2019年全国卷Ⅰ理数高考试题（含答案）

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21．已知集合M{x4x2}，N{xxx60，则MN=A．{x4x3B．{x4x2C．{x2x2D．{x2x32．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2y21B．(x1)2y21C．x2(y1)21D．x2(y+1)210.20.33．已知alog20.2，b2，c0.2，则A．abcB．acbC．cabD．bca关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料51514．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（22≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与51咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子2下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cmsinxx5．函数f(x)=在[,]的图像大致为cosxx2A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料5112111A．B．C．D．163232167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为ππ2π5πA．B．C．D．633618．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入121221111A．A=B．A=2C．A=D．A=12AA12A2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则1A．a2n5B．a3n10C．S2n28nD．Sn22nnnnn210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为x2x2y2x2y2x2y2A．y21B．1C．1D．1232435411．关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增2③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86B．46C．26D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为____________．1214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a，aa，则S5=____________．134615．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．x2y216．已知双曲线C：1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线a2b2分别交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料（1）求A；（2）若2ab2c，求sinC．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．（12分）3已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．2（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP3PB，求|AB|．20．（12分）已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；2（2）f(x)有且仅有2个零点．21．（12分）关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（）若甲药、乙药在试验开始时都赋予分，表示甲药的累计得分为时，最终认24pi(i0,1,,8)“i为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）1t2x，1t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的4ty1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料111（1）a2b2c2；abc（2）(ab)3(bc)3(ca)324．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1．C　2．C　3．B　4．B　5．D　6．A　7．B　8．A　9．A　10．B　11．C　12．D　二、填空题12113．y=3x14．15．0.1816．23三、解答题17．解：（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc．b2c2a21由余弦定理得cosA．2bc2因为0A180，所以A60．（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，6312即cosCsinC2sinC，可得cosC60．22222由于0C120，所以sinC60，故2sinCsinC6060关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料sinC60cos60cosC60sin6062．418．解：（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，1所以ME∥B1C，且ME=B1C．21又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．2由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A1M(1,3,2)，A1N(1,0,2)，MN(0,3,0)．关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料mA1M0设m(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则，mA1A0x3y2z0，所以可取m(3,1,0)．4z0．nMN0，设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则．nA1N03q0，所以可取n(2,0,1)．p2r0．mn2315于是cosm,n，|m‖n|25510所以二面角AMA1N的正弦值为．5319．解：设直线l:yxt,Ax,y,Bx,y．21122335（）由题设得，故，由题设可得．1F,0|AF||BF|x1x2x1x24223yxt2212(t1)由2，可得9x12(t1)x4t0，则x1x2．29y3x12(t1)57从而，得t．92837所以l的方程为yx．28（2）由AP3PB可得y13y2．关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料3yxt2由2，可得y2y2t0．2y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．1代入C的方程得x3,x．123413故|AB|．31120．解：（1）设g(x)f'(x)，则g(x)cosx，g'(x)sinx.1x(1x)2当x1,时，g'(x)单调递减，而g'(0)0,g'()0，可得g'(x)在1,有唯一零点，222设为.则当x(1,)时，g'(x)0；当x,时，g'(x)0.2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点，22即f'(x)在1,存在唯一极大值点.2（2）f(x)的定义域为(1,).（i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0)0，所以当x(1,0)时，f'(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料（ii）当x0,时，由（1）知，f'(x)在(0,)单调递增，在,单调递减，而22f'(0)=0，f'0，所以存在,，使得f'()0，且当x(0,)时，22f'(x)0；当x,时，f'(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减.22又f(0)=0，f1ln10，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x)在2220,没有零点.2（iii）当x,时，f'(x)0，所以f(x)在,单调递减.而f0，f()0，222所以f(x)在,有唯一零点.2（iv）当x(,)时，ln(x1)1，所以f(x)<0，从而f(x)在(,)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21．解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1.因此pi=0.4pi1+0.5pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即pi1pi4pipi1.又因为，所以为公比为，首项为的等比数列．p1p0p10pi1pi(i0,1,2,,7)4p1（ii）由（i）可得481ppppppppppppppp.88776100877610313由于p=1，故p，所以814814411pppppppppp.44332211031257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治1愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p0.0039，此时得出错误结论的概率非4257常小，说明这种试验方案合理.221t2y1t24t222．解：（1）因为，且2，所以C的直角坐标方程为121x2211t21t1t2y2x21(x1).4l的直角坐标方程为2x3y110.xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）.y2sin关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料π4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.772ππ当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.3323．解：（1）因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有abbcca111a2b2c2abbcca.abcabc111所以a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料