刚体的定轴转动jhzhou

第4章刚体的定轴转动(RotationofaRigidBodyaboutaFixedAxis)4.1刚体的运动1.刚体(RigidBody)2.平动(Translation)刚体内任意两质点的连线方向在运动过程中保持恒定的运动。在外力作用下形状和大小保持不变的物体。特点：刚体是一个理想化的模型。由无数的质点组成，在运动中任意两个质点之间的距离保持不变。刚体的运动有平动和转动。任意质点的运动都可代表整个刚体的平动。4.1刚体的运动刚体上所有质点均绕同一直线作圆周运动的运动，该直线称为转轴。如果转轴是固定不动的，称为定轴转动。3.刚体的转动(Rotation)§4.2质心质心运动定理则质心的位矢定义为：1.质心(CenterofMass)分量式对质量连续分布的物体：§4.2质心质心运动定理分量式对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。质心指质量中心，重心指重力的作用点，是两个不同的概念。当物体不太大时，质心和重心位置重合。§4.2质心质心运动定理2.质心运动定理由质点系的动量定理：→质心运动定理3.刚体的重力势能hc：刚体质心离地面的高度。4.3刚体的角动量转动惯量方向：与刚体转动方向成右手螺旋，常画在转轴上。1.角速度矢量刚体做定轴转动时，每一质点都以相同的角速度绕轴做圆周运动，因此用角量θ、ω、β来表示比较方便。质点在垂直与转轴的平面内绕轴做圆周运动，这个平面称为转动平面。角速度矢量4.3刚体的角动量转动惯量质点P，质量为mi，与转轴相距ri，线速度为vi=ωiri，其矢量式为：2.刚体的角动量定义刚体上任一质点P对于转轴的角动量：整个刚体对转轴的角动量为：4.3刚体的角动量转动惯量定义：刚体绕某定轴的转动惯量(MomentofInertia)：单位：kg·m2刚体对某转轴的角动量：单位：kg·m2/s3.转动惯量的计算转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：(1)刚体质量；(2)质量的分布；(3)转轴的位置。4.3刚体的角动量转动惯量一般情形下，刚体的质量连续分布：质量体分布时：质量面分布时：质量线分布时：EX4-1(1)求一均匀细棒对垂直于细棒且通过细棒一端的转轴的转动惯量；(2)求一均匀细棒对垂直于细棒且通过细棒中心的转轴的转动惯量。解：(1)建立如图所示的坐标系，S为棒的横截面积，在棒上任取一体积元dV=Sdx，有：4.3刚体的角动量转动惯量(2)建立如图所示的坐标系4.3刚体的角动量转动惯量4.3刚体的角动量转动惯量EX4-2求圆环、圆盘的转动惯量。转轴通过中心且与圆环、圆盘平面垂直。对圆盘，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，解：对圆环，取一质量元dm，有：环的质量为：4.3刚体的角动量转动惯量转动惯量：4.3刚体的角动量转动惯量应用以下两个定理，可简化转动惯量的计算。(1)平行轴定理设zc为通过刚体质心的转轴，z为与zc平行的另一转轴。两转轴相距d。刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。4.3刚体的角动量转动惯量(2)正交轴定理薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板面的转轴的转动惯量。4.3刚体的角动量转动惯量EX4-3用平行轴定理求例4-1中的(2)。解：d=L/2。4.3刚体的角动量转动惯量EX4-4求半径为R、质量为M的圆盘对于以任一直径为转轴的转动惯量。解：建立如图所示的坐标系，有：4.4刚体的转动定理外力对刚体定轴转动的影响，与力的大小、方向、作用点的位置都有关。外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，所以只考虑外力在转动平面内的分力。1.力矩(MomentofForce)定义：外力相对于某固定轴的力矩力矩的大小：d=rsin：外力对转轴的力臂4.4刚体的转动定理2.刚体的转动定理刚体转动第一定律：一个绕定轴转动的刚体，当它所受的对于转轴的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。刚体转动第二定律：一个绕定轴转动的刚体，当它所受的对于转轴的合外力矩不等于零时，它将获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的方向一致，大小与它所受的合外力矩的大小成正比，与它的转动惯量成反比。4.4刚体的转动定理3.刚体的转动定理的推导刚体中第i个质点对转轴的角动量为：对时间求导：对整个刚体：4.4刚体的转动定理刚体的转动定理：刚体所受的合外力矩等于刚体对同一转轴角动量的时间变化率。4.4刚体的转动定理EX4-5一轻绳跨过一定滑轮，两端分别挂质量为m1、m2的重物A和B，如图所示。设m1>m2，定滑轮是个均质圆盘，其质量为M，半径为r。细绳与滑轮无相对滑动，滑轮摩擦力为零。求：两重物的的加速度及绳中的张力。解：隔离滑轮及重物，画受力分析图。因绳的质量不计，所以：T1’=T1，T2’=T2。§4.5刚体的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体的角动量定理由转动定理：角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间间隔内角动量的增量。2.角动量守恒定律§4.5刚体的角动量定理和角动量守恒定律当物体所受合外力矩为零时，有：角动量守恒定律：当物体所受合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。§4.5刚体的角动量定理和角动量守恒定律EX4-6质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴无摩擦地转动。质量为m的人站在转台边缘。人和转台开始静止。如果人沿转台边缘走动一周，相对地面，人和转台相对地面分别转动了多少角度？解：设人对地角速度ω’，转台对地角速度ω，人对转台角速度ωrel，则：人与转台系统的角动量守恒：§4.5刚体的角动量定理和角动量守恒定律已知条件(设T为人沿转台走一周所需时间)：转台对地转过的角度：负号表示人与转台的转动方向相反。人相对地转过的角度：§4.6刚体的动能定理1.刚体的转动动能刚体定轴转动时，第i个质点mi的动能为：整个刚体的动能为：§4.6刚体的动能定理2.力矩的功刚体定轴转动时，刚体内每一对质点间内力的合力矩为零，所以研究刚体定轴转动时只需考虑外力矩的作用。设刚体在外力作用下产生元位移ds，则外力对刚体所作的元功为：当刚体在外力矩作用下由角位置θ0转到θ时，外力矩作功：§4.6刚体的动能定理3.刚体动能定理由转动定理：刚体的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。§4.6刚体的动能定理EX4-7有一质量为m、长为l的均匀直杆可绕一水平轴O在竖直平面内无摩擦地旋转，AO=l/3。杆初始水平静止。求(1)杆在水平位置时的角加速度；(2)杆转到竖直位置时的角速度和角加速度；(3)在竖直位置时，杆两端和中点的速度和加速度；(4)杆在竖直位置时杆对转轴的作用力。解：在转动中杆受到重力mg和轴的支持力N的共同作用，其中支持力N不作功。(1)在水平位置，杆受到的力矩为：杆的转动惯量为：§4.6刚体的动能定理角加速度为：根据转动定理：(2)仅有重力做功，机械能守恒。取水平位置为势能零点，有：另，在竖直位置，力矩M=0，有：§4.6刚体的动能定理(3)根据圆周运动角量与线量的关系：有：§4.6刚体的动能定理(4)由质心运动定理：杆对转轴的作用力大小等于N，但方向向下。§4.6刚体的动能定理EX4-8如图所示一均匀圆盘，半径为R，质量为M，可绕通过其中心的水平轴无摩擦地转动。在圆盘的边缘上绕一轻绳，绳上挂一个质量为m的物体，试 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这个系统的机械能守恒。解：将圆盘和物体看做一个系统，对这个体系而言仅有物体的重力mg做功。当物体下降h时，系统减少的势能为：此时物体获得平动动能，圆盘获得转动动能，因此系统动能增量为：对物体和圆盘作受力分析，如右图所示。根据动能定理，§4.6刚体的动能定理对物体：对圆盘：机械能守恒。§4.6刚体的动能定理§4.6刚体的动能定理证伪和证实(一)怎样表述一个命题才算是科学的？是要证明命题一定是正确的(证实)，还是要证明它有可能是错误的(证伪)？按照经验主义者的说法，我们全部知识的基础都来自于我们的经验，而科学的建立，也就是在经验上的一种归纳主义。好比说，我们每天都看到太阳从东边升起，几千年来日日如此，那么我们应该可以“合理地”从中归纳出一条规律：太阳每天都从东方升起。并用它来预测明天太阳依旧要从东方升起。按照归纳主义，我们从过去的现象中归纳出一种规律，而当这个现象一再重复，则它每次都又成为对这个规律的再一次“证实”。比如每次太阳又升起来的时候，“太阳每天从东方升起”这个命题的确定性就被再次稍稍证实。我们每看到一只黑乌鸦，则“乌鸦都是黑的”这个命题的正确性就再次稍稍上升，直到我们遇到一只不黑的乌鸦为止。证伪和证实(二)这种经验主义又会导出非常有趣的结果。我们来做这样一个推理，大家都知道，一个命题的逆否命题和它本身是等价的。比如“乌鸦都是黑的”，可以改为等价的命题“凡不黑的都不是乌鸦”。现在假如我们遇见一只白猫，这个现象无疑证实了“凡不黑的都不是乌鸦”(白猫不黑，白猫也不是乌鸦)的说法，所以同样，它也再次稍稍证实了“乌鸦都是黑的”这个原命题。即“遇见一只白猫”略微增加了“乌鸦都是黑的”的可能性。有趣吧？这个悖论由著名的德国逻辑实证论者亨普尔(CarlGHempel)提出。如果你接受这个论断，那么下次导师叫你去野外考察证明例如“昆虫都是六只脚”之类的命题，你大可不必出外风吹雨淋。只要坐在家里观察大量“没有六只脚的都不是昆虫”的事例(比如桌子、椅子、台灯、你自己……)，你可以和在野外实际观察昆虫对这个命题做出同样多的贡献！作业：4-8,4-11,4-12证伪和证实(三)到底怎样的命题才算是科学的？按照证伪派，它必须有可能被证明是错误的。比如“所有的乌鸦都是黑的”，你只要找到一只不是黑色的乌鸦，就可以证明这个命题的错误，因此这个命题没有问题。相反，如果非要“证实”才接受这个论断的话，实际上是不可能的！除非你把所有的乌鸦都抓来看过，但你又怎么能知道你已经抓尽了天下所有的乌鸦呢？对于科学理论来说，“证实”几乎也是不可能的。比如我们说“宇宙的规律是F=ma”，这里说的是一种普遍性，而你如何去证实它呢？除非你观察遍了自古至今，宇宙每一个角落的现象，发现无一例外，你才可以“证实”这一点。即使这样，你也无法保证在将来，这条规律仍然起着作用。事实上，几乎没有什么科学理论是可以被“证实”的，只要它能够被证明为“错”但还未被证明“错”，我们就暂时接受它为可靠的理论。我们对于认识理论的了解实在还是非常肤浅的。作业：4-13,4-17,4-19作业：4-21,4-23,4-26