不等式的证明yi

不等式的证明知识、方法、技能 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质： 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1） （对称性） （2） （加法保序性） （3） （4） 对两个以上不等式进行运算的性质. （1） （传递性）.这是放缩法的依据. （2） （3） （4） 含绝对值不等式的性质： （1） （2） （3） （三角不等式）. （4） 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 赛题精讲 例1： 求证： 【略解】 【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明 时，可将 配方为 ，亦可利用 ，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证. 例2： ，求证： 【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法. 【略解】不等式关于 对称，不妨 ，且 ， 都大于等于1. 【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若 （3）本题还可用其他方法得证。因 ，同理 ， 另 ，4式相乘即得证. （4）设 例3等价于 类似例4可证 事实上，一般地有排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组 ，则 （顺序和） （乱序和） （逆序和） 其中 的任一排列.当且仅当 或 时等号成立. 排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如 . 例3： 【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 【略解】不妨设 ，则 （乱序和） （逆序和），同理 （乱序和） （逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组 ，仿上可证第二个不等式. 例4：设 ，且各不相同， 求证： 【思路分析】不等式右边各项 ；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 【略解】设 的重新排列，满足 ， 又 所以 .由于 是互不相同的正整数，故 从而 ，原式得证. 【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式， 例5：利用基本不等式证明 【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法. 【略解】 ；三式相加再除以2即得证. 【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧. 如 ，可在不等式两边同时加上 再如证 时，可连续使用基本不等式. （2）基本不等式有各种变式 如 等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 例6：已知 求证： 【思路分析】不等式左边是 、 的4次式，右边为常数 ，如何也转化为 、 的4次式呢. 【略解】要证 即证 【评述】（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知 求证： 右侧的 可理解为 再如已知 ，求证： + ，此处可以把0理解为 ，当然本题另有简使证法. （2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于 个正数 调和平均 几何平均 算术平均 平方平均 这四个平均值有以下关系： ，其中等号当且仅当 时成立. 例7：利用排序不等式证明 . 【证明】令 则 ，故可取 ，使得 由排序不等式有： = （乱序和） （逆序和） =n， 【评述】对 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得， . 例8：证明：对于任意正整数R，有 【思路分析】原不等式等价于 ，故可设法使其左边转化为n个数的几何平均，而右边为其算术平均. 【略证】 【评述】（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证 （2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁. 例9：n为正整数，证明： 【证明】先证左边不等式 EMBED Equation.3 （*）式成立，故原左边不等式成立. 其次证右边不等式 （**） （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立. 针对性训练 1． 求证： 2．已知 求证： 3．已知 ，求证： ① ② 4．D、E、F分别在正三角形ABC的边BC、CA、 AB上，记△EAF、△FBD、△DCE和 △DEF的周长分别为 、 、 和 ， 求证： 5．如图I—1—5—5，过P（1，2）的直线 分别与 轴正半轴、 轴正半轴交于A、B两点， 求|AB|的最小值. � EMBED PBrush ��� PAGE - 7 - _1164024671.unknown _1164025902.unknown _1164027133.unknown _1164171239.unknown _1164171401.unknown _1164171644.unknown _1164171745.unknown _1164171788.unknown _1164171942.unknown _1164171669.unknown _1164171503.unknown _1164171590.unknown _1164171421.unknown _1164171446.unknown _1164171338.unknown _1164171372.unknown _1164171254.unknown _1164027776.unknown _1164027989.unknown _1164028016.unknown _1164028031.unknown _1164028023.unknown _1164027990.unknown _1164027911.unknown _1164027988.unknown _1164027900.unknown _1164027631.unknown _1164027700.unknown _1164027756.unknown _1164027672.unknown _1164027229.unknown _1164027243.unknown _1164027144.unknown _1164026734.unknown _1164026842.unknown _1164026930.unknown _1164027116.unknown _1164026881.unknown _1164026758.unknown _1164026774.unknown _1164026746.unknown _1164026408.unknown _1164026587.unknown _1164026627.unknown _1164026475.unknown _1164026149.unknown _1164026199.unknown _1164026000.unknown _1164025071.unknown _1164025408.unknown _1164025488.unknown _1164025787.unknown _1164025837.unknown _1164025561.unknown _1164025447.unknown _1164025466.unknown _1164025207.unknown _1164025293.unknown _1164025330.unknown _1164025379.unknown _1164025250.unknown _1164025111.unknown _1164025157.unknown _1164025082.unknown _1164024811.unknown _1164024893.unknown _1164024962.unknown _1164024997.unknown _1164024919.unknown _1164024838.unknown _1164024854.unknown _1164024817.unknown _1164024700.unknown _1164024734.unknown _1164024765.unknown _1164024723.unknown _1164024684.unknown _1164024699.unknown _1164024675.unknown _1164022427.unknown _1164023572.unknown _1164024081.unknown _1164024468.unknown _1164024622.unknown _1164024639.unknown _1164024547.unknown _1164024245.unknown _1164024432.unknown _1164024170.unknown _1164023751.unknown _1164023944.unknown _1164024051.unknown _1164023892.unknown _1164023621.unknown _1164023681.unknown _1164023604.unknown _1164022940.unknown _1164023169.unknown _1164023485.unknown _1164023531.unknown _1164023344.unknown _1164023003.unknown _1164023099.unknown _1164022980.unknown _1164022712.unknown _1164022826.unknown _1164022879.unknown _1164022781.unknown _1164022515.unknown _1164022591.unknown _1164022495.unknown _1164021498.unknown _1164021790.unknown _1164021952.unknown _1164022342.unknown _1164022369.unknown _1164022110.unknown _1164021896.unknown _1164021938.unknown _1164021885.unknown _1164021658.unknown _1164021712.unknown _1164021776.unknown _1164021696.unknown _1164021615.unknown _1164021631.unknown _1164021582.unknown _1164020565.unknown _1164021048.unknown _1164021116.unknown _1164021154.unknown _1164021062.unknown _1164020686.unknown _1164020739.unknown _1164020612.unknown _1164020331.unknown _1164020474.unknown _1164020507.unknown _1164020415.unknown _1164020272.unknown _1164020299.unknown _1164020247.unknown