01_随机过程的基础知识

Ø112车辆随机振动理论及应用主讲：马天飞电子讲稿3车辆随机振动理论及应用马天飞第一章随机过程基础知识4车辆随机振动理论及应用马天飞第一节付立叶变换5一、付立叶级数车辆随机振动理论及应用马天飞1、付氏级数对于任一周期函数x(t)，如果在区间[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet）条件（函数连续或只有有限个第一类间断点；函数只有有限个极值点），则可以将它展开成付氏级数，即()[]()∑∑∞=∞=−+=++=10102nnnnnntnAAtnbtnaatxϕωωωcossincos6车辆随机振动理论及应用马天飞2、付氏系数Ø付氏级数中的系数a0、an、bn，称为付氏系数。()dttxTaTT∫−=2202()()()L321sin2cos22222，，===∫∫−−ntdtntxTbtdtntxTaTTnTTnωωØ27车辆随机振动理论及应用马天飞3、谐量与基频Ø付氏级数的本质是将周期函数x(t)写作多个简谐函数的叠加形式。ØAn称为n阶谐量的幅值；Øφn称为n阶谐量的相位角；Øω=2π/T称为基频；ØA0=a0/2称为x(t)的直流分量。()[]()∑∑∞=∞=−+=++=10102nnnnnntnAAtnbtnaatxϕωωωcossincos8车辆随机振动理论及应用马天飞4、欧拉公式Ø欧拉（Euler）公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出了复数的两种形式（三角函数形式和指数函数形式）之间的关系：或−=+=−ϕϕϕϕϕϕsincossincosjejejj()()()−−=−=+=−−−ϕϕϕϕϕϕϕϕjjjjjjeejeejee221sin21cos9车辆随机振动理论及应用马天飞5、付氏级数的复数形式Ø利用欧拉公式可以得到付氏级数的复数形式Ø式中，复振幅Ø复振幅的模等于实振幅的一半，即()∑+∞−∞=−−=++=ntjnntjnntjnnecececctxωωω0()()dtetxTjbactjnTTnnnω−−∫=−=22121()L2102122±±==+=−−，，necebannjnjnnϕϕnnAc21=10二、频谱分析与频谱函数车辆随机振动理论及应用马天飞1、频谱分析Ø频谱分析可以得到振动信号中各种频率谐波的振幅比。Ø某乘用车车身质心垂直方向加速度时间历程和频谱11车辆随机振动理论及应用马天飞l为什么要把时域信号转换为频域信号？Ø频域曲线比时域曲线更容易反映出信号的统计特性Ø某乘用车车身质心垂直方向加速度时间历程和频谱12车辆随机振动理论及应用马天飞l为什么要把时域信号转换为频域信号？Ø人体对不同频率信号的主观感受不同ØISO2631 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 中需要进行频率计权Ø噪声的等响曲线和计权网络频响特性Ø313车辆随机振动理论及应用马天飞l为什么要把时域信号转换为频域信号？Ø能够分析出不同振动信号之间的相关性Ø怠速工况发动机激励与地板振动响应的频谱图0.000.150.300.450.60205080110140170200频率/Hz幅值/m/s^2左后悬置点右后悬置点0.000.050.100.150.200.25205080110140170200频率/Hz幅值/m/s^2仿真地板振动加速度0.000.200.400.600.80205080110140170200频率/Hz幅值/m/s^2试验地板振动加速度14车辆随机振动理论及应用马天飞2、频谱图与频谱函数Ø频谱图是以频率为横坐标画出的各频率谐波的振幅随频率而变化的图形。Ø频谱函数Ø频谱函数F(ω)与复振幅cn之间只差一个倍数T，因此频谱函数也能够反映出各阶谐波的振幅比。()()∫−−=22TTtjdtetxFωω15车辆随机振动理论及应用马天飞3、方脉冲函数的付氏级数Ø将周期为T、脉冲宽度为τ的方脉冲函数（如图所示）展开成复数形式的付氏级数()≤≤<<−−≤≤−=22022220TttEtTtxττττ，，，()tjnnnntjnneTnnETEectxωωπτπτ+==∑∑+∞≠−∞=+∞−∞=sin1016车辆随机振动理论及应用马天飞4、方脉冲函数的频谱图Ø令τ/T=1/3，则复振幅的模为Ø得到频谱图ü离散的点üΔω=ω1ü复振幅的模()L213sinsin±±===，nnnETnnEcnπππτπ30ETEc==τ17车辆随机振动理论及应用马天飞4、方脉冲函数的频谱图（续）Ø脉冲宽度τ不变，增大周期T，则基频ω1减小，谱线变密；Ø当T→∞时，x(t)变成非周期函数，相应的Δω趋近于零，频谱图由离散的点变成了连续的线。18车辆随机振动理论及应用马天飞4、方脉冲函数的频谱图（续）Ø周期函数的频谱为离散谱Ø非周期函数的频谱为连续谱Ø反之亦然Ø419三、付氏变换及其性质车辆随机振动理论及应用马天飞1、付氏变换Ø对周期函数fT(t)，有付氏级数和付氏系数Ø对于非周期函数f(t)，有如下关系()()±±===∫∑−−+∞−∞=L，，，210122ndtetfTcectfTTtjnTnntjnnTωω()()()()==∫∫∞∞−−∞∞−；；ωωπωωωdeFtfdtetfFtjtj2120车辆随机振动理论及应用马天飞1、付氏变换（续）ØF(ω)称为f(t)的付里叶变换，简称为付氏变换，记为F(ω)=F[f(t)]Øf(t)称为F(ω)的付里叶逆变换或称付里叶积分，记为f(t)=F-1[F(ω)]Øf(t)与F(ω)称为付里叶变换对。()()()()==∫∫∞∞−−∞∞−；；ωωπωωωdeFtfdtetfFtjtj2121车辆随机振动理论及应用马天飞2、付氏变换的含义Ø非周期函数f(t)是由无穷多个复振幅为F(ω)dω的谐波叠加而成的，而且频率ω是连续的。Ø并非所有的非周期函数均能进行付氏变换，只有满足绝对可积条件（即）的才能进行。Ø付氏变换是信号在时间域和频率域之间转换的工具。()∞<∫∞∞−dttf22车辆随机振动理论及应用马天飞3、付氏变换的性质（1）如果f(t)是实函数，则F(ω)一般为复函数，且实部为偶函数，虚部为奇函数。（2）奇偶虚实定理如果f(t)是实的偶函数，则F(ω)也是实的偶函数；如果f(t)为实的奇函数，则F(ω)为虚的奇函数。（3）线性叠加定理：假设α、β为常数，则()()[]()()ωβωαβα2121FFtftfF+=+()()[]()()tftfFFF21211βαωβωα+=+−23车辆随机振动理论及应用马天飞3、付氏变换的性质（续）（4）时域平移定理Ø函数f(t)在时间轴上平移时，其付氏变换的模不变，只是相位改变。Ø也就是说，函数在时域平移，不影响各频率谐波的振幅比。（5）频域平移定理（6）对称性定理：假设F[f(t)]=F(ω)Ø对某函数F(t)进行付氏变换时，若已知它的付氏逆变换，即原函数f(t)，则可直接得到它的付氏变换。()[]()00tjeFttfFωω±=±()[]()tjetfFF001ωωω±−⋅=m()[]()ωπ−=ftFF224车辆随机振动理论及应用马天飞3、付氏变换的性质（续）（7）时域微分定理（8）频域微分定理（9）时域积分定理()()()ωωFjdttfdFnnn=()()()[]tftFjdFdnnnn−=ωω()()ωωFjdttfFt1=∫∞−Ø525车辆随机振动理论及应用马天飞3、付氏变换的性质（续）（10）乘积定理（11）能量积分：假设函数f2(t)绝对可积，则（12）时间伸缩定理：对于常数a≠0，有()()()()ωωωπdFFdttftf212121∫∫∞∞−∞∞−=*()()ωωπdFdttf∫∫∞∞−∞∞−=2221()[]=aFaatfFω126四、δ函数车辆随机振动理论及应用马天飞1、定义Ø数学上称满足下列条件的函数为δ函数或单位脉冲函数Øδ函数是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。()()==∞≠=∫∞∞−1000dxxxxxδδ，，27车辆随机振动理论及应用马天飞2、δ函数的性质（1）δ函数是偶函数，即δ(-t)=δ(t)。（2）（3）δ函数的筛选性质：如果f(t)为一连续函数，则式中，()<<=∫其它,00,1badttbaδ()()()00tfdttttf=−∫∞∞−δ()≠=∞=−000,0,ttttttδ28五、常用函数的付氏变换车辆随机振动理论及应用马天飞1、Ø由平移性质可得：Ø由对称性定理可得：2、()[]1=tFδ()[]00tjettFωδ−=−[]()ωπδ21=F[]()020ωωπδωm=±tjeF[]()()000ωωπδωωπδω++−=tFcos[]()()[]000ωωπδωωπδω−−+=jtFsin29五、常用函数的付氏变换（续）车辆随机振动理论及应用马天飞3、对于周期函数，有Ø式中，ω0=2π/T为基频。Ø该式说明：一般周期函数之付氏变换是无限多个强度不等的脉冲的叠加。()[]()02ωωδπnctfFnn−=∑+∞−∞=30车辆随机振动理论及应用马天飞第二节随机变量Ø631一、定义车辆随机振动理论及应用马天飞1、实随机变量：（Realrandomvariable）随机试验中的基本事件（样本点）为e。样本空间为S={e}。若每一样本点e有一实数X{e}与之对应，则称X{e}(e∈S)为实随机变量。显然X{e}为一实数的集合。例如：汽车半轴零件的直径d；样本点为轴零件，样本空间为轴零件的集合。又称X{e}为样本空间S的每一样本点e映射到实轴上数的集合。简记为X。分连续型和离散型随机变量。32一、定义车辆随机振动理论及应用马天飞2、复随机变量：(complexrandomvariable)样本空间S中的每一样本点e映射到复平面上的数的集合。Z{e}=X{e}+jY{e},为一复数的集合。X、Y为实随机变量。例如：白车身模态试验中某测点的复模态矢量Ae(jθ)，其中A、θ分别为模态幅值和相位角。33一、定义车辆随机振动理论及应用马天飞3、n维随机变量：(vectorrandomvariable)若样本空间S中的一个样本点e∈S与n个实数X1{e}、X2{e}、……、Xn{e}相对应，则称（X1、X2、……、Xn）为定义在S上的n维随机变量。例如：发动机工作状态是随机变化的，可看成与转矩Me、转速ne相对应的二维随机变量。34二、概率描述（probabilitydescription）车辆随机振动理论及应用马天飞Ø用分布函数（distributionfunction）和概率密度函数（probabilitydensityfunction）描述{}F(x)=PXxd(x)=(x)dxfF≤一维{}n12n1122nn12n12n12nF(x,x,x)=Pxxx(x,x,x)=(x,x,x)xxxnnnXXXfF≤≤≤∂∂∂∂LILILLL,多维,,35三、随机变量函数的概率密度车辆随机振动理论及应用马天飞1、一维随机变量的函数设连续型随机变量X的函数Y＝g（X）也为一连续型随机变量。即：Y与X为定义在同一样本空间的随机变量{}{}()iiiiiiiiPyYyyPxXxxPxXxx<<+∆=<<+∆=<<+∆∑∑36车辆随机振动理论及应用马天飞1、一维随机变量的函数（续）令X与Y的概率密度函数分别为f(x)和f(y)，则当∆y、∆xi足够小时，可写成{}{}iiiiPyYyyPxXxx<<+∆=<<+∆∑()()||iiifyyfxx∆=∆∑0,0iyx∆→∆→()()/()/iiiiixxdydyfyfxfxdxdx===∑∑当时，Ø737车辆随机振动理论及应用马天飞例题1-1：求时间历程曲线X(t)的X的概率密度函数f(x)。解：设t在时间轴上取值等可能，即随机变量t～均匀分布，有，（T为采样时间），则∴1()ftT={}()()||iiiiitPxXxxfxxfttT∆<<+∆=∆=∆=∑∑()iitfxTx∆=∆∑38车辆随机振动理论及应用马天飞解（续）：若X(t)为某次实验记录的样本，则当X(t)为等间隔Δt采样的离散点时，设采样频率为fs，T时间内总采样点数为N，则：式中：Δn——在Δx带宽内的采样点数此式表明：根据样本函数的总采样点数N、设定带宽Δx和带内数据点数Δn可求得随机过程X(t)的f(x)。()()iiiissnNnfxxnNxffNx∆∆=∆=∆∆=∆∑∑39车辆随机振动理论及应用马天飞n试验数据处理某车内噪声试验数据样本，时间历程曲线如图（部分），样本点总数49152，采样频率4000Hz。要求画出概率密度函数曲线。40车辆随机振动理论及应用马天飞n试验数据处理设定带宽Δx，随着x的变化，统计（x,x+Δx)内数据点数Δn，可得到样本函数的概率密度函数f(x)。Δx=0.2Δx=1.041三、随机变量函数的概率密度车辆随机振动理论及应用马天飞2、多维随机变量的函数设n维随机变量(Y1,Y2,…,Yn)和(X1,X2,…,Xn)之间有函数关系：若其存在反函数，为：kk12n(X,X,X),k=1,2,nYg=LL,,kk12n(Y,Y,Y),k=1,2,nXh=LL,,如果gk、hk单调连续，则有下列变换关系：n12nn12n(y,y,y)=(x,x,x)Jff⋅LL,,42三、随机变量函数的概率密度车辆随机振动理论及应用马天飞2、多维随机变量的函数（续）式中的雅可比（Jacobi）行列式:（例题1-2、1-3）n12nn12n(y,y,y)=(x,x,x)Jff⋅LL,,1111222212n1212n12(x,x,x)Jdet(y,y,y)nnnnnnxxxyyyxxxyyyxxxyyy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂LLLLMMML,,Ø843四、数字特征——矩（moment）车辆随机振动理论及应用马天飞v定义Øn阶原点矩（n-orderoriginmoment）：Øn阶中心矩（n-ordercentralmoment）：f(x)dxx]E[Xnn∫∞∞−=f(x)dx)μ(x])μE[(XnXnX∫∞∞−−=−44四、数字特征——矩车辆随机振动理论及应用马天飞Øn＝1时：Øn＝2时：f(x)可全面描述X的统计规律，各阶矩可描述f(x)的图形特征。[][]()0xxEXxfxdxEXµµ∞−∞==→−=∫均值(meanvalue)）方差（）均方值（variancevaluesquaremean22222σ])μE[(Xψf(x)dxx]E[XXXX=−==∫∞∞−45v半轴的可靠性 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 简介车辆随机振动理论及应用马天飞Ø在产品设计过程中，为了实现精确设计，须考虑各设计参量的统计分散性，进行随机不确定分析，从而保证在满足产品强度要求的前提下实现产品轻量化。Ø全浮式半轴的可靠度计算Ø对于全浮式半轴，只承受转矩作用，其扭转切应力3πd16Tτ=46v半轴的可靠性设计简介车辆随机振动理论及应用马天飞Ø以应力极限状态表示的状态方程为式中：r为半轴材料的扭转强度；X为基本随机变量矢量，X=[rTd]T。Øg(X)是反映半轴状态和性能的状态函数:3πd16Trg(X)−=>≤安全状态失败状态0g(X)0g(X)47车辆随机振动理论及应用马天飞Ø设基本随机变量矢量X的均值Ø方差矩阵Ø认为这些随机变量是服从正态分布且相互独立的。TdTrμμμX][]E[==2d2T2rσσσX000000]D[v半轴的可靠性设计简介48车辆随机振动理论及应用马天飞Ø将g(X)在均值E[X]=X0处展开成二阶泰勒级数，可得到g(X)的二阶近似均值和一阶近似方差：*∂∂==∂∂+==][D)(g)](g[D][D)(g21)(g)](g[E2g22gXXXXXXXXXT0T00σµv半轴的可靠性设计简介Ø949车辆随机振动理论及应用马天飞Ø定义可靠性指标：Ø可靠度的一阶估计量为式中，为标准正态分布函数。ggσµβ=)(βϕ=R)(βϕv半轴的可靠性设计简介50车辆随机振动理论及应用马天飞Ø半轴的可靠性设计Ø根据给定的半轴可靠度R（如99%），查表得到可靠性指标β（如：2.33），根据前面*式可以推导整理得到**Ø式中，02)(223dr6d2r22r=−+−−BAAβµµµσβµ2TT)005.0(9616×+=πµπσA222T22T)005.0(2304256×+=πµπσBv半轴的可靠性设计简介51车辆随机振动理论及应用马天飞Ø六个未知数中，صr、σr取决于材料的力学参数的统计特性；صT、σT取决于载荷随机过程的统计特性；صd、σd取决于设备的加工水平和设计要求。（设计时需控制的量）Ø根据加工误差和3σ法则，取半轴直径标准差σd为均值µd的0.005倍，求解**式即可求得半轴直径的均值和标准差。v半轴的可靠性设计简介52五、特征函数（Characteristicfunction）车辆随机振动理论及应用马天飞1、定义对连续型（continuous）随机变量X，称复随机变量的数学期望（mathematicalexpectation）为X的特征函数，即:jXeθ()()jXjxXMEeefxdxθθθ∞−∞==∫显然，MX(θ)可看作f(x)的付氏变换。53五、特征函数车辆随机振动理论及应用马天飞1、定义（续）当X为离散型随机变量时，f(x)可表示为这时，离散型随机变量X的特征函数为()()iiifxpxxδ=−∑()(())()ijxXiiijxiiijxiiMepxxdxpexxdxpeθθθθδδ∞−∞∞−∞=−=−=∑∫∑∫∑54五、特征函数车辆随机振动理论及应用马天飞2、特征函数与矩的关系把在处展成泰勒级数（多项式）式中：(n=1,2,…)根据定义可以得到：()XMθ0θ=222(0)(0)(0)()(0)2!!nnXXXXXndMdMdMMMddndθθθθθθθ=+⋅++++LL0(0)()nnXXnndMdMddθθθθ==0(0)()()nnnjxnnnnXndMjxefxdxjxfxdxjEXdθθθ∞∞−∞−∞==⋅=⋅=∫∫Ø1055五、特征函数车辆随机振动理论及应用马天飞2、特征函数与矩的关系（续）可以得到特征函数与各阶矩的关系：式中：可见，用各阶矩能够完整地描述X的统计特性。在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 实际中，往往只用少数几个低阶矩（一般用到二阶，有时在解决非线性问题时用到四阶）来描述它。（例题1-4~1-6）1()()1!nnXnjMEXnθθ∞==+⋅∑(0)1nnXnndMEXjdθ＝56车辆随机振动理论及应用马天飞第三节随机过程的描述57一、随机过程车辆随机振动理论及应用马天飞Ø定义1定义在样本空间上的时间函数（样本函数）,的集合，称为随机过程，简记为。{}Sk=()kxttT∈()Xt58一、随机过程车辆随机振动理论及应用马天飞Ø定义2v显然，为二元函数。Ø当k一定时，为一确定的样本函数；Ø当时，为一连续型随机变量，它又称为在时刻的截口或状态；Ø当k一定且时，为样本函数在时刻的值。v定义随机过程是一族随机变量（，）的集合。即可以看作是无限多个随机变量组成的随机变量系，或者说是随时间t而变的一族随机变量，又称随机函数。1()Xt1tT∈()Xt()Xt()Xt()Xt1tt=()kxt1()Xt1t1tt=()Xt()kxt1t59v样本——从无限长连续信号到有限长离散信号车辆随机振动理论及应用马天飞Ø测试时，传感器测量输出的信号是足够长的连续的电压信号x（t）。Ø它的付式变换为频谱X(ω)。60车辆随机振动理论及应用马天飞Ø进行数据处理时，首先要将它转换成有限长的离散信号。Ø截断和离散Ø离散化时，需要Ø等间隔采样（时间间隔Δt），得到一组脉冲序列信号；Ø量化，模拟信号转变为离散数字信号x(tk)。Ø这一过程是由A/D转换器完成的。v样本Ø1161车辆随机振动理论及应用马天飞Ø量化误差Ø可以证明，离散后的无限长数字序列信号x(tk)的频谱X(ω)是原信号x(t)频谱X(ω)的周期延拓，且放大为X(ω)的fs倍，延拓周期亦为fs。Ø在两周期相邻处出现频率混叠。只有在满足采样定理的条件下才能消除误差。v样本62车辆随机振动理论及应用马天飞Ø采样定理（奈奎斯特定理、香农定理）Ø在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs大于信号中最高频率fmax的2倍(fs≥2fmax)时，采样之后的数字信号能够完整地保留原始信号中的信息。Ø一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。v样本63车辆随机振动理论及应用马天飞Ø样本的截断Ø实际的分析系统只能对有限长数字序列进行分析处理，必须对信号进行截断。Ø截断就是对实测连续信号x(t)截取一段长为T的信号xT(t)，称为样本。Ø样本长度T=N*∆t；Ø其中，∆t为采样时间间隔，N为采样点数。Ø时域截断将产生截断误差。Ø截断和离散后，得到有限长数字序列xT(tk)。v样本64车辆随机振动理论及应用马天飞Ø截断和离散后，得到有限长数字序列，并进行周期拓展xT(tk)。v样本65车辆随机振动理论及应用马天飞ØxT(tk)的付氏谱Ø对此周期有限长数字序列信号xT(tk)所做傅氏变换得到的频谱不再是连续谱，而是周期离散谱。Ø周期仍为采样频率fs或ωs；Ø∆ω=2π/T称为频率分辨率。Ø在—个周期内有N条谱线；v样本66车辆随机振动理论及应用马天飞Ø离散傅氏变换v样本Ø1267车辆随机振动理论及应用马天飞Ø离散傅氏变换Ø可以实现对实际信号的数字处理，但计算量十分庞大。Ø对一个含N个数字序列的样本进行离散傅氏变换需要N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算。v样本68车辆随机振动理论及应用马天飞Ø快速傅里叶变换(FFT)Ø1965年,J.W.Cooley和J.W.Tukey提出了“有限离散序列傅里叶变换的快速算法”，即“快速傅里叶变换(FFT)”。Ø它巧妙地利用了复指数函数的周期性和对称性，大大减少了离散傅氏变换的计算工作量，并成为信号处理的核心；ØFFT要求采样点数N=2m。Ø离散谱值为原连续谱相应谱值的fs倍。Ø这种差异对频响函数的结果并无影响，只要对激励和响应作相同采样和截断即可。v样本69二、概率描述车辆随机振动理论及应用马天飞1、一维概率分布v随机过程在时刻的截口为一个连续型的随机变量。Ø分布函数：Ø概率密度函数：()Xt1()Xt1t11111(,){()}FxtPXtx=≤1111111(,)(,)dFxtfxtdx=70二、概率描述车辆随机振动理论及应用马天飞2、n维概率分布v随机过程在n个时刻的截口为一个n维随机变量。Ø分布函数：Ø概率密度函数：v若已知n维随机变量的概率密度函数，则可以求出较低维随机变量的概率密度函数。v对于随机过程，知道概率密度函数的维数越高，对它的统计特性了解得越彻底。()Xt12()()......()nXtXtXt、、、12nt,t,tL,12n12n(x,x,x;t,t,t)nFLL,,12n12n(x,x,x;t,t,t)nfLL,,71三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞1、单个随机过程的主要数字特征v在实际问题中，往往只要知道某些主要数字特征，即可对有足够的认识。Ø均值：Ø方差：Ø均方值：()Xt[()](,)()XEXtxfxtdxtµ+∞−∞==∫222[()][(()())](())(,)()XXXDXtEXttxtfxtdxtµµσ+∞−∞=−=−=∫22222[()](,)()()()XXXEXtxfxtdxtttψσµ+∞−∞===+∫72车辆随机振动理论及应用马天飞l自相关函数121212121212[()()](,)(,;,)XEXtXtRttxxfxxttdxdx+∞+∞−∞−∞==∫∫Ø1373三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞2、n维随机过程的数字特征v对于n维随机过程Ø均值：Ø均方值：Ø相关函数矩阵：相关函数矩阵为非对称阵。[()]12iEXti=L，，，n12()()......()nXtXtXt、、、2[()]12iEXti=L，，，n11121212221212121212121212121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnijnnnnXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXRttRttRttRttRttRttRttRttRttRtt=LLMMOML74车辆随机振动理论及应用马天飞l两个随机过程的互相关函数v定义两个随机过程X(t)和Y(t)在两个时刻t1和t2截口乘积的数学期望。()()()[]()()[]()()()[]2121112121,,tXtYEttRtYtXEtYtXEttRYXXY=+==τ75三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞2、n维随机过程的数字特征v对于两个随机过程X(t)和Y(t)，有Ø协方差（相关矩）=Ø相关系数（标准化协方差）121122(,)[(()())(()())]XYXYCttEXttYttµµ=−−1212(,)()()XYXYRttttµµ−1212(,)()()XYXYXYCttttρσσ=76三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞3、随机过程函数的数字特征①()()tXtϕY(t)=[]()[()]EYtEXtϕ=(t)222[]()[()]EYtEXtϕ=(t)[][]12112212121212(,)()()()()()()()()()()(,)YXRttEtXttXtttEXtXtttRttϕϕϕϕϕϕ===77三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞3、随机过程函数的数字特征②()Xt+Z(t)=Y(t)[][()][]EZEXtEY=+(t)(t)1212112212121212(,)[()()][(()())(()())](,)(,)(,)(,)ZXYXYYXRttEZtZtEXtYtXtYtRttRttRttRtt==++=+++78三、数字特征车辆随机振动理论及应用马天飞4、导数过程的数字特征随机过程的导数过程定义为其每个样本函数在t时刻的导数的集合。①导数过程的均值等于原过程均值的导数②③0()()()()limdXtXtXtXtdtεεε→+−==&12122(,)(,)XXXRttRttt∂∂&＝2121212(,)(,)XXRttRtttt∂=∂∂&Ø1479四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞1、集合平均和时间平均数学期望的集合平均：自相关函数的集合平均：一般来说，随机过程数字特征的集合平均都与时间原点有关。11111()[()]lim()nXknktEXtxtnµ→∞===∑12121211(,)[()()]lim()()nXkknkRttEXtXtxtxtn→∞==∑=80四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞1、集合平均和时间平均数学期望的时间平均：自相关函数的时间平均：一般来说，随机过程数字特征的时间平均都与样本函数序号k有关。01()lim()kTXkkTXtxtdtTµ→∞=<>=∫12121201(,)()()lim()()kTXkkTRttXtXtxtxtdtT→∞=<>=∫81四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞2、平稳过程的概念数学上，如果随机过程的概率密度函数存在以下关系其中a为任意实常数，n趋近于无穷，则称为平稳过程。若n=2，则称为弱平稳随机过程。11111122112211221122(,)(,)(,;,)(,;,)(,;,;;,)(,;,;;,)nnnnfxtfxtafxtxtfxtaxtafxtxtxtfxtaxtaxta=+=++=+++MMLL82四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞2、平稳过程的概念在工程上，如果即它们与时间原点的选择无关，则称为平稳过程。1221()(,)()XXXXtCRttRttµµττ====−（常数）（）83四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞3、各态历经随机过程各态历经随机过程首先必须是平稳过程，并且它的数字特征的时间平均都与k无关，且等于任一截口处的集合平均，即这也是各态历经随机过程的判断依据。()[()]()()[()()]()XXXtEXtXtXtEXtXtRµτττ<>==<+>=+=84四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞4、平稳过程自相关函数的性质①是偶函数；②是有界的；③且（例题1-9）2max(0)()XXXRRψτ==2()XXRµ∞→Ø1585车辆随机振动理论及应用马天飞l平稳随机过程互相关函数的含义Ø自相关函数RX(τ)描述的是平稳过程X(t)两个不同状态X(t1)和X(t2)之间的线性关系，或者说是X(t1)和X(t2)在图形上的相似程度。Ø研究对象是一个过程的两个状态。Ø互相关函数RXY(τ)描述的是两个平稳过程X(t)和Y(t)在两个不同时刻状态X(t1)和Y(t2)之间的关系。Ø研究对象是两个过程的两个状态。86车辆随机振动理论及应用马天飞l平稳随机过程互相关函数的性质ØØ一般地，，即RXY(τ)不是偶函数。ØØ对大多数平稳过程来说，τ越长，相关性越弱。Ø当τ趋近于∞时，则X(t)与Y(t+τ)不相关，即ρX(t)Y(t+τ)=0，此时Ø互相关函数与自相关函数的关系()()ττ−=YXXYRR()()ττYXXYRR≠()YXYXXYYXYXRσσµµτσσµµ+≤≤−()()YXYXXYRRµµττ==()()()002YXXYRRR≤τ87四、平稳过程及其导数过程车辆随机振动理论及应用马天飞5、平稳过程导数过程的性质①平稳过程导数过程的均值为0；②③平稳过程导数过程也是平稳过程。④⑤平稳过程与其导数过程在同一时刻是正交的、不相关的。⑥导数过程的功率谱密度2122(,)()XXdRttRdττ=−&1212(,)()(,)XXXXXdRttRRttdττ=−=−&&2()()XXSSωωω=&88五、平稳随机过程的功率谱密度车辆随机振动理论及应用马天飞1、自功率谱密度Ø一般情况下，X(t)是非周期函数，RX(τ)随着τ的增长逐渐趋近于0（假设均值为0）。Ø它满足绝对可积条件，因此可以进行付氏变换。Ø它的付氏变换称为自功率谱密度函数，记为SX(ω)。Ø即RX(τ)与SX(ω)是一对付氏变换对。()()[]()()()[]()====∫∫∞∞−−∞∞−−ωωπωττττωωτωτdeSSFRdeRRFSjXXXjXXX21189车辆随机振动理论及应用马天飞n自功率谱密度的含义Ø因为RX(τ)在广义上具有“平均功率”的含义，所以SX(ω)可以看作是单位频带宽度内的平均功率，因此称为自功率谱密度函数。ØSX(ω)曲线与ω轴围成的面积（即RX(0)）代表着该随机过程的平均功率。v平稳随机过程的功率谱密度()()ωωπτωτdeSRjXX∫∞∞−=2190车辆随机振动理论及应用马天飞n自功率谱密度的性质ØSX(ω)是实偶函数ØRX(τ)为实偶函数，根据付氏变换的性质，其付氏变换也是实偶函数。ØSX(ω)为非负函数ØSX(ω)也称为均方谱密度Ø双边谱密度SX(ω)与单边谱密度GX(ω)v平稳随机过程的功率谱密度()[]()()∫∞∞−==ωωπdSRtXEXX2102()()<≥=0002ωωωω，，XXSGØ1691车辆随机振动理论及应用马天飞2、互功率谱密度Ø定义随机过程X(t)和Y(t)互相关函数RXY(τ)和RYX(τ)的付氏变换为互功率谱密度函数SXY(ω)和SYX(ω)。ØSXY(ω)广义上也表示“平均功率密度”的含义，只不过是描述两个随机过程X(t)和Y(t)中相同频率成分之间的关系。v平稳随机过程的功率谱密度()()[]()()()[]()====∫∫∞∞−−−∞∞−ωωπωττττωωτωτdeSSFRdeRRFSjXYXYXYjXYXYXY21192车辆随机振动理论及应用马天飞n互功率谱密度的性质ØSXY(ω)和SYX(ω)一般为复数。ØSXY(ω)和SYX(ω)互为共轭复数。ØSXY(ω)写成实部和虚部的形式Ø则实部为偶函数，虚部为奇函数。v平稳随机过程的功率谱密度()()()()ωωττωωτXYXYjXYXYjQCdeRS−==∫∞∞−−93车辆随机振动理论及应用马天飞n互功率谱密度的性质（续）ØSXY(ω)写成模和相位角的形式Ø随机过程X(t)与Y(t)的自谱与互谱之间存在下列关系式Ø由此定义X(t)与Y(t)的谱相干函数（或称凝聚函数）v平稳随机过程的功率谱密度()()()ωωωXYjXYXYeSSϕ−=()()()ωωωYXXYSSS≤2()()()()ωωωωγYXXYXYSSS22=())10(2≤≤ωγXY94六、高斯随机过程车辆随机振动理论及应用马天飞1、定义随机过程的n维概率密度函数可表示为如下关系式时，称为高斯随机过程。1112212211(,;,;;,)exp[()()]2(2)TnnnnfxtxtxtXCXCµµπ−=−−−L95六、高斯随机过程车辆随机振动理论及应用马天飞2、高斯随机过程的性质①弱平稳就意味着强平稳。②对高斯过程作线性运算得到的随机过程，如果存在，仍为高斯过程。③两个高斯随机过程不相关，必相互独立，不相关与相互独立是等价的。④平稳高斯过程与其导数过程在同一时刻是正交的、不相关的，因而也是相互独立的。