第十五章动静法§15-1引言法国著名的物理学家、数学家和天文学家。《动力学》是达朗贝尔最伟大的物理学著作。提出了三大运动定律和。达朗贝尔原理可以把动力学问题转化为静力学问题处理，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学的创立打下了基础。§15-1质点的达朗贝尔原理质量为m非自由质点受到主动力F和约束力反力FN的作用，在某瞬时获得的加速度为a，由牛顿第二定理可得右端移项称为质点的惯性力是一个假想的力，其大小等于质点的质量与加速的乘积，方向与质点的加速度方向相反，与力的量纲相同。作用在质点上的构成一个平衡的汇交力系。这既是质点的即达朗贝尔原理，亦即动静法。动静法求解步骤如下：（1）确定研究对象，整体或部分；（2）运动分析，得到加速度；（3）受力分析，主动力、约束力、惯性力；（4）由动静法求解。例15-1为了测定列车的加速度，采用一种称为摆式加速度计的装置，当列车作匀加速直线平动时，摆将稳定在与铅直线成角的位置（图15-2）。试求列车的加速度与偏角之间的关系。解：（1）以摆锤M为研究对象。（2）运动分析：当摆稳定在与铅垂线成角的位置时，摆锤的加速度与列车的加速度相同，设为。（3）受力分析：设摆锤的质量为m，作用在其上的主动力为重力mg，约束反力为摆线的张力FT，摆锤的受力如图15-2（b）所示。摆锤的惯性力（4）由质点的达朗贝尔原理，有将上式向垂直于OM的x轴方向投影，可得于是，求得列车的加速度与偏角之间的关系为可见，只要测出偏角，就可知道列车的加速度。这就是摆式加速度计的原理。例15-2小球重量为G，以两绳悬挂。某瞬时，AB绳突然断开，由于重力作用小球开始运动，求小球开始运动瞬时的加速度和AC绳的拉力。解：(1)以小球为研究对象。(2)运动分析：在绳剪断的瞬时，。(3)受力分析：小球受到的主动力，绳索约束力，虚假惯性力作用，受力图如图15-2(b)所示。(4)由达朗伯原理求解：建立图示坐标系，式（15.4）在x,y上投影得： §15-2质点系的达朗贝尔原理设由n个质点组成的非自由质点系如图15-4所示，其中任一质点i的质量为，加速度为，对每个质点都施加惯性力，则n个质点上所受的全部主动力、约束力和假想的惯性力形成空间一般力系。任一瞬时，作用于质点系上的所有外力和虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达朗贝尔原理的另一
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述，也是动静法给出的方程。§15-3刚体惯性力系的简化与一般力系一样，所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯性力的主矢惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关，作刚体任意运动均成立。惯性力系中所有惯性力向同一点简化，所得力偶的力偶矩矢量的矢量和以表示，称为惯性力系的主矩惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。平移刚体惯性力系的简化平动刚体的惯性力系可简化为一个作用于刚体质心C的合力平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积合力的方向与质心加速度方向相反。定轴转动刚体惯性力系的简化向交点O简化，得一主矢和主矩简化结果为当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面交点简化时，得位于此平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。平面运动刚体惯性力系的简化（平行于质量对称平面）有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。例15-3写出下列各图所示刚体的惯性力，并在图上表示其方向：（1）在图15-8（a）中：设OA为均质杆，质量为m，长度为。（2）在图15-8（b）（c）（d）中：设轮C均为质量为m，半径为R的均质圆盘。（3）在图15-8（e）中：设杆，，AB杆为均质杆，质量为，不计、的质量。解：（1）如图15-8（a）所示，OA绕O定轴转动，其惯性力向O点简化，简化结果为，，（2）如图15-8（b）所示，圆环绕O点做匀速定轴转动，其惯性力系向O点简化，简化结果为如图15-8（c）所示，圆环绕质心C做定轴转动，其惯性力系向C点简化，简化结果为如图15-8（d）所示，轮C在水平面上纯滚动，为平面运动，其惯性力系向质心C点简化，简化结果为（3）如图15-8（e）所示，AC做曲线平动，其惯性力系向质心C点简化，简化结果为，§15-4动静法的应用举例应用动静法一般的步骤为：（1）明确研究对象；（2）正确的进行受力分析，画出研究对象上所有主动力和约束反力；（3）分析系统的运动，主要是分析各点的加速度，特别是质心的加速度和刚体的角加速度。画出达朗贝尔惯性力系的简化力系；（5）根据刚化原理，将研究对象刚化在该瞬时的位置上；（6）根据动静法，应用静力学平衡条件列些研究对象在此位置上的动态平衡方程；（7）解平衡方程，求出需求的未知量。例15-5图示轿车，总质量为m，重心离地面的高度为h，到前后轴的距离分别为l1，l2。轿车行驶过程中急刹车，假设刹车过程为匀减速且车轮不转，求地面对前后轮的法向约束力。解：（1）以轿车为研究对象，在水平地面上做平动。（2）受力分析：小车受到重力mg，支持力，摩擦力，如图15-10(b)所示。（3）运动分析：轿车在做平动，各点加速度相同，惯性力系向质心简化（4）根据动静法，应用静力学平衡条件得：例15-6提升机的转轮半径为R，质量为m1，视为均质圆盘。轮上加力偶矩为M的力偶，吊起质量为m2的重物。求重物的加速度、轮轴的轴承反力、提升绳索的拉力。解：(1)以整体为研究对象。(2)受力分析：圆盘和重物所受重力如图图15-11(b)所示，圆盘在O处为固定铰支座约束，约束力如图图15-11(b)所示。（3）运动分析：圆盘绕O定轴转动，重物做平动圆盘做定轴转动，惯性力系向转动中心O简化重物做平动，惯性力系向重物质心简化， （4）根据动静法，应用静力学平衡条件得： （5）以重物为研究对象求绳索的拉力F，受力如图图15-11(c)所示。
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