专题19 三角恒等变换-备战2020高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）

【高考地位】三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具.但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一运用转化与化归思想使用情景：含不同角的三角函数式类型解题模板：第一步利用各种角之间的数值关系，将它们互相 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，改变原角的形式；第二步运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；第三步得出结论.例1设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，，求的值．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）EMBEDEquation.DSMT4．当，即EMBEDEquation.DSMT4时递减，递增．所以，函数的单调递增区间为．考点：三角函数的图象与性质及三角函数的化简求值．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的化简求值等问题，属于基础试题，本题的解答中注意角的范围的判断是解答的一个难点和易错点，本题的解答中，先把函数为，利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，同时由，的值，推导，的值的过程中注意角的范围问题．【变式演练1】（1）化简：．（2）若、为锐角，且，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简．（2）根据、为锐角，且，可知，也为锐角．根据同角三角函数关系式可求得的值．由两角和差公式可求得．学科网试题解析：解：（1）．（2）因为、为锐角，且，，，所以，∴．学科网考点：1诱导公式；2同角三角函数基本关系式；3两角和差公式．【变式演练2】已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）考点：1.同角三角函数基本关系；2.两角差的余弦公式方法二运用函数方程思想使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；第二步求解方程组；第三步得出结论.例2已知，，求的值．【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.例3若，，，且，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，可得，，，EMBEDEquation.DSMT4.故选C.考点：诱导公式.【思路点晴】本题考查了诱导公式的应用，知识点简单，但难在对给定条件的理解；如何将两个条件转化成构成形式一样的形式，是难点，同一个等式中既有角，也有三角函数值，在我们的学习和 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 中很少出现，采用整体替换的方法可得到，再利用二倍角公式即可求出所求的值.本题对学生理解能力的考查比较着重，本题属于难题.【变式演练3】设是方程的两根，则的值为（）A．－3B．－1C．1D．3【答案】A.【解析】考点：1．韦达定理；2．两角和的正切公式．名师点睛：此题考查两角和的正切公式的整体思想，是方程的两个根，但不要求方程的两根分别是多少，而用韦达定理，整体求两根之和，两根之积，然后代入．【变式演练4】方程两根，且，则；【答案】【解析】试题分析：由已知可得，，因为，所以，所以EMBEDEquation.DSMT4或.但由于，所以，。由，则同号；由，则都小于0。所以，所以.学科网考点：两角和差公式以及正切函数的性质.方法三运用换元思想使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步运用换元法将未知向已知转化；第二步利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；第三步得出结论.例5若求的取值范围.【答案】.【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过[来源:Z|xx|k.Com]代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练4】若是三角形的最小内角，则函数的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由,令而,得；又,得，得，则,所以函数的最小值为.故选A.考点：正弦、余弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换.【高考再现】1.【2016高考新课标2理数】若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：，且，故选D.学科网考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．2.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是▲.【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识3．【2015高考重庆，理9】若，则（　　）A、1B、2C、3D、4【答案】C【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．4.【2015高考四川，理12】.【答案】.【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.[来源:学科网]5.【2015高考重庆，文6】若,则（）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】，故选A.【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.6.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.[来源:学科网]【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.学科网【反馈练习】1.【2015-2016学年天津市静海一中等六校高一上期末数学试卷，理14】已知,，那么=.【答案】.【解析】试题分析：考点：两角差的正切公式.2.【2015-2016学年江苏省如东高中高一下期中数学试卷，理15】已知，则的值是_________．【答案】3【解析】考点：两角和与差正弦公式3．【2015-2016学年浙江省慈溪中学高一4-6班上期中数学卷，理14】，是方程的两个根，且，，则．【答案】．【解析】试题分析：根据韦达定理可知，，，∴，，∴，，∴，∴．考点：1．韦达定理；2．三角恒等变形．4．【2014-2015学年江苏省扬州中学高二下学期质量检测数学试卷，文14】若，则的值为．【答案】【解析】考点：三角恒等变换．5.【2015-2016学年江西省抚州市高一上学期期末质量检测数学试卷，理9】已知，则的取值范围是（）．ABCD【答案】D．【解析】令，则，即，所以，即，故应选D．学科网考点：1、换元法；2.三角恒等变形.6.【2014-2015学年浙江省杭州第二中学高一下学期期中考试数学试卷，理14】已知：，，且，则=_______.【答案】【解析】试题分析：，EMBEDEquation.DSMT4考点：1.同角间的三角函数关系；2.两角和差的正余弦公式7.【2015届江苏省宿迁市剑桥国际学校高三上学期期中考试数学试卷，理14】设，且EMBEDEquation.DSMT4．则的值为．【答案】【解析】考点：三角恒等变形.8.【2013-2014学年湖南省五市十校高一下学期期中检测数学试卷，理14】已知是方程的两根，则．【答案】【解析】试题分析：∵是方程的两根∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=，则=．故答案为：-[来源:学科网ZXXK]考点：两角和与差的正切函数;根与系数的关系．9.【2015-2016学年江西省上高县二中高一上学期期末数学试卷，理18】关于的方程有两个相等的实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）关于的方程有两个相等的实数根，所以，则．因为，所以．即所求实数的取值范围为．（2）当时，则，[来源:学科网]平方得，∴，即．学科网考点：三角函数的化简求值．_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568017.unknown_1234568033.unknown_1234568049.unknown_1234568057.unknown_1234568065.unknown_1234568069.unknown_1234568073.unknown_1234568075.unknown_1234568077.unknown_1234568078.unknown_1234568079.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown