Matlab第4章 离散信号与系统

第4章离散信号与系统*离散信号与系统第4章第4章离散信号与系统*第4章离散信号与系统信号处理系统也可以分为连续系统和离散系统，用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散系统，数字计算机就是典型的离散系统。与连续时间系统相比，离散系统具有许多优越的特点。它们可以很灵活地利用电荷转移器件、声表面波器件、通用数字计算机或高速微处理器等各种技术手段加以实现。另外，在信号传输的可靠性、信号的计算精度及系统的可集成化程度等方面，离散系统都具有较大优势，因此，在通信工程和自动化控制等领域，离散系统正逐渐取代连续系统，占据主导地位。*第4章离散信号与系统*z变换是一种对离散信号和系统进行分析的重要数学工具。前面两章介绍的傅里叶变换和拉普拉斯变换可以将连续系统时域的微分方程变换到频域的代数方程，大大简化了分析计算过程。与之相似，z变换可以将离散系统的差分方程变换为z域上的代数方程，使其求解过程得以简化。本章将讨论一种重要的离散信号的变换域 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ——z变换。另外我们将讨论离散系统的分析方法包括时域分析法和变换域分析法。在本章最后，我们将给出离散序列的傅里叶变换——DTFT。4.1z变换第4章离散信号与系统*4.1.1z变换定义及其收敛域 （4.1.1）1．z变换的定义z变换的定义可以通过对抽样信号进行拉普拉斯变换得到。考虑对连续信号进行理想抽样，抽样间隔为，则抽样信号的表示式为：对上式取双边拉普拉斯变换，得到：（4.1.2）第4章离散信号与系统*X(z)即为离散序列x(n)的双边z变换(n=0,±1,±2,…±∞),记为Z[x(n)]。考虑实际中的离散信号均有起始时刻，我们通常把信号的起始时刻记为n=0。对于因果信号而言，n<0时，信号无定义，此时X(z)定义如下，称为序列x(n)的单边z变换(n=0,1,2,…∞)。 我们引入一个新的复变量z，令，再令抽样间隔Ts=1，则上式变为：（4.1.3）（4.1.4）（4.1.2）第4章离散信号与系统*2．z变换的收敛域满足上述收敛条件的复变量z的取值范围称为离散序列x(n)的z变换的收敛域（ROC）。根据离散序列x(n)的z变换的定义式（4.1.3）可知，只有当式中的无限求和级数收敛时，序列x(n)的z变换才存在。而级数收敛的充分必要条件如下：（4.1.5）第4章离散信号与系统*式（4.1.5）的左边为一正项级数，通常我们采取两种方法来判定此正项级数的收敛性——比值判定法和根值判定法。所谓比值判定法，是指通过对正项级数中的后项与前项之比值的极限ρ是否小于1来判定级数的收敛性，即z变换的收敛域实际上是讨论变量z的取值范围，由于z为一复变量，因此其取值范围为复平面上的某一平面区域。在收敛域内，z变换及其导数是z的连续函数，即z变换函数在其收敛域内处处解析。（4.1.6）（4.1.5）第4章离散信号与系统*η<1则级数收敛，η>1则级数发散，η=1无法判断级数的收敛性。ρ<1则级数收敛，ρ>1则级数发散，ρ=1无法判断级数的收敛性。所谓根值判定法，是指通过对正项级数中一般项|an|的n次根的极限η是否小于1来判定级数的收敛性，即（4.1.7）根据离散序列x(n)的形式不同，其z变换的收敛域形式也有所不同，下面我们通过上述判定级数收敛性的方法对几种序列的z变换收敛域分别讨论如下：第4章离散信号与系统*显而易见，此时X(z)为有限项之和的形式，只要每一项的取值有界，其累加和必然有界。又因为x(n)(n1≤n≤n2)的值为有限值，因此只要变量z满足0<|z|<∞，就可以保证X(z)收敛，即有限长序列的z变换收敛域为整个z平面。但这里还必须注意|z|是否可以等于0或∞。考虑下列两种情况：（1）有限长序列有限长序列x(n)只在有限区间（n1≤n≤n2）内具有非零的有限值，在此区间之外x(n)的取值均为零，其z变换为：（4.1.8）第4章离散信号与系统*图4-1给出了一个有限长序列及其z变换收敛域的示意图。当n1<0时，由于式（4.1.8）的累加和中包含一项，如果|z|=∞，则此项为大，，即X(z)不存在，因此|z|≠∞。当n2>0时，由于式（4.1.8）的累加和中包含一项，如果|z|=0，则此项为无穷大，，即X(z)不存在，因此|z|≠0。图4-1有限长序列及其收敛域（4.1.8）第4章离散信号与系统*若要令累加和收敛，则要求（2）右边序列若x(n)只在n≥n1时有值，n<n1时，x(n)为零，这种序列称为右边序列，即x(n)只在时域上某点n1的右边离散点处定义，即其z变换为：（4.1.9）（4.1.10）第4章离散信号与系统*另外还需注意的是，如前面所分析过的，当n1<0时|z|≠∞，此时z变换收敛域为Rx1<|z|<∞。若n1≥0，由于|z|可以为无穷大，此时z变换收敛域为Rx1<|z|≤∞。即右边序列的z变换的收敛域为：（4.1.11）显然，右边序列的z变换收敛域是在z平面上，以原点为圆心，Rx1为半径的圆周之外，Rx1的大小由序列函数x(n)决定。（4.1.10）（4.1.9）第4章离散信号与系统*图4-2给出了一个右边序列及其z变换收敛域的示意图。图4-2右边序列及其收敛域n1<0时|z|≠∞n1≥0，|z|可以为无穷大第4章离散信号与系统*（3）左边序列若x(n)只在n≤n2时有值，n>n2时，x(n)为零，这种序列称为左边序列，即x(n)只在时域上某点n2的左边离散点处定义，其z变换为：（4.1.12）令m=-n，上式可写成如下形式：（4.1.13）若要令式（4.1.13）收敛，需要，即左边序列z变换的收敛域为：第4章离散信号与系统*显然，左边序列的z变换收敛域是在z平面上，以原点为圆心，Rx2为半径的圆周之内，Rx2的大小由序列函数x(n)决定。另外还需注意的是，当n2>0时|z|≠0，此时z变换收敛域为0<|z|<Rx2。若n2<0，z变换收敛域为0≤|z|≤Rx2。图4-3左边序列及其收敛域n2>0时|z|≠00<|z|<Rx2n2<0，0≤|z|≤Rx2（4.1.13）第4章离散信号与系统*若左右两个序列的z变换收敛域不存在交集，即Rx2<Rx1，则双边序列的z变换收敛域不存在。（4）双边序列双边序列x(n)在-∞<n<+∞的范围内均有定义。可以把它看做一个右边序列和一个左边序列之和的形式，其z变换如下：（4.1.14）如上式所示，双边序列的z变换可以分解为一个右边序列的z变换和一个左边序列的z变换之和的形式，因此双边序列z变换的收敛域为左右两个序列的z变换收敛域的交集部分，即Rx1<|z|<Rx2。第4章离散信号与系统*图4-4给出了一个双边序列及其z变换收敛域的示意图。图4-4双边序列及其收敛域第4章离散信号与系统*【例4-1】若序列x(n)=anu(n)，求其z变换和收敛域。【解】这是一个右边序列，由z变换定义可得：这是一个无穷项的等比数列求和，只有在|az-1|<1处级数收敛，即z变换的收敛域为|z|>|a|时此无穷项的等比数列累加和可以得到闭合形式的表达：由上式可以看出，X(z)的零点在z=0处，极点在z=a处，在图中分别用圆圈“○”和叉“×”标识出来。收敛域及零极点如图4-5所示。第4章离散信号与系统*图4-5x(n)=anu(n)的收敛域第4章离散信号与系统*此无穷项的等比数列累加和的收敛条件为|b-1z|<1，即z变换的收敛域为|z|<|b|此时等比数列累加和可以得到闭合形式的表达式：【例4-2】若序列x(n)=-bnu(-n-1)，求其z变换和收敛域。【解】这是一个左边序列，由z变换定义可得：第4章离散信号与系统*收敛域及零极点如图4-6所示。图4-6x(n)=-bnu(-n-1)的收敛域由例4-1和例4-2，可以看出两个不同序列的z变换形式完全相同，而其收敛域不同。因此当需要利用X(z)通过z逆变换求取序列x(n)时，仅考虑X(z)的表达式形式是不够的，还必须通过其收敛域，来判断X(n)的序列形式。图4-5x(n)=anu(n)的收敛域第4章离散信号与系统*【例4-3】若序列x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)，其中0<a<b，求其z变换和收敛域。【解】这是一个双边序列，其z变换可以看成两个单边序列的z变换之和的形式：第4章离散信号与系统* 当a<|z|<b时，上式中两个等比数列的级数均收敛，得到：X(z)有两个极点（z=a,z=b）和两个零点（z=0,z=(a+b)/2），其收敛域如图4-7所示。图4-7x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的收敛域第4章离散信号与系统*4.1.2典型序列的z变换下面给出一些典型序列的z变换，这些典型序列的z变换形式可以在求解其他问题时作为已知量使用。1．单位脉冲序列根据z变换定义，我们有：(4.1.15)类似于冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换，单位脉冲序列δ(n)的z变换等于1。第4章离散信号与系统*2．单位阶跃序列根据z变换定义，我们有：当|z|>1时，该级数收敛，得到u(n)的z变换及其收敛域为：（4.1.16）存在一个零点z=0和一个极点z=1。第4章离散信号与系统*3.单边指数序列单边指数序列定义为：x(n)=anu(n)，由【例4-1】知：（4.1.17）图4-8单边余弦序列4.单边正弦与余弦序列单边余弦序列cos(ω0n)u(n)如图4-8所示。第4章离散信号与系统*首先我们求单边指数序列(ejω0)nu(n)的z变换，根据刚才已经求得的单边指数序列的z变换形式，将a=ejω0代入，得到将上式分解成实部和虚部相加的形式，即：（4.1.18）又根据欧拉恒等式可知的z变换可以分解成如下形式：由z变换的线性性质（4.1.19）第4章离散信号与系统*比较式（4.1.18）和式（4.1.19），可知（4.1.20）（4.1.21）表4-1列出了一些典型序列的z变换及其收敛域。第4章离散信号与系统*表4-1一些典型序列的z变换第4章离散信号与系统*4.2z逆变换若已知某时间序列的z变换为X(z)，由X(z)还原出序列x(n)的过程称为z逆变换，记为x(n)=Z-1[X(z)]。计算z反变换的方法有三种，分别是部分分式展开法、幂级数法和围线积分法。本小节主要介绍部分分式展开法和幂级数法，其中部分分式展开法更为常用。第4章离散信号与系统*4.2.1部分分式法在实际应用中，一般X(z)均可写成z或z-1的有理分式的形式，在求解z反变换时，更习惯使用z-1作为变量，X(z)的有理分式形式如下：上式中分子的最高阶为m，分母的最高阶为n，首先我们考虑m<n的情况。（4.2.1）（1）若的所有极点均为一阶的，则X(z)可做如下分解：（4.2.2）第4章离散信号与系统*式中pi是X(z)的极点，Ai是部分分式的系数，可通过下式计算：（4.2.3）（2）若X(z)有r重极点，不失一般性，可设极点p1为r阶重极点，其余(n-r)个极点均为一阶，此时X(z)展开为：（4.2.4）式（4.2.4）等号右边的第一项累加式为与r阶重极点pi相关的部分分式，系数Bj可通过下式计算：（4.2.5）第4章离散信号与系统* (4.2.6)式（4.2.4）等号右边的第二项累加和是与其它（n-r）个一阶极点相关的部分分式，其系数Aj通过式（4.2.3）进行计算。若式（4.2.1）中的分子阶高于分母阶，即m≥n，则需要先将分子与分母进行长除，将X(z)分解成一个多项式和一个真分式相加的形式，即：此时，的阶低于A(z)，对真分式按上述方法进行部分分式展开。第4章离散信号与系统*在式（4.2.2）和式（4.2.4）这两种展开式中，部分分式的基本形式是和。再结合z变换的收敛域，它们的逆变换形式可通过表4-1查表得到。然后再利用z变换的线性特性，根据式（4.2.2）或式（4.2.4）将这些分式的逆变换形式进行线性组合，即可得到X(z)的逆变换形式。需要注意的是，在确定逆变换形式时，必须考虑X(z)的收敛域，因为即使X(z)的形式相同，若收敛域不同，也会得到不同的逆变换形式。第4章离散信号与系统*【例4-4】设，2<|z|<3，试求X(z)的逆变换x(n)。【解】根据式（4.2.3）求得各系数如下：第4章离散信号与系统*因而得出由于X(z)的收敛域为2<|z|<3，因此上式中第1项的收敛域为|z|>2，第3项的收敛域为|z|<3，因而查表可得：第4章离散信号与系统* 4.2.2幂级数法（长除法）由式（4.1.4）定义的z变换可以展开成如下形式（4.2.7）可以看出，序列x(n)的z变换X(z)实际上可以看作(z-1)的幂级数，系数就是序列x(n)的值（n=0,1,2….）。因此对于给定的X(z)，如果能把它展开成式（4.2.7）的形式，则幂级数的系数即为x(n)的值。如前所述，一般情况下X(z)为一有理分式形式，分子分母均为z的多项式形式，因此可直接使用分子多项式除以分母多项式，得到一个幂级数展开式，从而得到x(n)的形式。第4章离散信号与系统*另外还需注意，使用幂级数法计算z逆变换时，在做长除运算之前，我们首先需要根据X(z)的收敛域来确定序列x(n)是左边序列还是右边序列。如果X(z)的收敛域为|z|>Rx1，则说明x(n)为右边序列，此时X(z)的分子和分母要按z的降幂（或z-1的升幂）顺序进行排列；如果X(z)的收敛域为|z|<Rx2，则说明x(n)为左边序列，此时X(z)的分子和分母要按z的升幂（或z-1的降幂）顺序进行排列。第4章离散信号与系统*例【4-5】已知，|z|>1试求z反变换x(n)。【解】：根据X(z)的收敛域，可以看出X(z)所对应的时间序列x(n)应为一右边序列，此时X(z)的分子和分母要按z的降幂顺序进行排列，得到如下形式：进行长除运算：第4章离散信号与系统*得到由此可以推论序列x(n)=nu(n)幂级数展开法计算比较简单，但缺点是只能计算出序列x(n)的前N（N为有限值）数值，在大多数情况下无法像例题4-5中那样得到x(n)的闭合形式。第4章离散信号与系统*4．3z变换的性质与定理1.线性z变换的线性性质表现为比例性和可加性，若：则（4.3.1）其中a，b为任意常数。序列线性相加后的z变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分，即R1=max(Rx1,Ry1)，R2=min(Rx2,Ry2)。但应注意的是，经过线性相加后，原序列z变换的零点和极点有可能相互抵消，此时收敛域可能会扩大。第4章离散信号与系统*【例4-6】求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换【解】通过查表可知:又所以可见，序列经过线性叠加后，其z变换的收敛域有可能扩大，在此例中由于零极点对消，使收敛域由原来的|z|>1扩大为|z|>0。第4章离散信号与系统*2．位移性位移性表示序列x(n)位移之后的z变换与原序列的z变换之间的关系。在处理双边z变换和单边z变换时，位移性质略有不同，下面对这两种情况分别进行讨论。（1）双边z变换在计算双边z变换时，n的取值为-∞~+∞，序列x(n)位移后，序列的长度不会改变，而只会改变序列在n轴上的位置，位移情况如图4-9所示。图4-9双边序列位移第4章离散信号与系统*若序列的双边z变换为则序列右移后的双边z变换为：（4.3.2）证明：根据双边z变换定义，可得同理可得，左移序列的双边z变换为可以看出，经移位后序列的双边z变换需要乘上一个zm（或z-m），这样会改变z=0或z=∞处的零极点情况，在处理问题时需注意到这点。第4章离散信号与系统*图4-10双边序列移位后在n≥0区域的情况(4.3.3)（2）单边z变换计算单边z变换时，相当于计算Z[x(n)u(n)]。若x(n)是非因果的双边序列，如图4-10所示，由于对x(n)移位之后n≥0部分的序列会发生变化，因而导致移位后的单边z变换与双边z变换有所不同：第4章离散信号与系统*证明：根据单边z变换定义可得：p.105第4章离散信号与系统*（4.3.4）同理可得，右移序列的单边z变换：如果x(n)是因果序列（即x(n)只在n≥0处有定义），则（4.3.4）中为零，即（4.3.5）第4章离散信号与系统*3．z域尺度变换若已知则（4.3.6）其中a为非零常数。证明：因为所以可见对序列x(n)乘上一个指数序列an，相当于对其z变换X(z)在z平面上进行尺度展缩。第4章离散信号与系统*(4.3.7)4．z域微分若已知则证明：因为将上式两边对z求导，得到：交换求导与求和的次序，上式变成：所以可见对序列x(n)乘上一个线性序列n，相当于对其z变换取导数后乘上一个（-z）。第4章离散信号与系统*(4.3.8)5．初值定理若x(n)为因果序列，并已知则证明：由当z→∞时,上式中除第一项x(0)外，其余各项均趋向于零，所以可以得到：初值定理揭示了序列的初值与其z变换的终值之间的关系。第4章离散信号与系统*(4.3.9)6．终值定理若x(n)为因果序列，并已知则证明：因为两边取极限得到：第4章离散信号与系统*所以只有在当n→∞时x(n)收敛，终值定理才可应用，也就是要求X(z)的极点必须处在单位圆内（在单位圆上，只能位于z=±1处，且为一阶极点）。第4章离散信号与系统*(4.3.10)7．时域卷积定理已知两序列x(n)和h(n)的z变换分别为：则时域两个序列进行“卷积和”运算，对应于各自z变换的乘积运算。一般情况下，收敛域取两个序列z变换收敛域的重叠部分。如果收敛域边界上一个z变换的零点与另一个z变换的极点相互抵消的话，则收敛域可能扩大。第4章离散信号与系统*证明：所以在第1章的1.2.3节中我们曾经讨论到，对于线性时不变的离散系统，如果系统输入为x(n)，系统的单位脉冲响应h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的“卷积和”。现在，利用z变换的卷积定理，我们可以通过求X(z)H(z)，然后再求其z反变换而求出y(n)，这在很多情况下可以大大简化运算，因而这个定理对于离散系统的分析十分重要。第4章离散信号与系统*8．z域复卷积定理已知两序列x(n)和h(n)的z变换分别为：则或式中C1和C2分别为与H(v)或X(v)与收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。而Z[x(n)h(n)]的收敛域一般为与H(v)或X(v)与z变换收敛域的重叠部分。第4章离散信号与系统*证明：第4章离散信号与系统*关于Z[x(n)h(n)]的收敛域可做如下证明：根据此定理的假设条件，和前面的证明过程可知相乘这两个不等式，可以得到Z[x(n)h(n)]的收敛域：第4章离散信号与系统*4．4z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系至此本书已经讨论了三种变换域方法：傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这三个变换相互之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。在本小节中，我们将讨论z变换与拉氏变换、z变换与傅氏变换的关系。1．z平面与s平面的映射关系由4.1节已知，若对连续时间信号进行周期抽样，抽样周期为Ts，对得到的离散序列进行z变换，则变量z与对连续信号进行拉氏变换的变量s之间有如下关系：，或（4.4.1）第4章离散信号与系统*(4.4.2)(4.4.3)在第3章中复变量s定义如下：因此，变量z可以表示成如下形式：复变量z的模为(4.4.4)复变量z的相位为(4.4.5)可见，复变量z的模只与s的实部σ有关，z的相位只与s的虚部ω有关，我们可以得到如下s平面与z平面的映射关系：第4章离散信号与系统*（1）|z|与s变量的实部σ的关系s平面的虚轴(σ=0)映射于z平面的单位圆上（|z|=1）；s平面的左半平面(σ<0)映射于z平面的单位圆内（|z|=1）；s平面的右半平面(σ>0)映射于z平面的单位圆外（|z|<1）。（2）Ω与s变量的虚部ω的关系s平面的实轴(ω=0)映射于z平面实轴的正半部分（Ω=0）；s平面平行于实轴的直线(ω=ω0)映射于z平面始于原点，幅角为的直线（Ω=ω0Ts）；s平面的原点(σ=0，ω=0)映射于z平面的点z=1，即单位圆与正实轴的交点。第4章离散信号与系统*另外需要注意的是，s平面与z平面的映射关系不是单值映射。s变量的虚部ω的变化，相对与z变量的相位Ω发生变化。也就是说，在s平面上沿虚轴运动，映射于z平面就是沿着单位圆周旋转。在s平面上，沿着虚轴向上每平移2π/Ts的距离，对应于z平面上沿单位圆旋转一周。图4-11给出了s平面与z平面的映射关系的示意图。第4章离散信号与系统*图4-11s平面与z平面的映射关系第4章离散信号与系统*(4.4.7)(4.4.6)2．z变换与拉氏变换的关系由拉氏逆变换，通过象函数X(s)求原函数x(t)，即若对时间函数进行抽样，抽样间隔为Ts，这时x(t)由原来的一个连续函数变成了一个只有在t=nTs时才有定义的离散序列x(n)，根据式（4.4.6），x(n)可表示如下：对x(n)进行z变换，可以得到：第4章离散信号与系统*(4.4.8)(4.4.9)当，即时上式收敛，此时上式建立了连续函数x(t)的拉氏变换X(s)与对它进行抽样后得到的离散序列x(n)的z变换X(z)之间的关系。此积分式可用留数定理计算，即其中，si是X(s)的极点。第4章离散信号与系统*当X(s)有N个单阶极点时，(4.4.10)其中Ki为X(s)在极点si处的留数，K=(s-si)X(s)|s=si，zi为s平面中的极点si所对应的z平面中X(z)的极点。第4章离散信号与系统*(4.4.12)(4.4.11)3．z变换与傅氏变换的关系在第2章中，我们详细讨论了傅里叶变换方法。傅里叶变换是将连续信号x(t)从时域转换到频域的变换域方法，其变换对如下：根据第3章的讨论可知，频谱密度函数X(jω)的变量ω就是拉氏变换的变量s=σ+jω的虚部，因此傅氏变换可以看作拉氏变换的特殊情况，也就是说如果仅在s平面的虚轴上对连续函数f(t)取双边拉氏变换，就相当于对x(t)取傅氏变换。第4章离散信号与系统*而根据前面的讨论，我们又知道，s平面的虚轴映射于z平面的单位圆上，即s平面上点s=jω，映射到z平面上为点。因此频谱密度函数X(jω)的变量ω映射于z平面的单位圆之上，ω每平移2π/Ts的距离，对应于z平面上沿单位圆旋转一周。注意，在z平面上，ωTs是单位圆上的某点z的矢量与实轴之间的角度。式（4.4.8）中已推导得到的抽样序列x(n)的z变换与连续信号x(t)的拉氏变换之间的关系，由于傅氏变换是拉氏变换的特殊情况，因此，只要令式（4.4.8）中变量s=jω，σ=0，就可以得到抽样序列x(n)的z变换X(z)与连续信号的傅里叶变换X(jω)之间的关系：(4.4.13)(4.4.8)第4章离散信号与系统*(4.5.1)4．5离散系统的时域分析与系统函数4.5.1常系数线性差分方程对于离散系统而言，其激励信号x(n)和响应信号y(n)均为离散时间序列。若系统为线性时不变离散系统，则系统满足叠加原理（比例性和可加性），且响应信号的形式与激励信号施加于系统的起始时刻无关。连续线性时不变系统使用微分方程来描述激励与响应之间的关系，与之类似，离散线性时不变系统使用差分方程来描述激励与响应之间的关系。差分方程形式如下：第4章离散信号与系统*由于我们讨论的是时不变系统，系数ai(i=1,2,…,N)和bj(j=1,2,…,M)为常数。差分方程的阶为响应序列y(n)的变量序号的最高值与最低值之差。如式y(n)-2y(n-1)+3y(n-2)=x(n)的阶为2。对于离散系统的时域描述，通常以符号“”表示对序列进行单位延时（也可用符号“T”或“D”表示）；以符号“∑”表示两个序列相加；以符号“×”表示序列与系数相乘，有时为简便起见，可直接将乘系数注明于信号传输线旁或圆圈之内。其逻辑图形如图4-12所示。第4章离散信号与系统*图4-12离散时间系统的基本运算符号第4章离散信号与系统*【例4-7】离散系统结构如图所示，激励信号x(n)，响应信号y(n)，试写出描述系统工作的差分方程。图4-13【例4-7】图【解】:由系统结构图可以看出，输入信号x(n)乘以系数b与输出信号y(n)单位延时后乘以系数a累加后得到输出信号y(n)，列写差分方程如下：此方程为一阶差分方程，系统需设置寄存器存储上一次的输出值y(n-1)，再根据当前的输入值x(n)就可得到当前输出信号y(n)的值。经整理后得到：第4章离散信号与系统*图4-14【例4-8】图【例4-8】离散系统结构如图所示，激励信号x(n)，响应信号y(n)，试写出描述系统工作的差分方程。【解】：根据图中的系统结构，可列写差分方程形式如下：经整理可得：此方程为二阶差分方程，系统需存储前两次输出信号和前一次输入信号的值，即y(n-1)、y(n-2)和x(n-1)，再根据当前的输入值x(n)就可得到当前输出信号y(n)的值。第4章离散信号与系统*4.5.2迭代法与经典法对常系数差分方程的时域解法主要包括以下两种：1．迭代法迭代法是通过将输入信号和输出信号逐次代入到差分方程中，对当前的输出信号y(n)的数值进行求解的方法。这种方法概念清楚，解法简便，但只能对y(n)给出数值解，通常无法得到y(n)的闭合形式。下面通过一个例子给出迭代法的求解方法。第4章离散信号与系统*【例4-9】假设系统的差分方程为y(n)-ay(n-1)=bx(n)。在n=0时刻，输入信号x(0)进入系统，此时系统状态为y(n)寄存器的值，因此系统的初始状态为y(-1)，这也称为系统的边界条件。通过迭代法求解y(n)。【解】：首先可求得y(0)y(0)=bx(0)+ay(-1)求得y(0)之后，可将y(0)作为下一次迭代的初始值求得y(1)，y(2)，y(3)………第4章离散信号与系统*若y(-1)=0，x(n)=u(n)则可得到：y(0)=bx(0)+ay(-1)=by(1)=bx(1)+ay(0)=b+aby(2)=bx(2)+ay(1)=b+ab+a2by(3)=bx(3)+ay(2)=b+ab+a2b+a3b…y(n)=bx(n)+ay(n-1)=b+ab+a2b+...+anb使用迭代法求解差分方程比较简单，通常计算机求解差分方程的程序也是利用这种方法，这种方法的缺陷就是只能给出y(n)的数值解，而无法给出y(n)的闭合形式解。第4章离散信号与系统*(4.5.2)这种方法与连续系统微分方程的经典解法类似，先分别求齐次解和特解，然后代入边界条件求解待定系数。完全解为齐次解与特解相加。2．经典法对于如式（4.5.1）的差分方程：令等式右边激励信号部分为零，对应的齐次方程形式为：假设响应信号有如下形式：第4章离散信号与系统*其中为待定系数，将上式代入齐次方程式（4.5.2），得到：(4.5.3)消去常数A和公因子αn，两边再同乘幂次项αN，得到：(4.5.4)上式称为差分方程的特征方程。式（4.5.4）一般有N个不为零的根α1,α2…,αN，称为差分方程的特征根。在特征根没有重根的情况下，差分方程的齐次解有如下形式：(4.5.5)第4章离散信号与系统*(4.5.6)在特征根有重根的情况下，重根所对应的齐次解形式有所不同，例如，若α1为K重根，其余(N-K)个根均为单根，则在齐次解中有K项对应于α1，其余(N-K)项分别对应于(N-K)个单根，其形式如下：下面我们通过例子来说明差分方程齐次解的求解过程。第4章离散信号与系统*【例4-10】求差分方程y(n)+7y(n-1)+16y(n-2)+12y(n-3)=x(n)的齐次解。【解】特征方程为即特征根为α1=-2(二重),α2=-3(单重)，因此得到齐次解的形式为：第4章离散信号与系统*【例4-11】求差分方程y(n)+2y(n-1)+2y(n-2)=x(n)的齐次解形式。【解】特征方程为解特征方程可得到一对共轭复根：α1=-1+j,α2=-1-j齐次解形式为：其中，，。第4章离散信号与系统*由例4-11可知，当特征根中存在共轭复根时，共轭复根所对应的齐次解形式为等幅、增幅或衰减形式的正弦（余弦）序列。下面我们来讨论差分方程特解的求解方法。与微分方程特解的求解方法类似，先将激励函数x(n)代入差分方程（4.5.2）的右端，其计算结果称为“自由项”；然后根据自由项的函数形式通过查表图4-2确定含有待定系数的特解函数形式B(n)；最后将特解代入差分方程（4.5.2）的左端，根据方程左右两端同类项系数平衡的原则确定特解中的待定系数。将齐次解与特解相加得到差分方程完全解的形式(4.5.7)此时，再利用题目中给定的边界条件确定齐次解yc(n)中的待定系数。第4章离散信号与系统*表4-2自由项对应的特解函数表第4章离散信号与系统*【例4-12】求解差分程y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)-x(n-1)，其中激励函数x(n)=n2，且已知y(-1)=-1，y(0)=-1。【解】1）齐次解由特征方程α2+3α+2=0，得到特征根α1=-1,α2=-2,因此yc(n)=A1(-1)n+A2(-2)n2）特解将x(n)=n2代入差分方程右端，得到自由项n2-(n-1)2=2n-1根据自由项形式，在表4-2中选取特解形式B(n)=B1n+B2将特解形式代入差分方程左端，激励信号x(n)=n2代入差分方程右端，得到第4章离散信号与系统*若令等式两端同类项系数平衡得，因此，特解形式为：3）完全解根据前面得到的齐次解和特解，可以写出完全解形式再利用边界条件y(-1)=-1，y(0)=1，可以得到第4章离散信号与系统*解方程组，得到，因此差分方程的完全解为第4章离散信号与系统*4.5.3z变换法在连续系统分析中，系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。与之类似，离散系统的响应也可分解为零输入响应和零状态响应：y(n)=yzi(n)+yzs(n)(4.5.8)对应的，系统响应的边界条件也要分解为零输入响应的边界值和零状态响应的边界值。(4.5.9)4．5离散系统的时域分析与系统函数第4章离散信号与系统*在时域分析中，可以利用求齐次解的方法得到系统的零输入响应yzi(n)，但与齐次解不同的是，在确定系数时要使用零输入响应的边界值yzi(k)。若考虑系统的初始状态为零，输入信号为单位脉冲序列δ(n)，此时，系统的响应称为单位脉冲响应h(n)。由第1章的1.2.3节可知，零状态响应y(n)可由激励信号x(n)与单位脉冲响应h(n)的卷积和获得。时域计算离散系统的零输入响应和零状态响应与连续系统类似，计算过程较为繁复，不适合手工计算，下面我们详细讨论通过z变换法求解零输入响应和零状态响应的方法。这种方法的主要思想与利用拉氏变换求解微分方程类似，是利用z变换的线性和位移性，将差分方程转换为代数方程，简化了求解过程，得到z域的系统响应，然后再通过z反变换得到系统响应信号y(n)。第4章离散信号与系统*线性时不变系统的差分方程一般写成后向差分的形式：由于位移数i和j均大于零，因此y(n-i)和x(n-j)均为右移序列，对上式两边取单边z变换，得到：(4.5.10)(4.5.11)再利用单边z变换的位移性，可得到：(4.5.12)若输入信号x(n)=0，式（4.5.12）的等号右边为零：第4章离散信号与系统*此时，系统响应为零输入响应yzi(n)，上式中的Y(z)实际上是零输入响应yzi(n)的z变换，即Y(z)=Yzi(z)，其形式与输入信号无关，仅依赖于系统的初始状态y(l)(-N≤l≤-1)。通过式（4.5.13），我们可以得到Yzi(z)：再对Yzi(z)取z反变换，即可得到零输入响应yzi(n)。(4.5.14)(4.5.15)(4.5.13)第4章离散信号与系统*下面我们再来讨论系统的零状态响应，即系统的初始状态y(l)=0，(-N≤l≤-1)。此时，式（4.5.12）变为：(4.5.16)因为在实际中，我们通常认为输入序列x(n)为因果信号，即n<0时x(n)=0，因此式（4.5.16）可以进一步写成如下形式：(4.5.17)上式中Y(z)的实际上是零状态响应yzs(n)的z变换，即Y(z)=Yzs(z)，其形式与系统的初始状态无关，仅依赖于系统的输入信号x(n)。通过式（4.5.17），我们可以得到Yzs(z)：(4.5.18)第4章离散信号与系统*【例4-13】一离散系统的差分方程为y(n)+6y(n-1)+8y(n-2)=x(n)，已知初始值y(-1)=0，y(-2)=1，激励x(n)=2nu(n)，求响应y(n)。【解】对差分方程两边取单边z变换，得到将初始条件y(-1)=0，y(-2)=1代入上式，整理后由（4.5.14）、式（4.5.18）得到（1）求零输入响应响应的z变换第4章离散信号与系统*部分分式得零输入响应：（2）求零状态响应激励的z变换得响应的z变换部分分式第4章离散信号与系统*得零状态响应：(n≥0)（3）求全响应第4章离散信号与系统*4.5.4系统函数H(z)我们重列出系统的差分方程式（4.5.10）当输入序列x(n)为因果信号时，差分方程的z变换式（4.5.17）：定义离散系统的系统函数(4.5.19)第4章离散信号与系统*由上式可以看出，系统函数H(z)是由系统结构所决定的，它实际上是系统单位脉冲响应的z变换，即H(z)=Z[h(n)]。零状态响应的z变换Yzs(z)即为输入信号的z变换与系统函数的乘积(4.5.20)系统函数H(z)由系统结构决定，描述了系统的输入-输出之间的关系。由式（4.5.19）可以看出，对于线性时不变系统，其系统函数的分子和分母均为z-1的多项式，为有理分式形式。分子中z-j的系数就是差分方程（4.5.10）中x(n-j)的系数；分母中z-i的系数就是差分方程中y(n-i)的系数。这种系统函数与差分方程之间的对应关系使得我们可以对系统函数与差分方程直接进行转换。(4.5.19)第4章离散信号与系统*【例4-14】若系统处于零状态，且输入信号x(n)为因果信号，求下列差分方程所描述的离散系统的系统函数。当a=3,b=2,c=-1时，求系统的单位脉冲响应。【解】将差分方程两边取单边z变换，并利用位移特性，得到由于系统处于零状态，即y(-1)=0，y(-2)=0，因此由此可得系统函数为第4章离散信号与系统*我们看到，系统函数H(z)分母中的系数对应于差分方程中响应信号的系数，而分子的系数对应于差分方程中激励信号的系数。因此对于零状态的线性时不变系统，且输入为因果信号，可直接根据差分方程列出其系统函数的形式。当a=3,b=2,c=-1时，系统函数有如下形式对H(z)进行部分分式分解，可以得到由于系统函数H(z)为系统的单位脉冲响应h(n)的z变换，因此，对H(z)进行z反变换，即可得到系统的单位脉冲响应第4章离散信号与系统*【例4-15】求例4-13所给系统的单位脉冲响应。【解】单位脉冲响应是当输入为单位脉冲序列时的零状态响应，则由例4-13得第4章离散信号与系统*和根据式（4.5.19），可得系统函数为【例4-16】根据系统的输入和输出来求系统描述的问题称为系统识别。已知当一个离散线性时不变系统的输入为，其输出为，求该系统的系统函数和单位脉冲响应h(n)。【解】输入和输出信号的z变换分别是第4章离散信号与系统*从而，单位脉冲响应为求H(z)的z逆变换，可得系统的单位脉冲响应h(n)。对H(z)应用部分分式展开法，可得第4章离散信号与系统*4.5.5离散系统稳定性系统稳定性的定义：当输入信号有界时，输出信号也必定是有界的，满足此条件的系统称为稳定系统。系统输出等于系统输入与单位脉冲响应的卷积和，由卷积和定义可得：（4.5.21）若输入信号x(n)有界，即（对所有n值），则有（4.5.22）根据式（4.5.22）可知，若要保证系统的稳定性，即令|y(n)|有界，则要求单位脉冲响应序列是绝对可和的，即（4.5.23）第4章离散信号与系统*式（4.5.23）是满足离散系统稳定性的充分必要条件。下面我们来分析一下系统函数与系统的稳定性之间有什么样的关系。对于线性时不变离散系统，其系统函数有如下有理分式形式：分子是z-1的M阶多项式，分母是z-1的N阶多项式，对分子和分母进行因式分解，可以得到：（4.5.24）第4章离散信号与系统*其中Zj是H(z)的零点，即令分子为零所求得的多项式的根；Pi是H(z)的极点，即令分母为零所求得的多项式的根；是增益因子。进一步，对H(z)做部分分式展开，又因为P0≥0可以得到（4.5.25）因为系统函数H(z)是单位脉冲响应h(n)的z变换，所以（4.5.26）第4章离散信号与系统*由式（4.5.26）可以看出h(n)的形式由H(z)的极点Pi决定，Pi可能是实数，也可能是成对出现的共轭复数。若某个极点Pi在z平面的单位圆内，即|Pi|<1，则h(n)的累加和中与该极点的对应项为指数衰减序列；若某个极点在z平面的单位圆外，即|Pi|>1，则h(n)的累加和中与该极点的对应项为指数递增序列；若某个极点Pi在z平面的单位圆上，即|Pi|=1，则h(n)的累加和中与该极点的对应项为复正弦序列。这些关系如图4-15所示。（4.5.26）第4章离散信号与系统*图4-15系统函数的极点位置与单位脉冲响应之间的关系|Pi|<1|Pi|>1|Pi|=1第4章离散信号与系统*显然，指数增长序列和正弦序列均不是绝对可和的，是不稳定项。若要满足系统的稳定性，即保证单位脉冲响应h(n)的绝对可和，要求h(n)的累加和中不包含指数增长序列项和正弦序列项，而仅有指数衰减序列项，这就要求H(z)的所有极点均在单位圆内。图4-16给出了一个稳定的因果线性时不变系统的例子，从这个例子可以看到，当H(z)的所有极点均在单位圆内时，h(n)为一衰减序列，满足绝对可和的条件，此时系统具有稳定性。图4-16稳定系统的极点位置与单位脉冲响应之间的关系第4章离散信号与系统*【例4-17】已知一线性时不变系统的系统函数求系统的单位脉冲响应h(n)，并判断系统的稳定性。【解】根据系统函数H(z)可以得到系统的极点为，，P3=-2，极点位置如图4-17所示。其中极点P3=2落在单位圆之外，因此系统是不稳定的。其单位脉冲响应为:第4章离散信号与系统*图4-17例4-16中的系统极点位置与单位脉冲响应函数第4章离散信号与系统*4.6离散信号与系统的频域分析我们在连续信号与系统的分析中，用拉普拉斯变换来求解描述系统输入输出关系的常系数线性微分方程，得到连续系统的系统函数H(s)；用傅里叶变换来分析信号的谐波成分以及系统的频率响应等。由前节可见，在离散信号与系统的分析中，我们也有类似的分析方法，其中z变换与拉普拉斯变换对应，用于求解离散系统的常系数线性差分方程，得到离散系统的系统函数H(z)；下面介绍与傅里叶变换相对应的离散时间傅里叶变换（discretetimeFouriortransform，DTFT），并在此基础上，分析离散信号与系统的频率特性。第4章离散信号与系统*我们在第2章详细讨论过连续时间信号的傅里叶变换，而离散序列的傅里叶变换，也称为离散时间傅里叶变换（DTFT），是一种将序列信号x(n)从时域变换到频域的数学工具，通过这种变换我们得到离散信号的数字域频谱。这里需要注意离散时间傅里叶变换（DTFT）与离散傅里叶变换（DFT）的区别。通常所说的离散傅里叶变换是为了适用于数字计算机的分析计算而引入的一种变换方式，我们将在下一章给出详细介绍。4.6.1序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）第4章离散信号与系统*1．DTFT的定义在第3章中，我们曾经讨论过傅里叶变换实际上是拉普拉斯变换的一种特殊情况，即令拉氏变换的自变量s=jω，也就是说自变量s沿虚轴变化。由式（4.4.1）可知，序列z变换的自变量z与拉氏变换的自变量s之间的关系为z=esT。若s=jω，则z=ejΩ（Ω=ωTs）(|z|<1)，即变量z在z平面上沿着单位圆变化，此时，序列x(n)的z变换X(z)可写成如下形式：式（4.6.1）称作序列的离散时间傅里叶变换，也即在单位圆上的z变换，记为第4章离散信号与系统*再由z变换的反变换公式将z=ejΩ代入上式，得到（4.6.2）式（4.6.2）即X(ejΩ)为的离散时间傅里叶逆变换，记为第4章离散信号与系统*离散时间傅里叶变换X(ejΩ)是频率Ω的复函数，在数字频谱的分析中可以表示为若要保证X(ejΩ)存在，即|X(ejΩ)|<∞（对所有Ω），则要求X(z)的收敛域必须包含单位圆，即（4.6.3）式（4.6.3）表明，若序列x(n)是绝对可和的，则x(n)的离散时间傅里叶变换一定存在，此时级数一致收敛于一个Ω的连续函数X(ejΩ)。2．DTFT的特性第4章离散信号与系统*|X(ejΩ)|为幅度谱，为相位谱，二者都是Ω的连续函数。当为x(n)实数序列时，即（4.6.4）由于ejΩ是变量Ω以2π为周期的周期性函数，因此也是以2为周期的周期函数。实数序列的DTFT在（0，2π）范围内，其幅频特性关于π偶对称，相频特性关于π奇对称。因此计算实数序列的频谱X(ejΩ)可以通过计算其内的结果来完全确定。第4章离散信号与系统*【例4-18】求指数序列x(n)=anu(n)的离散时间傅里叶变换。【解】对于|a|≥1,此级数发散，当a<1时，得到收敛的几何级数：利用欧拉公式将上式展开，得到由此得到幅度谱和相位谱分别为：第4章离散信号与系统*图4-18例4-17的DTFT图4-18给出了a=0.3时的幅度谱和相位谱。第4章离散信号与系统*从图中可看出幅度谱是Ω的偶函数，相位谱是Ω的奇函数。表4-3中给出了一些常用序列的离散时间傅里叶变换。第4章离散信号与系统*由于序列的离散时间傅里叶变换实际上就是其z变换在单位圆上的取值，因此其基本性质与z变换的性质比较近似，表4-4给出了DTFT的基本性质，不再证明。表4-4DTFT的性质第4章离散信号与系统* 第4章离散信号与系统*所以，序列的离散时间傅里叶变换就是其对应的连续信号理想抽样后的傅里叶变换.3．DTFT与傅里叶变换FT的关系连续信号x(t)经理想抽样得到的抽样信号xs(t)可记作利用冲激函数的傅里叶变换、傅里叶变换的时移特性和线性特性，以及模拟角频率与数字角频率的对应关系，对上式作傅里叶变换（FT）得理想抽样信号的频谱第4章离散信号与系统*其中X(ejΩ)、Y(ejΩ)及H(ejΩ)分别是x(n)、y(n)及h(n)的离散时间傅里叶变换，于是我们有4.6.2离散系统的频率响应1．频率响应的重要意义由第1章的1.2.3节可知，对于一个线性时不变的离散因果系统，假设对于输入序列x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的输出序列为y(n)，则y(n)与x(n)之间有如下关系：对上式等号两边进行DTFT变换，根据时域卷积性质，可以得到（4.6.5）第4章离散信号与系统*则系统输出为式中，模|H(ejΩ)|称作幅频响应或幅度特性，相位φ（Ω）称作相频响应或相位特性。对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为Ω的复正弦序列：（4.6.6）（4.6.7）式中H(ejΩ)称为系统的频率响应，描述了在频域上，离散系统输出与输入之间的关系。线性时不变系统的频率响应H(ejΩ)是以2π为周期的连续周期函数,是复函数。它可以写成模和相位的形式第4章离散信号与系统*式（4.6.7）表明，当线性时不变系统的输入信号是频率为Ω的复正弦序列时，输出则为同频复正弦序列乘以加权函数H(ejΩ)。显然，H(ejΩ)决定了复正弦序列通过线性时不变系统时幅度和相位随频率Ω的变化情况。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由频率响应H(ejΩ)决定。用极坐标形式表示频率响应，由式（4.6.5），系统的输出和输入的傅里叶变换的幅度和相位间的关系可表示为: （4.6.8)（4.6.9）（4.6.5）第4章离散信号与系统*若H(z)的零点和极点均为单阶，则对上式的分子和分母进行多项式分解，H(z)可写成如下形式：2.频率响应的几何确定通过序列的傅里叶变换与z变换的关系可知，H(ejΩ)是系统函数H(z)在z平面的单位圆上的取值，即令z=ejΩ，有对于线性时不变的离散系统，其系统函数H(z)有如下形式：第4章离散信号与系统*令式（4.6.11）的分子项，Bj(Ω)和βj(Ω)分别表示零点Zj与单位圆上某点zd(|zd|=1)相连的矢量(ejΩ-Zj)的长度和相位。令式（4.6.11）的分母项，Ai(Ω)和αi(Ω)分别表示极点Pi与单位圆上某点zd(|zd|=1)相连的矢量的长度和相位。则|H(ejΩ)|和φ(Ω)有如下形式：将z=ejΩ代入式（4.6.10），得到系统的频率响应：（4.6.11）Zj为系统的零点，Pj为系统的极点。（4.6.12）（4.6.13）第4章离散信号与系统*【例4-19】某离散系统的系统函数为，画出该系统的幅度响应|H(ejΩ)|的图形。【解】由系统函数可知，系统z=-0.8在处有一个零点，在P1=0.7ejπ/3和P2=0.7e-jπ/3处，各有一个极点，零点和极点的分布图如图4-19所示。从式（4.6.12）和（4.6.13）可以看出，随着点zd在单位圆上的移动，频率响应特性也随之发生变化，当zd移到与某个极点Pi最接近的位置时，由于Ai(Ω)变小，|H(ejΩ)|会出现一个峰值；当zd移到与某个零点Zj最接近的位置时，由于Bj(Ω)变小，|H(ejΩ)|会出现一个谷值。下面我们通过一个例子来探讨系统的零极点对系统频率响应的影响。第4章离散信号与系统*图4-19零点和极点在z平面上位置第4章离散信号与系统*因此，幅度响应在Ω=π处为零，在Ω=±π/3处取得最大值，由系统零极点位置定性确定的系统的频率响应如图4-20所示。 图4-20由零极点位置定性确定的系统频率响应第4章离散信号与系统*4．7本章内容Matlab仿真1．部分分式展开法在MATLAB中用部分分式求z的逆变换的指令是residuez。它可求得X(z)部分分式的各