必备三 解题陷阱妙破 “陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来
设计
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障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质 例1 若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan的值为 . 易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan的值为多个,从而错解.
答案
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-7正确解析 由纯虚数的概念,可知由①,得sinθ=,故cosθ=±=±=±,而由②,可得cosθ≠,故cosθ=-,所以tanθ==-,则tan===-7.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 . 陷阱二 错用结论——公式定理要记准 例2 将函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f= . 易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案 正确解析 将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y=2sin2=2sin的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin=2sin.所以f=2sin=2sincos+cossin=2×=.▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.(1)求f的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记 例3 已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线交于点P,判断·是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析 直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,由于思维定势,经常只考虑直线l的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析 (1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c==1,因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y轴的距离大1,所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设曲线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)·为定值.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以·=0.②当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y1>0,y2<0,则x1+x2=2+,x1x2=1.由y2=4x(y>0),得y=2,y'=,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=+;由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--.由得即P,所以直线PF的斜率kPF==-,所以kPF·k=-×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,·为定值,且定值为0.跟踪集训3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线l:x=m(m∈R).四点(3,1),(3,-1),(-2,0),(,)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四 讨论漏解——参数
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要恰当 例4 已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当0≤a<时,讨论f(x)的单调性.易错分析 该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析 (1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞).所以f'(x)=,x∈(0,+∞).因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.又f(1)=ln1+1+2-1=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,所以f'(x)=-a+=-,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.②当0
1>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当00,a≠1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏 例5 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,△ABC的面积为20,则△ABC中最大角的正切值是 . 易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件.答案 解析 由题意得20=×8×10×sinC⇒sinC=⇒C=或C=(舍),由余弦定理得,c2=82+102-2×8×10×=84,因为a=8,b=10,所以a2
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达式为f(x)=则函数f(x)与函数g(x)=的图象在区间[-3,3]上的交点个数为 . 易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.答案 6正确解析 由①可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称;由②可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.▲跳出陷阱 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2018江苏南通阶段检测)设函数f(x)是定义域为R,周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数f(x)和g(x)的图象在区间[-5,10]内交点的个数为 . 陷阱八 推理跳步——步骤过程要合理 例8 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1.(2)求证:EF⊥B1C.易错分析 证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件
书
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写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明 (1)如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B.因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.又因为B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.因为BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.▲跳出陷阱 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.跟踪集训8.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°.在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.求证:(1)N为AC的中点;(2)AC⊥平面A1B1MN.陷阱九 转化不当——由此及彼要等价 例9 f(x)=x2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析 该题易出现的问题是直接把>a转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,导致错解.正确解析 f'(x)=x-+a-2=(x>0).(1)当a=1时,f(1)=-,f'(x)=,f'(1)=-2,所以所求的切线方程为y-=-2(x-1),即4x+2y-3=0.(2)①当-a=2,即a=-2时,f'(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当0<-a<2,即-22时,f'(x)>0;-a2,即a<-2时,因为0-a时,f'(x)>0;当2a恒成立,知f(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=x2-2alnx-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x--2≥0,即2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,因为(x-1)2-1在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a≤-,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为.▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“”,其几何意义是曲线上两点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-,g(x)=2alnx.(1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a的值;(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x1,x2∈(0,1](x1≠x2),都有|F(x1)-F(x2)|<3恒成立,求a的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈,求G(x1)-G(x2)的最小值.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确 例10 定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:①函数f(x)=[sinx]是奇函数;②2π是函数f(x)=[sinx]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)0且≠1,所以解得所以λ的取值范围是.陷阱二 错用结论——公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin-cos+2cos2x=sin2x+cos2x-cos2x+sin2x+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin+1,∴f=2sin=+1.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z);令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(3)变换步骤:(答案不唯一)y=sinxy=sin2xy=siny=2siny=2sin+1.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记跟踪集训3.解析 (1)由题意有3个点在椭圆C上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C上,即+=1(a>b>0)①,若点(-2,0)在椭圆C上,则点(-2,0)必为椭圆C的左顶点,而3>2,则点(-2,0)一定不在椭圆C上,故点(,)在椭圆C上,点(-2,0)在直线l上,所以+=1②,联立①②可解得a2=12,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由(1)可得直线l的方程为x=-2,设P(-2,y0),y0∈,当y0≠0时,设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠x2,联立则+=0,即=-·,又PM=PN,即点P为线段MN的中点,故直线MN的斜率为-·=,又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y0=-(x+2),即y=-,显然直线l'过定点;当y0=0时,直线MN为x=-2,此时直线l'为x轴亦过点.综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为.陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当跟踪集训4.解析 (1)因为函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1),所以f'(x)=axlna+2x-lna,f'(0)=0,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)由(1)知,f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.因为当a>0,a≠1时,总有f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为(0,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,0)0(0,+∞)f'(x)-0+f(x)减函数极小值增函数所以f(x)在[-1,0)上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.因为f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-=a--2lna,令g(a)=a--2lna(a>0),因为g'(a)=1+-=≥0(当a=1时,取“=”),所以g(a)在(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当01时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0,m=====+>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).陷阱六 推理不当——归纳类比要合理跟踪集训6.解析 (1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则++…+≥.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,则f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+…+++…+=nx2-2x+++…+,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(++…+)≤0,从而得++…+≥.陷阱七 画图不准——数化“形”要准确跟踪集训7.答案 15解析 函数y=f(x),y=g(x),x∈[-5,10]的图象的交点个数即为函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当x∈[9,10]时,f(9)=00,b=-1时,F(x)=x2+1+2alnx,F'(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]上递增.不妨设00,所以00),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根,∴x1x2=1,x1+x2=-2a,x2=,2a=-x1-,G(x1)-G(x2)=G(x1)-G=2.令H(x)=2,H'(x)=2lnx=.当x∈时,H'(x)<0,所以H(x)在上单调递减,H(x)的最小值为H=,即G(x1)-G(x2)的最小值为.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确跟踪集训10.答案 9解析 易知A(-1,7),B(5,7),所以=(-6,0),所以=+λ=(5-6λ,7).因为xM=x2+λ(x1-x2),所以xM=5+λ(-1-5)=5-6λ.因为点M(xM,yM)在函数f(x)的图象上,所以-1≤5-6λ≤5,解得0≤λ≤1.所以yM=f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以-=(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ),所以|-|=|-36λ2+36λ|=36,当λ=时,|-|取最大值,为9.所以函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9,故填9.
浙公网安备 33021202002483