3.3直线的交点坐标与距离
公式
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3.3.1两条直线的交点坐标*问
题
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提出1.在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究，如平行、相交、垂直等.在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程
表
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示直线，从而可以对直线进行定量分析，如确定直线的斜率、截距等.2.在同一平面内，两条直线之间存在平行、相交、重合等位置关系，这些位置关系的基本特征与公共点的个数有关.因此，如何将两直线的交点进行量化，便成为一个新的课题.**知识探究（一）：两条直线的交点坐标思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么关系？思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？*思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？*思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？ 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线l 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A **1.两条直线的交点坐标思考：几何元素及关系代数表示点A在直线l上直线l1与l2的交点是AA(a,b)l:Ax+By+C=0点A直线lAa+Bb+C=0点A的坐标是方程组的解结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组2.二元一次方程组的解与两条直线的位置关系知识探究（二）：过交点的直线系思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？y-2=k(x+2)和x=-2**思考5:方程表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0*理论迁移*例3设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.例2求经过两直线3x+2y+1=0和2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方程.*例3：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.例4：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：解方程组∴l1与l2的交点是M（-2，2）∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=kx把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为x-y=0xyM-220l1l2* 练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0,l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0;解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2）（２）方程组无解，两直线无交点。l1‖l2（３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。l1与l2重合=0时，方程为3x+4y-2=0xy=1时，方程为5x+5y=0l2=-1时，方程为x+3y-4=00l1l3上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。3.共点直线系方程：回顾例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0,因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：λ=1将λ=1代入x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得：3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。练习2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0解得λ=1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=04.能力提升：①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m的值是（A）0（B）－24（C）±6（D）以上都不对②若直线x－y+1=0和x－ky=0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是（A）（-∞，0）（B）（0，1]（C）（0，1）（D）（1，＋∞）③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积为（A）9/4（B）9/8（C）3/4（D）3/8④已知不论m取何实数值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点,则这点的坐标为（A）m≠0（B）m≠-3/2（C）m≠1（D）m≠0,m≠-3/2,m≠1⑤当k为何值时,直线y=kx+3过直线2x-y+1=0与y=x+5的交点?K=3/2 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 共点直线系方程及其应用作业：P109习题3.3A组：1，3，5.P110习题3.3B组：1.************** *
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