考研数学公式大全

1考研 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 公式大全2目录高中数学公式－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3高等数学公式第一章函数与极限－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8第二章导数与微分－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9第三章微分中值定理和泰勒公式－－－－－－－－－－－－－－－－－11第四章一元函数积分学－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－13第五章微分方程－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－20第六章无穷级数－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－23第七章向量代数与空间解析几何－－－－－－－－－－－－－－－－－31第八章多元函数微分学－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－37第九章多元函数积分学－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－41线性代数第一章行列式－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－52第二章矩阵－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－53第三章矩阵的初等变换与线性方程组－－－－－－－－－－－－－－－55第四章向量组的线性相关性－－－－－－－－－－－－－－－－－－－58第五章相似矩阵和二次型－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－61概率论与数理统计第一章概率论的基本概念－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－62第二章随机变量及其分布－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－66第三章多维随机变量及其分布－－－－－－－－－－－－－－－－－－70第四章随机变量的数字特征－－－－－－－－－－－－－－－－－－－75第五章大数定律与中心极限定理－－－－－－－－－－－－－－－－－78第六章数理统计－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－80第七章参数估计－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－843高中数学公式Ａ．基本初等函数图像及性质基本初等函数为以下五类函数：(1)幂函数xy，是常数；(2)指数函数xay(a是常数且1,0aa)，),(x；1.当为正整数时，函数的定义域为区间),(x，他们的图形都经过原点，并当1时在原点处与X轴相切。且为奇数时，图形关于原点对称；为偶数时图形关于Y轴对称；2.当为负整数时。函数的定义域为除去0x的所有实数。3.当为正有理数nm时，n为偶数时函数的定义域为),0(，n为奇数时函数的定义域为),(。函数的图形均经过原点和)1,1(.如果nm图形于x轴相切,如果nm,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;nm,均为奇数时,跟原点对称.4.当为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除0x以外的一切实数.4(3)对数函数xyalog(a是常数且1,0aa)，),0(x；1.当1a时函数为单调增,当1a时函数为单调减.2.不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方.3.当0x时,1y,所以他的图形通过（1,0）点.1.图形为于y轴的右方.并通过点)0,1(2.当1a时，在区间)1,0(,y的值为负.图形位于x的下方,在区间),1(,y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.3.当1a在实用中很少用到5(4)三角函数与反三角函数正弦函数]1,1[),(sinyxxy，，余弦函数]1,1[),(cosyxxy，，正切函数),(,k2,tanyZkxxy，余切函数),(,k,cotyZkxxy，反正弦函数]2,2[,]1,1[,sinyxxarcy反余弦函数],0[,]1,1[,cosyxxarcy反正切函数)2,2(,),(,tanyxxarcy反余切函数),0(,),(,cotyxxarcy6Ｂ．三角函数公式1.诱导公式：2.和角公式3.和差化积公式sincoscossin)sin(2cos2sin2sinsinsinsincoscos)cos(2sin2cos2sinsintantan1`tantan)tan(2cos2cos2coscoscotcot1cotcot)cot(2sin2sin2coscos函数角Asincostancot-α-sinαcosα-tanα-cotα90°-αcosαsinαcotαtanα90°+αcosα-sinα-cotα-tanα180°-αsinα-cosα-tanα-cotα180°+α-sinα-cosαtanαcotα270°-α-cosα-sinαcotαtanα270°+α-cosαsinα-cotα-tanα360°-α-sinαcosα-tanα-cotα360°+αsinαcosαtanαcotα74.积化和差公式5.倍角公式)]sin()[sin(21cossincossin22sin3sin4sin33sin)]sin()[sin(21sincos2222sincossin211cos22cos)]cos()[cos(21coscos2tan1tan22tancos3cos43cos3)]cos()[cos(21sinsincot21cot2cot223tan31tantan33tan6.半角公式cos1sinsincos1cos1cos12cotcos1sinsincos1cos1cos12tan2cos12cos2cos12sin　　　　　　　　　　　　　　7.正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin·余弦定理：Cabbaccos22228.反三角函数性质：2cotarctan2arccosarcsinxarcxxx　　　xxarcsin)arcsin(xxarccos)arccos(xxarctan)arctan(C.常用体积和面积公式hVS棱柱hVS31棱锥)SSSS(31hV棱台球的表面积：24R球的体积：334R椭圆面积：ab椭圆体积：abc348高等数学公式第一章函数与极限1.重要极限1sinlim0xxxexxx)11(lim1limnnn1lim0xxx0lnlim0xxpx2arctanlimxx2arctanlimxxxxelim0limxxe2.常用的等价无穷小（设为无穷小）（1）～,1,arctan,arcsin),1ln(,tan,sine（2）cos1～221，1)1(k～k，1b～bln，)1ln(～221，)1ln(sin～221（3）sin～361，tan～331，sintan～321，arcsin～361，arctan～331，arctanarcsin～3213.用洛必达法则应注意的事项：（1）只有00或型的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只要是00或，则可一直用下去（2）每用完一次法则，要将式子整理化简；为简化运算，经常将法则与等价无穷小结合使用（3）)()(limxgxfax不存在（非型），不能推出)()(limxgxfax不存在（4）当x时，极限式中含有xxcos,sin不能用法则；当0x时，极限式中含有xx1cos,1sin不能用法则4.间断点的分类先判断第二类：左右极限)0(0xf，)0(0xf至少有一个不存在再判断第一类：)0(0xf)0(0xf可去间断点；)0(0xf)0(0xf跳跃间断点9第二章导数与微分1.导数的基本公式xxxxxxxxxxCsin)(coscos)(sin21)(1)1()(021xxaxxeeaaaxxxxxxxxxxaxxxx1)(lnln1)(log)(ln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx2.求导法则（1）四则运算法则vuvu)(vuvuuv)(2)(vvuvuvu（2）复合函数求导)()]([]))(([xxfxf（3）反函数求导)(1])([1xfyf（4）参数方程求导)()(tyytxx)()(txtydxdy，322)]([)()()()(txtxtytxtydxyd（5）分段函数求导①00),(),()(xxxhxxxgxf，若Axhxg)()(00，则Axf)(0②00,),()(xxAxxxgxf，000)()(lim)(0xxxfxfxfxx10（6）变限积分求导dttfyxx)()()(，)()]([)()]([xxfxxfdxdy3.高阶导数)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuvbaxnnbaxeae)()(，nnnbaxnabax))(1()1(])[()()2sin()][sin()(nbaxabaxnn，)2cos()][cos()(nbaxabaxnn1)()(!)1()1(nnnnbaxnabax，nnnnbaxnabax)()!1()1()][ln()(11第三章微分中值定理和泰勒公式1.微分中值定理拉格朗日中值定理：))(()()(abfafbf柯西中值定理：)()()()()()(gfagbgafbf泰勒中值定理：)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn拉格朗日余项：10)1()()!1()()(nnnxxnfxR皮亚诺余项：])[()(0nnxxoxR2.常用的麦克劳林公式)(!!212nnxxonxxxe)()!12()1(!5!3sin212153nnnxonxxxxx)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx12)()1(1112nnnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx3.一元函数的极值与最值驻点：0)(0xf极值点：0)(0xf或)(0xf不存在拐点：函数的凹凸性改变即)(0xf改变符号4.渐近线垂直渐近线：)(limxfaxax水平渐近线：bxfbyx)(lim斜渐近线：])([lim,)(limkxxfbxxfkbkxyxx13第四章一元函数积分学A.不定积分1.基本积分公式)1(111CxdxxCxdxxln1CaadxaxxlnCxdxxcossinCxdxxsincosCxdxxcoslntanCxdxxsinlncotCxxdxxtanseclnsecCxxdxxdxtanseccos22CxCxxCxxdxx2tanlncotcsclncotcsclncscCxxdxxdxcotcscsin22CxdxxxsectansecCxxdxxcsccotcscCaxarctgaxadx122Caxaxaaxdxln2122Cxaxaaxadxln2122Caxxadxarcsin22Caxxaxdx)ln(2222Caxxaxdx)ln(2222Caxaxaxdxxaarcsin222222214Caxxaaxxdxax2222222ln22Caxxaaxxdxax)ln(222222222Cbxbbxabaebxdxeaxax)sincos(cos22Cbxbbxabaebxdxeaxax)cossin(sin2221tan11tannnnnIxndxxI2.不可积的几个初等函数xxxxxxxexcos,sin,cos,sin,ln1,2223.求积分的方法（1）常用换元法被积式中含22ax，令taxtan，tdtadx2sec被积式中含22ax，令taxsec，tdttadxtansec被积式中含22xa，令taxsin，tdtadxcos负代换令tx代换令tx2代换令tx2周期为T的代换令uTx倒代换：令xt1，如dxxx4211（2）分部积分法：vduuvudv此方法用于被积函数是由两种不同类型的函数的乘积组成，用法的关键是u和dv的选择，选择的顺序如下（)(xv的选择的优先顺序：指三幂对反）15被积函数形式所用方法（)(xv的选择）xxPxxPexPnnxncos)(,sin)(,)(进行n此分部积分，选取xxexcos,sin,为)(xvxxPxxPxxPnnnarccos)(,arcsin)(,ln)(选取)(xPn为)(xvxexexxcos,sin进行两次分部积分，选取xe为)(xv4.有理函数积分（1）)()()(xQxPxR归结为下列四种简单分式的积分dxaxA；dxaxAn)(；dxqpxxNMx2；dxqpxxNMxn)(2（2）三角有理式，可以使用万能代换：令ux2tan，则22221211cos12sinududxuuxuux，，　dxxxR)cos,(sin22，令txtandxxxRcos)(sin，令txsindxxxRsin)(cos，令txcos5.可化为有理函数的积分（1）dxdcxbaxxRn),(),1(cbadn，令tdcxbaxn16（2）dxcbxaxxR),(2，其中042acb，0a由于222244)2(abacabxacbxax，可化为以下三种类型duukuR),(22，令tkusindukuuR),(22，令tkusecdukuuR),(22，令tkutanB.定积分1.定积分的概念nabnabiafdxxfninba1))((lim)(积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一个),(ba，使得))(()(abfdxxfba换元积分法：dtttfdxxfba)())(()(分部积分法：bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(2.常用的定积分结论dxxfdxxf2020)(cos)(sindxxfdxxf200)(sin2)(sindxxfdxxfdxxxf2000)(sin)(sin2)(sin17dxxdxxInnn2020cossin，21nnInnI为奇函数，为偶函数)()(,)(2)(0xfxfdxxfdxxflll0220)()()(TTTnTaadxxfndxxfndxxf，其中)()(xfTxf20224adxxaadxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222（柯西-施瓦茨不等式）C.广义积分1.常见广义积分的敛散性①无限区间p积分1,1ppxdxap发散收敛，②无界函数p积分1,1)(ppaxdxbap发散收敛，2.广义积分敛散性的判别定理一：若)()(0xgxf①若dxxga)(收敛，则dxxfa)(收敛；②若dxxfa)(发散，则dxxga)(发散定理二：若)()(0xgxf18设)()(limxgxfx，0，那么dxxfa)(与dxxga)(有相同的敛散性无界函数广义积分有类似的结论D.定积分的应用1.应用原理—微元法、定积分的几何意义①dxxfdQ)(即在],[dxxx上作出近似值dxxf)(②求dxxfdQQbaba)(2.常用公式（1）.平面图形的面积：由bxaxxgyxfy,),(),(所围面积dxxgxfAba)()(极坐标下drA)(212（2）)(xfy)(bxa绕x轴旋转而得旋转体的体积baxdxxfV)(2（3）)(xfy)(dyc绕y轴旋转而得旋转体的体积dcydxyxV)(2（4）由bxaxxfy,),(所围图形绕y轴旋转而得旋转体的体积baxydxV2（5）曲线弧长S和旋转面的侧面积A直角坐标下badxyS21dxxfxfAba)(1)(22极坐标下dS22dAsin)(222参数方程dttytxS)()(22dttytxtyA)()()(222（6）设液体的密度为，bxaxxfy,),()(ba及x轴所围曲边梯形平板垂直在液体内部，该平顶一侧所受压力为badxxxfp)(19E.微积分在经济中的应用1.经济函数与经济概念（1）边际函数称)(xf的导数)(xf为)(xf的边际函数（2）弹性函数称)()(xfxxf为)(xf的弹性函数注意：需求Q关于价格P的弹性要一个“负号”，即)(PQQ的弹性)()(PQPPQEPEQ（3）名称，概念Q表示需求量（产品量，商品量），P表示价格，P与Q的函数关系称为需求关系C表示成本，且)(QCC，)0(C称为固定成本，QQC)(称为平均成本R表示收益，且)(QRR，0)0(R，QQR)(称为平均收益L表示利润，且)()()(QCQRQLL，QQL)(称为平均利润2.应用：关键是理解经济函数的含义，将求解对应与微积分中的“极值（最值）、积分、微分方程”等的运算（1）总成本)(QC，边际成本)(QC，固定成本0C之间的关系00)()(CdttCQCQ（2）总收益)(QR与边际的关系为dttRQRQ0)()(（3）总利润)()()(QCQRQL，若要求它的最大利润，就应理解为求L的最大值，即明确了“目标函数”后，按求“极值（最值）”的步骤、方法求解即可20第五章微分方程1.可分离变量的微分方程：一阶微分方程：),(yxfy或0),(),(dyyxQdxyxP一阶微分方程可以化为dxxfdyyg)()(的形式解法：dxxfdyyg)()(得CxFyG)()(称为隐式解2.可化为可分离变量方程的方程齐次方程：一阶微分方程可以写成，),(),(yxyxfdxdy即写成xy的函数解法：设xyu，则dxduxudxdy，分离变量uuduxdx)(，积分后将u用xy代换即得齐次方程通解可化为齐次方程：)(222111cybxacybxafdxdy3.一阶线性微分方程：)()(xQyxPdxdy当0)(xQ时，为齐次方程，dxxPCey)(；当0)(xQ时，为非齐次方程，dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([4.贝努力方程：)1,0()()(nyxQyxPdxdyn，令1zy，则)()1()()1(xQzxPdxdz5.全微分方程如果0),(),(dyyxQdxyxP中左端是某函数的全微分方程，即0),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu其中),(),(yxQyuyxPxu，，Cyxu),(是该全微分方程的通解216.可降阶的高阶微分方程不含y，),(yxfy，令yp，则dxdpy不含x，),(yyfy，令yp，则dxdpyy7.二阶常系数线性微分方程及其解法：二阶齐次：0qyypy，其中qp,为常数求解步骤：（1）写出特征方程：02qprr（2）求出特征方程的两个根21,rr（3）根据21,rr的不同情况，按照下表写出齐次方程的通解的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，，)sincos(21xcxceyx22二阶常系数非齐次线性微分方程：qpxfqyypy,)(，为常数若xnexPxf)()(特解的形式：)(*xPexynxk（2,1,0k），其中k是特征根的重数若]cos)(sin)([)(xxQxxPexfmnxi是特征根，特解的形式：]cos)(sin)([*xxQxxPxeymnxi不是特征根，特解的形式：]cos)(sin)([*xxQxxPeymnx23第六章无穷级数A.常数项级数1.常数项级数收敛的定义：nnaaaS21，若SSnnlim，则称级数1nna收敛于S，否则称为发散2.常数项级数收敛的基本性质（1）收敛的必要条件：若1nna收敛，则0limnna注意：若0limnna，则1nna一定发散；若0limnna，并不能断定1nna收敛（2）1nna添加或去掉有限项，其敛散性不变（3）若1nna和1nnb同收敛，则1)(nnnba收敛，若两者中有一个发散，则1)(nnnba发散两者都发散，则1)(nnnba的敛散性不一定（4）常数项级数的可括性：对一个收敛的级数，添加括号之后仍收敛对一个发散的级数，去括号后仍发散3.常见已知敛散性的级数（1）等比级数1,1111qqqaaqnn发散，24（2）p级数与交错p级数1111ppnnp发散，收敛，00)1(1ppnnpn发散，收敛，11)(ln12ppnnnp发散，收敛，4.常数项级数敛散性的基本判别法（1）正项级数)0,(1nnnaa①比值判别法（充分条件）时，不确定时，级数发散时，级数收敛111lim1nnnaa②根值判别法（充分条件）时，不确定时，级数发散时，级数收敛111limnnna③比较判别法：某项后nnkba0(k正数)1nnb收敛1nna收敛；1nna发散1nnb发散极限形式：若cbannnlim，1nnb为参考级数，则0c常数，1nna与1nnb同敛散0c常数，1nnb收敛1nna收敛c，1nnb发散1nna发散25（2）交错级数判别法)0,)1((11nnnnaa莱布尼茨判别法：若0limnna，}{na，则11)1(nnna一定收敛，反之不一定（3）任意项级数①绝对收敛：若1nna收敛，则1nna收敛，也称1nna绝对收敛②条件收敛：若1nna收敛，但是1nna发散，称1nna条件收敛③任意项级数1nna敛散性的判别：若1nna收敛，则1nna绝对收敛：若1nna发散，则1nna的收敛性需进一步判断B.幂级数：1.幂级数的概念称nnnxxa)(00为0x处的幂级数，特别，00x时，幂级数为nnnxa0，也称为麦克劳林级数2.幂级数收敛域的求法阿贝尔定理：对任一幂级数nnnxa0，若在1xx处收敛，则级数在),(11xx都收敛若在2xx处发散，则级数在),(2x),(2x都发散求幂级数收敛域的步骤（1）求收敛半径得收敛区间),(RR261limnnnaaR或nnnalim1（2）判别端点Rx的敛散性，得到收敛域3.幂级数的性质设幂级数nnnxc0的收敛半径为R，和函数为)(xS，则（1）)(xS在),(RR上连续（2）)(xS在),(RR上可以逐项求导，即10)(nnnxncxS（3）)(xS在),(RR上可以逐项积分，即1001)(nnnxxncdxxS4.函数的幂级数展开（1）函数展开成泰勒级数nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(20000余项10)1()()!1()(nnnxxnfR，)(xf可以展开成泰勒级数的充要条件是0limnnR00x时即为麦克劳林级数nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2（2）常用的麦克劳林展开式①)11(11102xxxxxxnnn27②nnxxxx)1(1112)11()1(0xxnnn③!!212nxxxenx)(!0xnxnn④,)!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnn)(x⑤,)!2()1(!4!21cos242nxxxxnn)(x⑥nnnnnxnnxxxxx11132)1()1(32)1ln(，)11(x⑦,!)1()1(!2)1(1)1(2nxnnxxx)11(xC.傅立叶级数1.三角函数及其正交性三角函数系},sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1{nxnxxxxx在区间],[上正交，是指该函数系中任意两个不同函数的乘积在],[上的积分为0，即0cos1nx，0sin1nx),2,1(n0sincosmxnx),2,1,(nm0coscosmxnx),2,1,(nm，0sinsinmxnx),2,1,,(nmnm282.傅里叶级数三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa称为函数)(xf的傅里叶级数，因为)(xf～10)sincos(2nnnnxbnxaa其中)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann　　　　　　3.收敛性定理狄利克雷定理：设)(xf是以2为周期的周期函数，在],[上满足：①连续或仅有有限个第一类间断点②只有有限个极值点，那么)(xf的傅里叶级数在],[上处处收敛，③且收敛于xffxfxxfxfxfxxf,2)0()0()(,2)0()0()(),(的间断点为的连续点为4.周期为2的函数的傅里叶展开将周期为2的函数展开为傅立叶级数的步骤：（1）求出傅里叶系数nnbaa,,0，形式上写出)(xf的傅里叶级数，即)(xf～10)sincos(2nnnnxbnxaa（2）根据收敛性定理，确定傅里叶级数在],[上的收敛性（改写等号）29①],[上)(xf的展开nxdxxfbnxdxxfadxxfannsin)(1cos)(1)(10),2,1(n②],[上奇、偶函数的展开)(xf为奇函数),2,1(,sin)(20,000nnxdxxfbaann)(xf为偶函数),2,1(,0cos)(2,)(2000nbnxdxxfadxxfann③将)(xf在],0[上展为正弦或余弦级数展为仅含正弦级数),2,1(,sin)(20,000nnxdxxfbaann展为仅含余弦级数),2,1(,0cos)(2,)(2000nbnxdxxfadxxfann5.周期为l2的函数的傅里叶展开30)(xf～10)sincos(2nnnlxnblxnaa（1）],[ll上)(xf的展开llnllnllndxlxnxflbdxlxnxfladxxfla),2,1(,sin)(1cos)(1,)(10（2）],[ll上奇、偶函数的展开)(xf为奇函数),2,1(,sin)(20,000ndxlxnxflbaalnn)(xf为偶函数),2,1(,0cos)(2,)(2000nbdxlxnxfladxxflanlnl（3）将)(xf在],0[l上展为正弦或余弦级数展为仅含正弦级数),2,1(,sin)(20,000ndxlxnxflbaalnn展为仅含余弦级数),2,1(,0cos)(2,)(2000nbdxlxnxfladxxflanlnl31第七章空间解析几何和向量代数A.向量1.向量的运算（1）加法运算：设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb，则},,{zzyyxxbabababa（2）数乘运算：设},,{zyxaaaa，则},,{zyxaaaa（3）数量积（点积，内积）：cosbabazzyyxxbababa（结果是一个数）向量a的模aaa向量a与b的夹角：babacos判别两个向量垂直的充要条件：baba0（4）向量积（叉积，外积）①几何表示：ba是一个向量（有模，有方向），其中sinbaba，方向：ba的方向是同时垂直a和b，且符合右手法则②坐标表示：zyxzyxbbbaaakjiba},,{yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaa③运算法则：有方向性：)(abba分配律：cabacba)(结合律：)()()(bababa32④向量积中常用的结论：求同时垂直a和b的向量是用“向量积”ba求以a和b为邻边的平行四边形的面积，就是“向量积模”baS判别两个向量平行的充要条件：a//b0ba(5)混合积：)(cbacba)(是一个数①坐标表示)(cbacba)(zyxzyxzyxcccbbbaaa②轮换对称性)(cba)()(bacacb有方向性：（两向量交换，混合积变号）：)(cba)(bca)(abc)(cab③混合积中常用的结论：求以cba,,为边的平行六面体的体积就是混合积运算：)(cbaV判别三向量cba,,共面的充要条件是：cba,,共面0)(cbaB.平面与直线1.平面方程（1）一般式：},,{,0CBAnDCzByAx为平面的法矢量（2）点法式：},,{,0)()()(000CBAnzzCyyBxxA为平面的法矢量，),,(000zyx为平面上已知点33（3）截距式：1czbyax，其中cba,,分别为平面在三个坐标轴上的截距2.直线方程（1）一般式：0022221111DzCyBxADzCyBxA（2）对称式：nzzmyylxx000，其中),,(000zyx为直线上的定点，},,{nmla为直线的方向矢量（3）参数式：ntzzmtyyltxx000其中),,(000zyx为直线上的定点，},,{nmla为直线的方向矢量3.平面与直线的位置关系（1）平面与平面的关系：设平面(Ⅰ)01111DzCyBxA,平面(Ⅱ)02222DzCyBxA两平面平行212121CCBBAA两平面垂直0212121CCBBAA两平面间的夹角公式：222222212121212121cosCBACBACCBBAA)20(（2）直线与直线的关系直线1L：111111nzzmyylxx，直线2L：222222nzzmyylxx两直线平行：1L//2L212121nnmmll两直线垂直：1L2L0212121nnmmll34两直线间的夹角公式：222222212121212121cosnmlnmlnnmmll)20(（3）平面与直线的关系：设平面0DCzByAx，直线nzzmyylxx000平面与直线平行0nCmBlA平面与直线垂直nCmBlA平面与直线间的夹角公式：222222sinnmlCBACnBmAl)20(（4）点到平面的距离公式：点),,(000zyx到平面0DCzByAx的距离为222000CBADCzByAxd（5）点到直线的距离公式：点),,(000zyx到直线nzzmyylxx111的距离为222010101},,{},,{nmlnmlzzyyxxdC.曲面与空间曲线1.曲面方程与曲线方程的表示（1）曲面方程：一般式0),,(zyxF，参数式),(),(),(vuzzvuyyvuxx，其中),(vu是独立参量（2）空间曲线方程：一般式0),,(0),,(21zyxFzyxF，参数式)()()(tzztyytxx2.旋转面及其方程35设有xoy面上的曲线L：00),(zyxf，那么①曲线L绕x轴旋转产生的旋转曲面方程为0),(22zyxf②曲线L绕y轴旋转产生的旋转曲面方程为0),(22yzxf3.柱面及其方程（1）柱面的定义：平行于定直线并沿曲线c移动的直线L形成的轨迹称为柱面，其中定曲线c称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线（2）柱面方程的建立：①准线L：0),,(0),,(zyxGzyxF（一般式），母线的方向矢量为},,{nml的柱面方程的建立首先，在准线L上任取一点，则过点),,(zyx的母线方程为：nzZmyYlxX其次，消去方程组nzZmyYlxXzyxGzyxF0),,(0),,(中的zyx,,得到关于ZYX,,的方程，即为所求柱面方程②准线为L：)()()(tzztyytxx（参数式）母线的方向矢量为},,{nml的柱面方程的建立所求柱面方程为nstzzmstyysltxx)()()(（st,为参数）（3）常见的柱面（特征是缺一个变量）36①圆柱面：222222222,,RzxRzyRyx②椭圆柱面：12222byax③抛物柱面：pxy224.常见的二次曲面（1）椭球面1222222czbyax（2）二次锥面0222222czbyax（3）椭圆抛物面)0(22222ppzbyax（4）单叶双曲面1222222czbyax（5）双叶双曲面1222222czbyax（6）双曲抛物面)0(22222ppzbyax5.空间曲线的投影设有空间曲线：0),,(0),,(zyxGzyxF，求在xoy面上投影的步骤①由0),,(0),,(zyxGzyxF消去z得0),(yx②在xoy面上的投影为00),(zyx类似可求在其它坐标面上的投影37第八章多元函数微分法及应用1.偏导数和全微分的定义（1）二元函数在点),(00yx处连续，可导，可微性的关系：可积连续可微偏导数连续可偏导可微的定义：)(),(),(0000oyyxfxyxfzyx，22)()(yx全微分：dyyzdxxzdz（2）偏导数000000),(),(lim),(0xxyxfyxfyxfxxx，000000),(),(lim),(0yyyxfyxfyxfyyy（3）),(yxfz点),(00yx处的可微性的讨论先判断连续性，若不连续，则不可微再求两个偏导数，若有一个不存在，则不可微如果连续且两个偏导数都存在，则求下面的极限),(),(),(lim0000000yxfyyxfxyxfzyx，若极限值为零，则可微，若极限值不为零，则不可微2.多元复合函数求导38　　　　时，，当　　　　　　　　dyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufz),(),()],(),,([)](),([3.隐函数求导zyzxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxF，　　，　＋，　　，　　0),,()()(0),(224.隐函数方程),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu　　　　　　　　　　　395.微分法在几何上的应用：)()()(),,()()()(000000000tzztyytxxzyxMtztytx处的切线方程：在点空间曲线0))(())(())((000000zztyytxxtM处的法平面方程：在点},,{,0),,(0),,(yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxF则切向量若空间曲线方程为：，则：上一点曲面),,(0),,(000zyxMzyxF)},,(),,,(),,,({1000000000zyxFzyxFzyxFnzyx、过此点的法向量：0))(,,())(,,())(,,(2000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx：、过此点的切平面方程),,(),,(),,(3000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx、过此点的法线方程：6.方向导数与梯度：40上的投影。在是方向上的单位向量。，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(,sincos),(),(7.多元函数的极值及其求法：CyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx),(,),(,),(0),(),(0000000000　　，令：设　　　　　　　不确定时值时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：,00),(,0),(,002200002BACBACyxAyxABAC41第九章多元函数积分学一.二重积分及其应用：A.定义Ddyxf),(数，),(yxf（面密度）Ddyxf),(平面D上的质量，Ddyxf),(V，Dd1B.二重积分的性质（1）（积分对函数的线性性）设,为常数，则dyxgdyxfdyxgyxfDDD),(),(),(),(（2）（积分区域的可加性）dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(（3）如果在区域D上1),(yxf，为D的面积，则ddDD1（4）（积分的比较性质）如果在D上有),(),(yxgyxf，则有dyxgdyxfDD),(),(特殊地，dyxfdyxfDD),(),(（5）（积分的估值性质）设M与m分别是函数),(yxf在闭区域D上的最大值与最小值，则MdyxfmD),(（6）（积分中值定理）如果函数),(yxf在闭区域D上连续，是D的面积，则在区域D内至少存在一点,，使得),(),(fdyxfDC.二重积分的计算42★计算步骤①画出区域D的草图②确定坐标系③确定积分次序（即积分上下限）④计算累次积分计算方法大致有以下三种：（一）.化为累次积分计算1.直角坐标系下首先，在直角坐标下，dxdyd，化为二次积分①设有界闭区域)()(,),(21xyxbxayxD其中12(),()xx在[,]ab上连续，(,)fxy在D上连续，则有DbaxxDdyyxfdxdxdyyxfdyxf)()(21),(),(),(先y后x，x常数变，画竖线，上曲线方程为上限，下曲线方程为下限dyyxfdxdxdyyxfdyxfxxDbaD)()(),(),(),(上下②设有界闭区域)()(,),(21yxydycyxD其中12(),()yy在[,]cd上连续，(,)fxy在D上连续，则有21()()(,)(,)(,)ydDDcyfxydfxydxdydyfxydx先y后x，x常数变，画竖线，上曲线方程为上限，下曲线方程为下限43dyyxfdxddxdyyxfdyxfyyDbcD)()(),(),(),(右左注意：（1）所画的竖线（横线）平行移动时，方程要变化，要分快（2）当二次积分的四个限都是常数，被积函数可变量分离时，则可以各自积分后再相乘dyyfdxxfdyyfxfdxdcbadcba)()()()(21212.极坐标下DDrdrdrrfdxdyyxf)sin,cos(),(极坐标下，rdrdd，化为二次积分首先，说一下，我们应该在什么情况下选用极坐标（1）积分区域与圆有关；（2）被积函数最好是);(),(),(22yxfxyfyxf（3）直角坐标积不出来在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。（1）设有界闭区域12(,),()()D其中12(),()在[,]上连续，(,)(cos,sin)fxyf在D上连续。则21()()(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydfdddfd先r后，常数变，画射线，远曲线方程为上限，近曲线方程为下限)()()sin,cos()sin,cos(),(远近rdrdrrfdrdrdrrfdyxfDD44（2）设有界闭区域)(0,),(D其中()在[,]上连续，(,)(cos,sin)fxyf在D上连续。则DDdfdddfdyxf)(0)sin,cos()sin,cos(),(（二）利用对称性计算在二重积分的计算中，我们可以利用区域对称性与函数的奇偶性化简结论（1）若积分域D关于y轴对称,),(yxf关于x有奇偶性,则DDxxyxfyxfyxfdyxfx.),(0.),(d),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于（2）若积分域D关于x轴对称,),(yxf关于y有奇偶性,则DDyyyxfyxfyxfdyxfy.),(0.),(d),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于（3）若积分域D关于xy对称,则.`d),(d),(DDxyfyxf（4）若积分域D关于原点对称,则),(),(),(2),(),(0),(1yxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxfDD（三）利用形心),(yx计算45由（薄板）形心公式：xxdxdxDD，yydyD即只要已知x或y和区域D的面积，就可求出Dxd或Dyd例：①0)2(122yxdyx②515)221()2(21)2()1(22yxdyx③24Dyd，其中}2,2,2),{(2yxyyxyxDＤ.二重积分的应用1.几何应用①求平面区域D的面积DdS1②求以平面D为底，曲面),(yxfz为顶的曲顶柱体的体积DdyxfV),(2.物理应用设平面薄板的面密度为),(yxuu，薄板在xoy面上的区域为D，那么①薄板质量Ddyxum),(②薄板质心（重心）、形心46质心DDdyxdyxxx),(),(，DDdyxdyxyy),(),(形心（质量分布均匀，即C时的质心就称为形心）Dxdx，Dydy③薄板的转动惯量关于x轴的转动惯量DxdyxyI),(2关于y轴的转动惯量Dy