整數四則運算這四格漫畫所掌握的師生對話現象姑且稱其為《魚夫現象》第一、兒童可以瞭解問題，但她解釋問題的觀點和教師的觀點未必相同第二、教師能藉由調整問題來影響教室情境，但問題的調整未必能達到原來的目的四則運算混合計算問題5×(9-4)=？6×3+20÷4=？？3×(4+5)-16÷4=？？？這些計算問題是如何產生的？為什麼會存在這些計算問題？除了應付考試外，在哪些地方會使用到這些計算問題？成人世界約定俗成的共識由左往右依次計算括號內的先算先乘、除，後加、減這些共識的優先順序為何？為什麼我們要形成這些共識？若我們不形成這些共識，會發生什麼問題？產生併式填充題時，先形成由左往右依次運算的共識當步驟愈來愈多或運算次序發生混洧為了要減少使用括號的次數與種類，發現用此約定可省略的括號數最多基於先運算部分記的習慣導入由最左往右依序運算當解題步驟愈來愈多、複雜時發明使用括號標示先算當括號愈來愈多時，又發現如何減少括號變成很重要，進而先進行乘、除再進行加或減經驗等號的重要性(等價的意義)教室裡原有9人，走掉4人，來了3人，現在教室裡有幾人？兩步驟：9-4=55+3=8小朋友解法：9-4=5+3=8問題在哪呢？要從此題達成的目標是什麼？＊等價關係：透過遞移性，將問題記成9-4+3=5+3=8等號的意義只是「得到的
答案
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是多少」無等價觀念時在孩子日後解方程式時，也許會有狀況如：3+4×□=274×□=27-3□=24÷4不易與學生溝通為什麼可以在等號兩邊同時減3不易與學生溝通為什麼可以在等號兩邊同時除以4由最左往右依序運算小可有21枝鉛筆，給了妹妹3枝，弟弟2枝，去文具店又買了7枝，問小可現在有多少枝鉛筆？解1：(21-3-2)+7=(18-2)+7=16+7=23解2：21-3-2+7=18-2+7=16+7=23從中發現什麼？當併式填充題沒括號---此種省略併式填充題括號記法稱為由「最左往右」的記法括號的存在意義姐姐有12個草莓，妹妹原有15個草莓，妹妹吃掉7個後，姐姐比妹妹現在有的草莓多幾個？第一步：15-7=8妹妹剩下的(
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示要先算的)但15-7並不是原問題的答案，所以…第二步：12-8=4請將這兩步驟用併式填充題記錄解112-15-7=12-8=4解212-(15-7)=12-8=4從中導入括號的意義＊原來的紀錄是12-(15-7)簡化為12-8它們是源自同一過程中，同一問題在不同階段所呈現的問題紀錄。＊最後用等號把一樣大的地方連起來的記錄格式就是逐次減項12-(15-7)=12-8=4注意括號先算的原則，和由最左往右的記法不抵觸如79-(64+3)-9=79-67-9=12-9=3先乘、除後加減的導入小丸子帶了一張100元的鈔票和6個5元硬幣到7-11買了一瓶35元的果汁，請問小丸子還剩下多少錢？100+5×6-35錯誤解題法100+5×6-35=105×6-35=630-35=595正確解題法100+5×6-35=100+30-35=130-35=95乘和除到底誰先算解140÷4×2=40÷8=5學生迷失：不是先乘、除，後加減嗎？為何我錯了？40÷4×2釐清迷失：4枝鉛筆40元，1枝原子筆15元，買1枝鉛筆和2枝原子筆共要多少元？40÷4+15×2=10+30=40從中討論出乘法與除法運算次序的地位是相同的觀念不清時60-32÷4×2解160-32÷4×2=60-32÷8=60-4=56解260-32÷4×2=60-8×2=52×2=104解360-32÷4×2=8×2=16=60-16=44先乘除，所以先乘完再做除法以為先乘除後加減的算則只能用一次沒有等價的觀念小丸子帶了一張100元的鈔票和6個5元硬幣到7-11買了一瓶35元的果汁，請問小丸子還剩下多少錢？老師們是否同意孩子在逐次減項中，將原本的兩個算則簡化成一個算則呢？◎最後出題驗收如：80-4×(5+6)學生若有當併式填充題中，有小括號時，「先算括號內 再算乘、除最後再由最左往右」的共識，此題就可輕鬆過關。如：針對(12+8)÷5出應用問題如何幫孩子做墊步的動作每道應用題是否只有一個算則(二年級)乘法與除法運算次序的地位是相同的比大小（四年級），如何直接判斷(378÷9)÷3□378÷(9÷3)47×8+53×8□(47+53)×8科宏說：因為378÷9先運算，被除數會變小；9÷3先運算則是除數變小帶入結合律及分配律立珣說：因為左邊的378被連除了2次；而右邊的只除了1次如何直接判斷二個算則是否相等（五年級）分數、小數四則運算從整數四則運算擴充而來當孩子整數四則運算有錯誤認知時，容易產生錯誤的運算。例如：認為乘法愈乘愈大，除法愈除愈小，其實乘數為真分數和純小數的乘法，結果會變小。一開始可以把數字簡化為較為簡單整數，就比較容易了解用那一個運算符號來解題了。解答錯誤或無法解題時…數學教育研究上告訴我們，製造學生的認知衝突是讓孩子把問題的關鍵記得更久、更清楚的好方法。教學的問題與您一同分享在這致上無限的祝福
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