陕西省西安市长安区2022届高三理科数学二模试卷及答案

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）2022年陕西省西安市长安区高三理科数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，，则　　A．B．C．D．2．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为　　A．2B．1C．D．3．（5分）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为　　A．2B．3C．4D．54．（5分）已知是定义在，上的函数，那么“函数在，上的最大值为”是“函数在，上单调递减”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为　　A．5B．6C．7D．86．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于，则此人赢得比赛．下列说法正确的是　　①时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；②时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；③在局比赛中，甲获胜的局数的期望为；④随着的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．A．①②③B．②③④C．①②④D．③④7．（5分）已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，则的最大值为　　A．2B．6C．10D．148．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是　　A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则9．（5分）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为　　A．B．C．D．10．（5分）已知曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，且直线与的斜率之积等于2，则的离心率为　　A．B．C．D．11．（5分）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，则在上　　A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减12．（5分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　A．4B．C．D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中的系数为　　．14．（5分）已知向量，，若，则实数　　．15．（5分）已知定义域为的奇函数，当时，有，则（2）（4）（6）　　．16．（5分）“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设是一个有限“0，1数列”，（A）表示把中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，，则（A），1，0，1，0，．设是一个有限“0，1数列”，定义，，2，3，．若有限“0，1数列”，1，，则数列的所有项之和为　　．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的外接圆半径为2，，求的面积．18．（12分）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级“良好以下”或“良好及以上”进行统计，并制成列联表如下：良好以下良好及以上合计男25女10合计70100（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左、右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆上是否存在点使得四边形为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设有两个不同的零点，，求证：．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与曲线交于，两点，设点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为，正实数，满足，求证：．2022年陕西省西安市长安区高三理科数学二模试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，，则　　A．B．C．D．【解答】解：集合或，，，．故选：．2．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为　　A．2B．1C．D．【解答】解：，，，复数的虚部为1．故选：．3．（5分）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为　　A．2B．3C．4D．5【解答】解：函数的存在极值时，必须满足这一点的导函数值为0，并且这一点的两侧导函数值的符号相反，结合导函数的图像，可知函数极值点的个数为4个．故选：．4．（5分）已知是定义在，上的函数，那么“函数在，上的最大值为”是“函数在，上单调递减”的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数在，上的最大值为，则函数在，上不一定单调递减，故充分性不成立，由单调性的定义可知，若函数在，上单调递减，此时函数在，上的最大值为，即必要性成立，综上，“函数在，上的最大值为”是“函数在，上单调递减”“的必要不充分条件，故选：．5．（5分）《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为　　A．5B．6C．7D．8【解答】解：设驽马、良马第天行程分别为、，则数列是以100为首项，以为公差的等差数列；数列是以155为首项，以12为公差的等差数列，所以的前项和为，的前项和为，令，得，即，解得或，又，，所以的最小值为8．故选：．6．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于，则此人赢得比赛．下列说法正确的是　　①时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；②时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；③在局比赛中，甲获胜的局数的期望为；④随着的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．A．①②③B．②③④C．①②④D．③④【解答】解：时，甲、乙比赛结果为平局的概率为，故①错误；故排除选项、；时，甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为，故②正确；由二项分布的数学期望公式知，在局比赛中，甲获胜的局数的期望为，故③正确；在局比赛中，甲赢得比赛的概率为，故随着的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，故④正确；故选：．7．（5分）已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，则的最大值为　　A．2B．6C．10D．14【解答】解：函数，函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，则当最大时，，求得的最大值为2，故选：．8．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是　　A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【解答】解：，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误；对于，若，，则与相交或平行，故错误；对于，若，，，则与平行或异面，故错误；对于，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．故选：．9．（5分）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为　　A．B．C．D．【解答】解：首先求出正八面体的体积，设内切球的半径为，故，解得；故．故选：．10．（5分）已知曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，且直线与的斜率之积等于2，则的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得，，设，由可得，则，所以离心率，故选：．11．（5分）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，则在上　　A．恒为正值B．恒为负值C．单调递增D．单调递减【解答】解：由，得，设，则，设，，当时，，递增，时，，递减，所以，所以，即恒成立，所以是上的增函数，又，所以时，，，故选：．12．（5分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　A．4B．C．D．12【解答】解：不妨设抛物线的标准方程为，由已知可得，故抛物线的标准方程为，该抛物线的准线为，焦点为，不妨设点为第一象限内的点，则，可得，则，故点，设点，则即为在方向上的投影长，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4．故选：．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中的系数为　　．【解答】解：二项式可以化为，则展开式中含的项为，所以的系数为，故答案为：．14．（5分）已知向量，，若，则实数　4　．【解答】解：，，，，解得，故答案为：4．15．（5分）已知定义域为的奇函数，当时，有，则（2）（4）（6）　0　．【解答】解：上的奇函数，则有，而当时，有，于是有（2）（1），（4）（1），（6）（3），因，则有，（2），（1），（3），所以（2）（4）（6）（2）（4）（6）．故答案为：016．（5分）“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设是一个有限“0，1数列”，（A）表示把中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，，则（A），1，0，1，0，．设是一个有限“0，1数列”，定义，，2，3，．若有限“0，1数列”，1，，则数列的所有项之和为　　．【解答】解：因为，1，，所以，0，1，0，1，0，1，0，，，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，，显然中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，中有9项，其中4项为0，5项为1，同理可得中有27项，其中14项为0，13项为1，由此可得中有项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1，当为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项；当为偶数时，0的项数为奇数，比1的项数少1项；因此，数列有项，0的项数比1的项数少1项，所以数列的所有项之和为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的外接圆半径为2，，求的面积．【解答】解：因为，所以，由余弦定理可得，由为三角形内角得；因为的外接圆半径为2，，所以，即，所以的面积．18．（12分）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级“良好以下”或“良好及以上”进行统计，并制成列联表如下：良好以下良好及以上合计男25女10合计70100（Ⅰ）将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（Ⅱ）事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【解答】解：（Ⅰ）根据题意补充列联表如下，良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100计算，所以有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（Ⅱ）在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取9人，男生抽取6人，女生抽取3人，从这9人中随机抽取3人，抽到的3人全是男生的概率为．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，为等边三角形，中点为，，又底面是菱形，，，又，平面，又平面，．（Ⅱ）解：平面平面，平面平面，，平面，平面，即，再由（1）知，，，两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，由题意得，则，，设平面的法向量为，则，得，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左、右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆上是否存在点使得四边形为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为的左右顶点为和，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为：（Ⅱ）假设存在点使得四边形为原点）为平行四边形，设，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，因为为平行四边形，所以，所以，所以，，，即，点在椭圆上，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，，，，整理得，所以，，，因为为平行四边形，所以，所以，，，，即，，，所以，将点代入椭圆方程得，，方程无解，故当直线的斜率存在时，不存在点．综上所述，存在，使得四边形为平行四边形．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设有两个不同的零点，，求证：．【解答】（Ⅰ）解：的导数为，可得曲线在点处的切线斜率，又，所以切点为，，所以切线方程为，即．（Ⅱ）证明：不妨设．由，可得，，可得，．要证明，即证明，也就是．因为，所以即证明，即证．令，则，于是．令，则．故函数在上是增函数，所以（1），即成立．所以原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与曲线交于，两点，设点，求的值．【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为为参数），转换为直线的方程为；曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；（Ⅱ）把直线的参数方程，代入，得到；所以，；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为，正实数，满足，求证：．【解答】解：，当时，由得，解得，所以，当时，由得，所以，当时，由得，解得，所以，综上所述，不等式的解集为，．证明：，当且仅当，即时，等号成立，故的值为2，，即，，当且仅当，即，时，等号成立，，均为正实数，，即得证．