2019年10月自考线性代数复习必看资料(会计自考本科)

线性代数复习资料一、1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=-82.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=1111113.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1=43212143214.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为25．设|A|是四阶行列式，且|A|=-2，则||A|A|=-25．6．若矩阵A与B相似，则|A|=|B|；7．当A是()时，A必 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 与单位阵．正定矩阵．8．n阶实对称矩阵A正定的充要条件是为正定矩阵．1A9.行列式的值为-1211010.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为-2322111.设矩阵A=,P=,则AP3=42311011220112.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=-413.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2),α3=(2,3,k)线性相关,则数k=514.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为615.与矩阵A=相似的对角矩阵为3021300116.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是k>4k22117．设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且|A|=|B|=2，则32*020AB18．为三维列向量，已知三阶行列式，,,|4,2,2|40则行列式=-5|,,|19．设A,B均为四阶方阵，r(A)=3,r(B)=4，则r(A*B*)=120．设，已知A6=E，则A17=131231A13123121．设为四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为022．设A,B均为n阶方阵，且|AB|=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为023．若A相似于diag(1,-1,2)，则13||A18二、1.求行列式D=.0120101221010210的值2.*1*102010,2,,001AAXAAXEAA设且其中是的伴随矩阵.X求矩阵*111122(2)102102(2)010010001001102102102102010010010010001001001001104010001AXAAXEAXAXAXAEAXAAE解：由已知上式两端左乘得3.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.,000012021B,1000010104.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=。3030002aa5000200015.设矩阵.012b,121011322A(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 出.6.若向量组的秩为2,求k的值.k202,k62,311,11143217.求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形.3332123211y2xyy2y2xyy2y2x8.123(1,0,0,3),(1,1,1,2),(1,2,2,1),TTT设向量组()11(2,3,3,3),(0,1,1,1),TT向量组()讨论向量组()与向量组()是否等价.123121122121211120111200123101231(,,,,)0123101231321310123111120101110123101231000000000000000000003,,(,r解：由此可知并且31212312,)(,),,,r所以与等价9.λ取何值时，方程组1231231232125541xxxxxxxxx无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。121112112112121012355415541004594(1)1,()()3,54(2),()23(),5AArARArARA解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵当且时方程组有唯一解；当时方程组无解；(3)1111211010033001100990000A当时，方程组有无穷多解，其通解为1101,.10Xkk为任意常数10.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.三、1.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.12．设η1与η2是AX=b(b≠0)的两个不同解(A是m×n矩阵)，ξ是AX=0的一个非零解，证明(1)向量组η1,η1-η2线性无关；(2)若r(A)=n-1，则向量组ξ,η1,η2线性相关．11212121221212212122111121221212211212(1)()0,()0()0,,()00,0,0()0,()0,0,0,.(2)0kkkkkAkkAkAAbAbkkbkbkbbkkkkkAx证：设则上式左乘得由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设可知则上式即为也即因所以则由有又因所以故线性无关由于与都是的121212121212122122221111212,()10,,,,()0,0,()0,00,,,,,,rAnAxkkkkkkkkkkkkk非零解又因，所以的基础解系只含一个解向量从而线性相关故存在不全为零的数使其中必有否则由必有这与不全为零矛盾.故即可由线性表示，因此线性相关.3．设n阶实对称矩阵A满足关系式A2+6A+8E=0，证明：A+3E是正交矩阵．22,(3)33,(3)(3)(3)693.TTTTAAAEAEAEAEAEAEAAEEAE证：因为故从而所以为正交矩阵1、行列式=的转置行列式=。D111213212223313233aaaaaaaaaTD2、若为阶矩阵，当满足时，A为对称矩阵。()ijnnAan3、A,B是同阶可逆矩阵，则(AB)-1=。4、设向量组，，，，则向量组线性__________（填11252321331017420010891234,,,线性相关或线性无关）。5、二次型的二次型矩阵为。222123123121323(,,)25226fxxxxxxxxxxxx6、若行列式，则=________________。131050022xx7、设A=，则矩阵的逆矩阵=________________。1111A1A8、设，，，则向量组线性__________（填线性相关或1(100)T2(010)T2(001)T123,,线性无关）。9、设，，，则=__________。(110)(030)(120)32410、设阶矩阵与相似，矩阵的所有特征值为，则行列式=_______。ABA111,,234B11、设A为3阶方阵，=2，则=________________。A4A12、A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则（A*）-1=________________。13、，当________________时，。12303-206Att()2RA14、A是n阶矩阵，实数是A的一个特征值，则（为正整数）的一个特征值为。mAm15、设矩阵的三个特征值为-1,1,3，则矩阵A的一个相似对角矩阵为12221-2-2-21A。二、单项选择题：1、设A是4阶方阵，且|A|=5，则|3A|=[](A)15；(B)60；(C)405；（D）45。2、是A的伴随矩阵，且0，则A的逆矩阵A-1=[]AA(A)A；(B)；(C)；(D)。AAAAAAA3、矩阵A的秩为r，则知[]（A）A中所有r阶子式不为0；（B）A中所有r+1阶子式都为0；（C）r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；（D）r-1阶子式都为0。4、设为为向量组，且，（），则[]123,,,,kn123(,,,,)kRrrn(A)该向量组中任意r个向量线性无关；(B)该向量组中任意r+1个向量线性相关；(C)该向量组中存在唯一的极大无关组；(D)该向量组中有若干个极大无关组。5、对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是[](A)两矩阵的特征值相同；(B)两矩阵的秩相等；(C)两矩阵的特征向量相同；(D)两矩阵都是方阵。6、下列说法错误的是[](A)如果分别是齐次线性方程组的解，那么也是该齐次线性方程组的解；12,0AX12(B)如果分别是齐次线性方程组的解，那么也是该齐次线性方程组的解；12,0AX12(C)如果分别是非齐次线性方程组的解，那么是对应齐次线性方程组的解；12,XXAXb12XX0AX(D)如果分别是非齐次线性方程组的解，那么是对应齐次线性方程组的解。12,XXAXb12XX0AX7、设是方阵A的一个特征值，则A可逆时，的一个特征值是[]31A(A)-3；(B)3；(C)；(D)。13138、设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是[](A)若A,B均可逆，则A+B可逆；(B)若A,B均可逆，则AB可逆；(C)若A+B可逆，则A-B可逆；(D)若A+B可逆，则A,B均可逆。9、设和B都是n阶行列式，且|A+AB|=0，则有[]A(A)|A|=0(B)|E+B|=0(C)|A|=0或|E+B|=0（D）|A|=0且|E+B|=010、A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，则|A*|=[]（A）|A|；（B）1；（C）|A|n-1；（D）|A|n+111、两个n阶矩阵A与B相似的，是指[]（A）PAP-1=B；（B）QTAQ=B；（C）Q-1AQ=B；（D）AB=E(T,P,Q均为n阶可逆方阵)。12、方阵A满足A3=0，则（E+A+A2）（E-A）=[]（A）E；（B）E-A；（C）E+A；（D）A。13设f(x)=中含有x4的项的系数是[]xxxxx111123111212（A）1；（B）-1；（C）2；（D）-2。14、设A=其中A1、A2都是方阵，且|A|0，则有[]120ABA（A）A1可逆，B可逆；（B）A2、B均可逆；（C）A1、A2都可逆；（D）A1、A2未必可逆。15、是A的伴随矩阵，且0，则A的逆矩阵A-1=[]AA(A)；(B)；(C)；(D)。AAAAAAAA16、设A为三阶方阵，且=0，以下成立的是[]2A（A）A=0（B）A3=0（C）秩R(A)=0（D）秩R(A)=317若C=AB，则[]（A）A与B的阶数相同;（B）A与B的行数相同;（C）A与B的列数相同;（D）C与A的行数相同。18、如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组[]（A）相等；（B）所含向量的个数相等；（C）不相等；（D）秩相等。19、对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是[]（A）两矩阵的特征值相同；（B）两矩阵的秩相等；（C）两矩阵的特征向量相同；（D）两矩阵都是方阵。20、设A为三阶方阵，它的特征值为1，-1，2且，则B的特征值为[]5BA（A）2,-4；（B）5,-5,10；（C）1,-4,6；（D）-1,4,-6。21、设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是[](A)(AB)k=AkBk；(B)=-；AA(C)A2-B2=(A-B)(A+B)；（D）若A可逆，k0,则(kA)-1=k-1A-122、在下列命题中，正确的是[]（A）(AB)T=ATBT；（B）若AB，则；AB（C）设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；（D）A2-E2=(A+E)(A-E)。23、当含有n个未知量,由m个方程组成的齐次线性方程组满足条件[]时，方程组有非零解。（A）n=m；（B）系数矩阵的秩<m；（C）n<m；（D）系数矩阵的秩<min{n,m}。三、解答题：1、计算行列式D=。2、设,,，求。100010010001aaaa130042A412534B2142C()TABC3、求矩阵的逆矩阵。4、设,解矩阵方程AX=B。111111-1-11-11-11-1-11A11103022,3611030AB5、求非齐次线性方程组的解，若有无穷多解时，用基础解系表示其一般解。12341234123423223553477xxxxxxxxxxxx6、求向量组，，的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表11252321331017示。.7、判断矩阵是否与对角矩阵相似？如相似，求出相似的对角矩阵以及可逆矩阵，使12222424-2AP得。1PAP8、计算4阶行列式。9、设矩阵，，求AB-BA。1112114124711242A111210104A100210021B10、求齐次线性方程组的基础解系，并用基础解系表示一般解。123412341234223032200xxxxxxxxxxxx11、求矩阵的特征值和特征向量。12、求矩阵的秩。200110111A00112141021421028112A13、求向量组，，，的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关111042215631120430714组线性表示。14、将二次型化为标准型。222123112132233(,,)4424fxxxxxxxxxxxx15、计算行列式D=。16、设，，，试问为何值时，向量组线111523101042011411232312323kk性相关？为何值时，向量组线性无关？k17、判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。321111101A18、求齐次线性方程组的通解。0974042032432143214321xxxxxxxxxxxx19、求下列向量组的一个极大无关组并把其余向量由此极大无关组线性表示。20、求矩阵的特征值和特征向量。123410311302217242140、、、011101110A21、将二次型化为标准型。123121323(,,)3fxxxxxxxxx四、证明题：1、若是可逆的对称矩阵，则也是对称矩阵；若是可逆的反对称矩阵，则也是反对称矩阵。A1AA1A2、如向量组线性无关，123,,,,t试证明向量组线性无关。11212,,,t3、设向量组、、线性无关，123试证明：向量组、、也线性无关。112123《线性代数》复习题参考解答一、填空题：1、=；2、；3、B-1A-1；4、线性相关；TD112131122232132333aaaaaaaaa,,ijjiaaij5、；6、-5；7、；8、线性无关；11112313501119、；10、；11、144；12、；(110)124AA13、-4；14、；15、。m100010003二、单项选择题：1、(C)；2、(C)；3、（B）；4、(D)；5、（C）；6、(D)；7、(C)；8、(B)；9、(C)；10、（C）；11、（C）；12、（A）；13、（C）；14、（C）；15、(C)；16、（B）；17、（D）；18、（D）；19、(C)；20、（B）；21、（D）；22、(D)；23、（D）。三、解答题：1、解：=。2100100010010010010001000aaaaaaaa22100010000000aaaa4a2解：,,=103402TA423154TB2412TC()TTTTABCCBA=。1024423341215402101224226011834612113070023、解：1111100011-1-10100()1-11-100101-1-1100011111100000-2AE-2-11000-20-2-10100-2-20-1001111110001101010-022001111-002211110001--4444，31311000--444411310100-444411110010--44441110001--44414所以。13131--44441131-44441111--44441111--4444A4、解：，15100-611103111032()0223-6010-33010-33110300223-69001-62AB所以。15-62-339-62X5、解：增广矩阵为：1-21321-21321-2132()235-53073-111073-1114-1717073-11-100000Ab，所以对应的齐次方程的通解为：1311210-777311101-77700000；非齐次方程的特解为：。所以原方程的通解1213177311771001Xkk01271700X为：。012131127773111777100010XXXkk6、解：，12313310-3(,,)-22100125-1-17000所以一个极大无关组是：，且12,312327、解：由，2λ-12-22+2-4(2)(7)0-2-4+2EA所以特征值为：。12,3=2=-7，当时，齐次方程组为：,解得基础解系为：;12=22-0EAX（）12221001XX，当时，齐次方程组为：,解得基础解系为：;372-0EAX（）3122X由于三个特征向量线性无关，所以可逆矩阵和对角矩阵为：。-221200102,02001-200-7P8、解：。111211-120-53114100-530-5-3247100-5-3112420150A-5330-5-3509、解1111001001112102102102101040210211043311110104121845242204224100ABBA10、解：21-23111-110-3410-3432-120-1-450-1-45014-5111-10-1-450-1-450000A所以，基础解系.所以通解为：。134234=3-4=-4+5xxxxxx1,23-4-451001XX，1122123-4-451001XkXkXkk11、解:由，所以特征值为：。当时，2λ-200-1-10(2)(-1)0-1-1-1EA12,3=2==1，1=2齐次方程组为：,解得特征向量：。特征向量。当时，齐次方程组2-0EAX（）112121X1=-1为：,解得特征向量：。2-0EAX（）2001X12、解：所以。001121410214102141020011200112142100011200012281120031200000A()3RA13、，所以一个极大无关组为，123412131213-11-100101(,,,)05-27001-146014000010020101001-10000123,,且。4123214、解：222123112132233222123233112322333222123(,,)4424(22)2()-3222-3fxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxyxxyxfyyy令所以标准型为：15、解：D=。1-11523-10=-10-4201141-11505-3-10=0-1-3701141-1150114=00-21100-8-301-1150114=00-211000-7414816、解：，1231321321322-130-7-10-7-132k0-7k-600k-5（，，）所以当时，线性相关；当时，线性无关。=5k5k17、解：因为，所以可逆。321101101111=-111=-010=-2010132100-2A321111101A32110010100111101011101010100132110010100AE（）110100101001-101001-102-210-311001122110021-1201001-111001122所以。-111-12201-111122A18、解:，231112-1412-14105-1012-14231101-3701-3747-1947-1900000000A所以，基础解系.所以通解为：134234=-510=3-7xxxxxx1,2510371001XX，。112212510371001XkXkXkk19、解：因为，1234103110311030-130-2033-1011021720110000142140022-40000（，，，）所以是一组极大无关组。且124，，4123=++3020、解：由，2λ-1-1-1-1(2)(1)0-1-1EA得A的特征值为：。12,3=2==-1，当时，齐次方程组为,1=22-0EAX（）由，解得基础解系为2111012-121011112000EA（），所以A的属于特征值的全部特征向量为。1111121(0);kk当时，齐次方程组为,23==-1-0EAX（-）由，解得基础解系为所以A的属于特111000-111000111000EA（-）23111,0;01征值的全部特征向量为。23==-1223323(,0kkkk不同时为）21、解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得f11221233xyyxyyxy123121212312322121323222211332233222132331132233311322333(,,)()()()3()24(2)4()(2)322fxxxyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyzyyzyyzyyzzyzzyz令即所以标准型2221233fzzz为：四、证明题（共7分）1、证明：因为,那么,所以也是对称矩阵。TAA111()()()TTAAA1A因为,那么,所以也是反对称矩阵。TAA1111()()()TTAAAA1A2、证明：假设向量组线性相关，那么存在不全为0的数，11212,,,t12,,,tkkk使得：1121212()()0ttkkk所以：112122120ttttkkkkkk即：12122()()0ttttkkkkkk因为向量组线性无关，所以：123,,,,t122000tttkkkkkk所以，矛盾。故向量组线性无关120tkkk11212,,,t3、证明：假设向量组线性相关，那么存在不全为0的数，使得：112123,,123,,kkk112123123()()0kkk所以：1121223132330kkkkkk即：123123233()()0kkkkkk因为向量组线性无关，所以：123,,123233000kkkkkk所以，矛盾。故向量组线性无关1230kkk112123,,