2019届湘赣十四校高三联考第一次考试数学（理）答案

书书书!"#$届十四校联考第一次考试理科数学参考答案%&#!!!!!"#$届湘赣!十四校高三联考第一次考试数学!理科"参考答案一#选择题题!号#!'()*+,$#"###!答!案-./%%.-/-../#!-!$解析%"0!##"#"#$0!#""#"!"#"#$0!#""#"#"#"$$0!##"!"!!!.!$解析%由%1'%&#0&2得%0&'12#120$&'12%$#&2%!0&#1!2#%0$&#%!1!槡!槡0)!'!/!$解析%设等差数列!&'"的公差为(#由))0))!1&(得&)&#1)3$)&#%!(0)!&#1!3$!&#%!!"(1$&#1'(%#将&#0#代入上式解得(0'#故&*0&#1)(0#1#)0#*!(!%!$解析%#!日##'日##(日##)日连续(天空气重度污染#故/正确'这#*日空气重度污染的频率为,#*0"!)#故-正确'#0!""1##*(#(1+)1('1$&('%1$&#!"%1$&(,%1*"1$&##+%1$&("%1$&!#%1$&*!%1#(1!#1*'1!'1$&,%)"!""$也可根据图形判断#,个数据大于!""#,个数据小于!""#小于!""的,个数据整体与!""相差较大%#故.正确'相邻两天空气质量指数之差的最大值为+日和,日之差!*"&,'0#++#故%不正确!)!%!$解析%两抛物线的焦点分别为$##"%和"#*!"!#由题可知&#1*!槡(0!且*%"#解得*槡0!'!*!.!$解析%由图可知"0'#'(+0)!#!&&!!"'0'!(#4+0!#!0!#将点)!#!#!"'代入,0'526$!#1"%#得"0&!'1!-!$-&%%#故.$#%0'526!#&!!"'#向左平移!*个单位长度得&,0/$#%0'526!#1!!"*&!#$'0'526!##故/#-#%正确#选.!+!-!$解析%解法一&如图#'(("$0!#'(($00"#'(("00!1"#由余弦定理&$0!0"$!1"0!&!"$*"0*785"#已知"0*"9#"$0##$0槡0'#代入上式得"00!#4"$!1$0!0"0!#故$0$"9#即!)"#4!*"0"!解法二&设!与"的夹角为##由题设!*$!1"%0#3*!1"*785*"9#即!!1!*"0#!*!1"*#所以槡#1'785#0#!*!1"*"#两边平方得&($槡#1'785#%!0$!1"%!0!!1"!1!!*"槡0(1!'785#!即!785!#槡1'785#0"#所以785#0"或&槡'!#经检验#&槡'!不符合"式#舍去'故!*"0"!,!/!$解析%设亮绿灯的时间随机设置为1秒#则1+)"#亮红灯的时间为$"&1+*"#所以'"+1+)"#亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为1,()#由几何概型的概率公式知&20)"&())"&'"0#(!!"#$届十四校联考第一次考试理科数学参考答案%&!!!!!$!-!$解析%.$#%的定义域为!#*#-""#:.$&#%0.$#%#4.$#%为偶函数'当#%"时#.$#%0;6#&##!1#单调递增#所以由.$#%%.$!#&#%#可得#-"#!#&#-"#*#*%*!#&#*./0#解得&#'"#"#且#-#!!#"!.!$解析%槡#1!!"#*的通项为%3*!3#*&'3!#所以$#'&#%槡#1!!"#*的展开式中的常数项为#'%(*!(#*&#!!和$&#%*%!*!!#*&*!#又%(*!(&%!*!!0!("&*"0#,"#所以$#'&#%槡#1!!"#*的展开式中的常数项为#,"!##!.!$解析%由三视图可知甲为圆锥#乙为球#设球的半径为4#设圆锥底面半径为3#则圆锥高50!4#母线长603!15槡!#因为甲与乙的体积相等#所以('!4'0#'!3!5#即!4!03!#603!1(4槡!槡0'3!)#)!0!3!1!36(!4!03!13*槡'3!3!0槡'1#!!#!!/!$解析%因为/$#%0.$#%&&#有(个零点#即函数,0.$#%与,0&#有(个交点#当#%"时#.7$#%0$#&#%<##!#所以#&$"##%时#.7$#%""#.$#%单调递减##&$##1=%时#.7$#%%"#.$#%单调递增#画出.$#%的图象如图所示#求出.$#%的过原点的切线#.$#%在#0"处的切线6#的斜率为-#0$#!1(#%7*#0"0$!#1(%*#0"0(#设.$#%的过原点的切线6!的切点为2#"#<#"#!""$#"-"%#切线6!的斜率为-!#又<#!"#70$#&#%<##!#故-!0$#"&#%<#"#!"#-!0<#"#"#"./0#解得#"0!#-!0<!(#由图可知,0.$#%与,0&#有(个交点#则-!"&"-##所以<!("&"(!$说明&显然#0"是/$#%的零点#故也可转化为.$#%#0&有'个零点#即,0.$#%#与,0&有'个交点#也可以画图得出答案%二#填空题#'!,0!#&#!$解析%.$#%0##.7$#%0$#1#%<#&##所以.7$#%0!#所以切线方程为,&#0!$#&#%#即,0!#&#!#(!!!$解析%作出满足约束条件的可行域如图#作直线6"&#1,0"#平移6"#过点$##"%时##1,有最小值#'过点$'#!%时#1,有最大值)#所以%0*#1,*1#的最小值为!!#)!*'!$解析%由&'1#0!&!'&'1#&&'#得&'1#$&'1#&&'%0!&!'#即$&'1#1&'%$&'1#&!&'%0"#又!&'"的各项均为正#所以&'1#&!&'0"$'&&1%#故!&'"为等比数列#公比为!#)*0#$#&8*%#&80*'!$说明&也可以由递推关系求前*项#直接相加求和%!"#$届十四校联考第一次考试理科数学参考答案%&'!!!!#*!)'!$解析%如图#连接9+#在>?29+:#中#*9+*0&#*9:#*0;#所以*+:#*0;!&&槡!0<#又::#'((20(:#'((+#4*2:#*0(<!过:!作:!=垂直于2:##则*:#=*0!*:#+*0!<#4*2=*0*:#=*0!<#42:#2:!为等腰三角形#*2:!*0*:#:!*0!;#4(<&!;0!&#即&1;0!<3>0)'!三#解答题#+!$解析%$#%.$#%0#*$0$526##&#%*$槡'#785#%槡0'526#&785#0!526#&!!"*!$!分%!!!!!:.$#%0!'#4526#&!!"*0#'#又#&"#!!"!#4#&!*&&!*#!!"'#785#&!!"*0槡!!'!$(分%!!!!!!!!!!!!!!!!所以526#0526#&!!"*1!#$*0#'*槡'!1槡!!'*#!0槡槡'1!!*!$*分%!!!!!!!!!!!!!$$%因为."1!!"*0槡+'<5260#所以!526"0槡+'<5260#即*526"槡0+<5260#由正弦定理可知*&槡0+<;#又&槡0+#所以<;0*!$,分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由已知2"$0的面积等于#!<;526"0槡''!#可得526"0槡'!#又"&"#!!"!#4"0!'!$#"分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由余弦定理得<!1;!&!<;785"0+#故<!1;!0#'#从而$<1;%!0!)#<1;0)#所以2"$0的周长为槡)1+!$#!分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#,!$解析%$#%取$0的中点:#即为点?在平面"$0内的正投影!$#分%!!!!!!!!!!!!!!!理由&连接?:#@:!:@#:分别为"0#$0的中点#4@:4"$#且"$0!@:#又A?4"$#"$0!A?#4@:4A?且@:0A?#4四边形A?:@为平行四边形!$'分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4?:4A@#又A点在平面"$0内的正投影为"0的中点@#4A@)平面"$0#4?:)平面"$0#即:为点?在平面"$0内的正投影!$)分%!!!!!!!!!!!!!!!!!$$%:A@)平面"$0#"0)$0#4以0为原点#建立如图所示的空间直角坐标系#::为点?在平面"$0内的正投影#4直线$?与平面"$0所成的角即为5?$:0()9#4?:0:$0#!$+分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!则"$##"#"%#$$"#!#"%#A#!#"#!"##可取平面"A0的法向量$0$"###"%#设平面"$A的法向量#0$##,#%%#'(("$0$&##!#"%#'(("A0&#!#"#!"##!"#$届十四校联考第一次考试理科数学参考答案%&(!!!!则&#1!,0"#&#!#1%0"./0#取,0##则#0!#%0#!4#0$!####%!$#"分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4785+##$,0#*$#$0#槡*0槡**#二面角$&"A&0的余弦值为槡**!$#!分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#$!$解析%$#%由题意知#""$"!""#)1&1"!""!)1"!""#)1"!""#%0##解得&0"!""')!$#分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!样本的平均数为&#0)""3"!#)1*""3"!')1+""3"!!)1,""3"!#)1$""3"!#"0*+"$元%!所以估计该校学生月消费金额的平均数为*+"!$'分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$$%由题意#从))"##"*)"中抽取+人#从+)"##",)"中抽取'人!$(分%!!!!!!!!!!!!!!随机变量B的所有可能取值有"###!#'#2$B0-%0%-'%'&-+%'#"$-0"###!#'%!所以#随机变量B的分布列为&B"#!'2')#!"*'#!"!##!"##!"$*分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!随机变量B的数学期望?$B%0"3')#!"1#3*'#!"1!3!##!"1'3##!"0$#"!$,分%!!!!!!!!!!$%%由题可知#样本中男生("人#女生*"人#属于-高消费群.的!)人#其中女生#"人'得出以下!3!列联表&属于-高消费群.不属于-高消费群.合计男生#)!)("女生#")"*"合计!)+)#""$#"分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!C!0'$&(&<;%!$&1<%$;1(%$&1;%$<1(%0#""3$#"3!)&#)3)"%!("3*"3!)3+)0)"$6)!))*%)!"!(!所以有$+!)@的把握认为该校学生属于-高消费群.与-性别.有关!$#!分%!!!!!!!!!!!!!!"!$解析%$#%解法一&设0$##,%#由已知526"*526$1'78500"#4,!"0*$01'3"0!1$0!&"$!!"0*$00"!$!分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!4,!1'3$#1!%!1,!1$#&!%!1,!&#*!0"$,-"%!化简得点0的轨迹=的方程为&#!(1,!'0#$,-"%!$)分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!解法二&设0$##,%#由已知526"*526$1'78500"#4526"526$&'785$"1$%0"即(526"526$&'785"785$0"#4?A6"*?A6$0'(!$!分%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$届十四校联考第一次考试理科数学参考答案%&)!!!!4-"0*-$00&?A6"*?A6$0&'(#又"$&!#"%#$$!#"%#4直线"0的斜率-"00,#1!$#-&!%#直线$0的斜率-$00,#&!$#-!%#有,#1!3,#&!0&'($#-&!且#-!%!$(分%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