1） )1,0(Î$q 使得
ò -+=
1
0
)1()1()0()( ffdxxf qq ；
（2） )0(fc >" ， )1,0(Î$q 使得
ò -+=
1
0
)1()1()( fcdxxf qq 。
151
6.36 利用梯形公式计算积分，并估计误差。
（1） )8(
1
1
0
=
+ò nx
dx
； （2） )10(
1
1
0 3
=
+
ò n
x
dx
。
6.37 请按下列提示的思路证明：若 [ ]baCxf ,)( Î ，单调增加，则
òò
+
³
b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)( 。
思路一： 对积分 dxxf
ba
x
b
a
)()
2
(ò
+
- 分段使用第一中值定理。
思路二： 对积分 dxxf
ba
x
b
a
)()
2
(ò
+
- 分段使用第二中值定理。
思路三： 从 0))
2
()()(
2
( ³
+
-
+
-ò dx
ba
fxf
ba
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