必修5不等式题型总结材料

必修5不等式 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型总结材料必修5不等式题型总结材料必修5不等式题型总结材料实用文档概念、 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若ab,cd，则acbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，则ab）；cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则anbn或nanb；4．若ab0，ab，则11；若ab0，ab，则11。如abab练习一、：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若ab,则ac2bc2；②若ac2bc2,则ab；③若ab0,则a2abb2；④若ab0,则11；b0,则ba；ab⑤若a⑥若ab0,则ab；ab⑦若cab0,则ab；⑧若ab,11，则a0,b0。cacbab其中正确的命题是______（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______（3）已知abc，且abc0,则c的取值范围是______a二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习二;（1）设a0且a1,t0，比较1logat和logat1的大小122（2）设a2，pa，q2a24a2，试比较p,q的大小（3）比较1+a2logx3与2logx2(x0且x1)的大小三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A、yx1的最小值是2B、yx23的最小值是2C、y23x4(x0)的最大值是x4x22x243D、y23x0)的最小值是243(xx（2）若x2y1，则2x4y的最小值是______；实用文档（3）正数x,y满足x2y1，则11的最小值为______xy五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如练习三：（1）解不等式(x1)(x2)20。（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如练习四：（1）解不等式5x21x2x3（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式axb0的解集为____________x2八．绝对值不等式的解法：1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|23x|2|x1|422）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|x||x1|34）两边平方：如若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若loga21，则a的取值范围是__________（2）解不等式ax2x(aR)3ax1十一．含绝对值不等式的性质：a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.如设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)十二．(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA实用文档若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB如（1）设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是______（答：21,）；（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：a1）；（3）若不等式2x1m(x21)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（71,31））；22（4）若不等式(1)na2(1)n1对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：[2,3)）；n2（5）若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m1）22).能成立问题若在区间D上存在实数若在区间D上存在实数式x4x3a在实数集3).恰成立问题x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如已知不等R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：a1）若不等式fxA在区间D上恰成立,则等价于不等式fxA的解集为D；若不等式fxB在区间D上恰成立,则等价于不等式fxB的解集为D.含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按x2项的系数a的符号分类，即a0,a0,a0;例1解不等式：ax2a2x10分析：本题二次项系数含有参数，224240，故只需对二次项aaa系数进行分类讨论。解：∵a224aa240解得方程ax2a2x10两根x1a2a24,x2a2a242a2a∴当a0时,解集为x|xa22aa24或xa2a242a当a0时，不等式为2x10,解集为x|x12当a0时,解集为x|a2a24xa2a242a2a例2解不等式ax25ax6a0a0分析因为a0，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解a(x25x6)ax2x30实用文档当a0时，解集为x|x2或x3；当a0时，解集为x|2x3二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例3解不等式x2ax40分析本题中由于x2的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵a216∴当a4,4即0时，解集为R；当a4即＝0时，解集为xxR且xa；2当a4或a4即0,此时两根分别为x1aa216aa216x2,2，x22，显然x1xxaa216aa216∴不等式的解集为2或x〈2例4解不等式m21x24x10mR解因m210,(4)24m2143m2，所以当m3，即0时，解集为x|x1；2当3m3，即0时，解集为23m223m2；xxm21或x〈m21当m3或m3，即0时，解集为R。三、按方程ax2bxc0的根x1,x2的大小来分类，即x1x2,x1x2,x1x2；例5解不等式x2(a1)x10(a0)a1)分析：此不等式可以分解为：xa(x0，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。1)a11解：原不等式可化为：xa(x0，令a，可得：a1，∴当a1或0a1时，a，故原不aaa等式的解集为x|ax1；当a1或a1时，a1,可得其解集为；aa当1a0或a1时,a1,解集为x|1xa。aa例6解不等式x25ax6a20，a0分析此不等式5a224a2a20，又不等式可分解为x2a(x3a)0，故只需比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为：x2a(x3a)0，对应方程x2a(x3a)0的两根为x12a,x23a，当a0时，即2a3a，解集为x|x3a或x2a；当a0时，即2a3a，解集为x|x2a或x3a一元二次不等式1．(1)解不等式x11（{x|x1,或x0}）2x(2)不等式ax1的解集为{x|x1，或x2}，求a的值.（a1x1）22．解下列关于x的不等式：（1）x2(a1)x10（2）xa，且a2)a2)(x3)0(a3(x实用文档当a1,或0a时，x1}当时，或(1)1{x|aaa,2x3}(1)a2{x|x当时，(2)当时，2,或ax3}(2)a12a3{x|x当或时，1当时，2,或3xa}a1,1axa}(3)a3{x|x(3)0{x|a（3）ax2(a1)x10（4）(x2)(ax2)0(1)当a0时，1,或x1}(1)当a时2x2}{x|xa0,{x|a(2)当a时，1}(2)当a时,{x|x2}0{x|x0(3)当0a时，x1(3)当0a时,{x|x2,或x21{x|1}1}aa(4)当a1时，(4)当a1时,{x|x2}(5)当a时，1x1}(5)当a时,{x|x2,或x2}1{x|a1a（5）ax2x10（6）xx1a(aR)1(1)当a时，114a,或x114a0{x|x2a2a}a1当a时，x1}(2)当a时，1}(1)0{x|a0{x|x当a时，1}(3)当0a1时，114ax114a(2)0{x|x4{x|2a2a}当a时，1,或xa11时，(3)0{x|xa}(4)当a43．（1）若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，求实数a的取值范围.（2a2）2（2）若不等式2x2mxm1的解集为R，求实数m的取值范围.（1m3）4x26x34．（1）已知A{x|x23x20},B{x|x2(a1)xa0}，①若AB，求实数a的取值范围.；（a2）②若BA，求实数a的取值范围.；（1a2）③若AB为仅含有一个元素的集合，求a的值.（a1）（2）已知A{x|x10}，B{x|x2(a1)xa0},且ABB，求实数a的取值范围.x3（1a3）(3)关于x的不等式|x(a1)2|(a1)2与x23(a1)x2(3a1)0的解集依次为A与B，22若AB，求实数a的取值范围.（a1,或1a3）（4）设全集UR，集合A{x|xa0},B{x||2x1|3}，若ABR，x1求实数a的取值范围.（2a1）（5）已知全集UR，A{x|x2x60},B{x|x22x80},C{x|x24ax3a20}，实用文档若(AB)C，求实数a的取值范围.（1a2）一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数yax2bxc的图象的对称轴方程是b，顶点坐标是b4acb2x2a，．2a4a2．二次函数的解析式的三种形式：f(x)ax2bxc（一般式）；f(x)a(xx1)(xx2)（零点式）；f(x)a(xm)2n（顶点式）．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：000yax2bxcyax2bxcyax2bxc二次函数ax2bxca0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0bx1,x2(x1x2)x1a0的根x2无实根2aax2bxc0xxx1或xx2xxb(a0)的解集2aRax2bxc0xx1xx2(a0)的解集4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=ax2bxc>0(或<0)(a；>0)(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集．5．讨论二次函数yax2bxca0在指定区间p,q上的最值问题：(1)注意对称轴xbp,q的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴b与区间在区间左边，函数在此区间上具有单2a2a调性；②对称轴b在区间之内；③对称轴b2a在区间右边．2a（2）函数yax2bxca0在区间p,q上的单调性．要注意系数a的符号对抛物线开口的影响．6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1函数yx2bxc(x[0,))是单调函数的充要条件是（）A．b0B．b0C．b0D．b0实用文档解：∵函数yx2bxc(x[0,))的对称轴为xb，2∴函数yx2bxc(x[0,)）是单调函数-b(0,)b0，b0．故选A．22归纳小结：二次函数的单调区间是(,b]和[b,)，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b的范围．2a2a例2已知二次函数的对称轴为x2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为x2，可设所求函数为f(x)a(x2)2b，∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x)过点(22,0)和(22,0)，f(x)又过点(0,1)4ab0a12，，∴b1，解之得2ab2∴f(x)1(x2)22．2归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集．（1）4x24x10；（2）x22x30解法一：因为0,方程4x24x10的解是x1x21．所以，原不等式的解集是xx1．22解法二：整理，得x22x30．因为0,方程x22x30无实数解，所以不等式x22x30的解集是．从而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．2例4不等式axbx20的解集为x1x2，求a与b的值．解法一：设ax2bx20的两根为x1、x2，由韦达 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 得：x1x2bab由题意得a12∴a1，b1，此时满足a0，b24(2)0．ax1x22a2a12解法二：构造解集为x1x2的一元二次不等式：(x1)(x2)0，即x2x20，此不等式与原不等式ax2bx20应为同解不等式，故a1，b1．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x1x2，不等式ax2bx20需满足条件a0，0，ax2bx20的两根为x1，x22．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．1题型3：含参不等式的求解问题例5解关于x的不等式ax2(a1)x10．证：分以下情况讨论(1)当a0时，原不等式变为：x10，∴x1，即不等式的解集为{x|x1}(2)当a0时，原不等式变为：(ax1)(x1)0①①当a0时，①式变为(x1)(x1)0，∴不等式的解为x1或1ax1{x|x1或x0时，①式变为(x1)(x1)0．②，∵111a，．即不等式的解集为}；②当aaaa1}；当aaa∴当0a1时，11，此时②的解为1x1．即不等式的解集为{x|1x1时，11，此时②的解为．1时，1a1aaa当a1，即不等式的解集为{x|x1}．aa实用文档归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，就本题来说有三级分类：a0a0aR00a1a0a1aa1分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论a0时，解一元二次不等式ax2(a1)x10应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）已知函数fxx1x0x1fx11的解集是（x1x0，则不等式x）A．x|1x21B．x|x1C．x|x21D．x|21x21解：依题意得x10x)或x10x(x1)(1x(x1)x1所以x1或x1x1或1x21x21，选C．xR21x21（2）若函数f(x)=2x22axa解：函数f(x)2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为_______．1的定义域为R，对一切xR都有2x22axa1恒成立，即x22axa0恒成立，0成立，即4a24a0，1a0，故选A．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7已知函数ysin2xasinxa1的最大值为2，求a的值．42a)21(a2aa解：令tsinx，t[1,1]，∴y(ta2)，对称轴为t，当11，即2a2时，2422ymax1(a2a2)2，得a2或a3（舍去）．当a1，即a2时，函数y(ta)21(a2a2)在[1,1]4224上单调递增，由ymax1a1a12，得a10；当a1，即a2时，函数y(ta)21(a2a2)在423224[1,1]上单调递减，由ymax1a1a12（舍去）．42，得a102综上可得，a的值为a．2或a3归纳小结：令tsinx，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]的三种位置关系的讨论就可求得a的值．此题中要注意a0的条件．例8设不等式x22axa20的解集为M，如果M[1,4]，求实数a的取值范围？a解：M[1,4]有两种情况：其一是M=，此时＜0；其二是M，此时=0或＞0，分三种情况计算的取值范围．设≠f(x)x22axa2，有=(2a)24(a2)=4(a2a2)，当＜0时，－1＜a＜2，M=[1,4]；当=0时，a=－1或2；当a=－1时M={1}[1,4]；当a=2时，m={2}[1,4]当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程f(x)0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么=［x1，x2］，M[1,4]1≤1＜x2≤Mx实用文档f(1)0,且f(4)044,且，即1a0a30，187a0，18，∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，18)．a0解得2＜a＜，77a1或a2，一元二次不等式解法应试能力测试1．不等式6x2x20的解集是()A．{x|3x2}B．{x|2x3}C．{x|x3或x2}D．{x|x2或x3}2{x|x22222．设集合M＝{x|0≤x<2}，N2x30}，则有M∩N＝()A．{x|0≤x<1}B．{x|0≤x<2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}3．对于任意实数x，不等式ax22ax(a2)0恒成立，则实数a的取值范围是()A．－1≤a≤0B．－1≤a<0C．－10C．a＝0且b>0D．b＝0且a<01．不等式2x23|x|350的解为_______________．2．使函数yx22x31有意义的x的取值范围是_______________．3|x|3．已知A{x|x23x20}，B{x|x2(a1)xa0}，若AB，则a的取值范围是_______________；若AB，则a的取值范围是_______________．4．关于x的不等式ax0(a＋b>0)的解集是_______________．xb1．为使周长为20cm的长方形面积大于15cm2，不大于20cm2，它的短边要取多长？2．解不等式|x22x|1x．23．解关于x的不等式ax22(a1)x40(a>0)．4．k为何值时，关于x的不等式2x22kxk1对一切实数x恒成立．4x26x3参考答案一、1．D2．B3．C4．C5．A提示：因为A∩B＝{3，4}6．A提示：因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是x2pxq0的两根，∴p＝－3，q＝－4．7．C8．A，提示：因x2x10的解为，只有a＝0且b≤0时，ax5提示：原不等式化为2|x|23|x|350，∴|x|>5实用文档2．{x|－32，1≤a≤2，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，∵AB，∴a>24．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b)>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．三、1．设长方形较短边长为xcm，则其邻边长(10－x)cm，显然00时，不等式化为x|x2|1x，即|x2|1解得：352)(x222x3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0，∵a>0，∴(x2)0，当a＝1时，2，∴(x2)20，22aa∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则22，∴{x|x2或x2}，若0