普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (理科) word解析

2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i【答案】D55(2i)5(2i)【解析】由(z-3)(2-i)=5，得z3332i35i，所以2i(2i)(2i)5z5i，选D.（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9【答案】C【解析】因为x,yA,所以xy2,1,0,1,2，即B{2,1,0,1,2},有5个元素，选C.1（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()x（A）-2（B）0（C）1（D）2【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以f(1)f(1)(11)2，选A.9（4）已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为3的正三角形，若P1114为底面ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()1115（A）（B）（C）（D）12346【答案】B【解析】取正三角形ABC的中心，连结OP,则PAO是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为3，所以33223AD3,AOAD1.三棱柱的体积为22332139(3)2AA,解得AA3，即OPAA3,所以221411OPtanPAO3，即PAO，选B.OA3（5）将函数y=sin（2x+）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的8一个可能取值为3（A）（B）（C）0（D）444【答案】B【解析】将函数y=sin（2x+）的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数8ysin[2(x)]sin(2x)，因为此时函数为偶函数，所以k,kZ，8442即k,kZ，所以选B.42xy20（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：x2y10，所表示的区域上一动点，则直3xy80线OM斜率的最小值为11（A）2（B）1（C）（D）32【答案】C【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的x2y10x3斜率最小。由得，即D(3,1),此时OM的3xy80y111斜率为，选C.33（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（A）充分而不必条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.（8）函数y=xcosx+sinx的图象大致为【答案】D【解析】函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当x时，f()0,排除A,选D.（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（A）2x+y-3=0（B）2x-y-3=0（C）4x-y-3=0（D）4x+y-3=0【答案】A【解析】由图象可知，A(1,1)是一个切点，所以代入选项知，B,D不成立，排除。又AB直线的斜率为负，所以排除C，选A.设切线的斜率为k，则切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243（B）252（C）261（D）279【答案】B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900。没有重复数字的三位数有C1A2648,所以99有重复数字的三位数的个数为900648=252，选B.1x2（11）抛物线C：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C：y21的右焦点的连线交C于第一象12p231限的点M.若C在点M处的切线平行于C的一条渐近线，则p=12332343A.B.C.D.16833【答案】D3p【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为yx。抛物线的焦点为F(0,),双曲线的右焦点为321x23133F(2,0).y'x，所以在M(x,0)处的切线斜率为，即x，所以xp，即2p02p3p0303ppp0p3p26243三点F(0,)，F(2,0)，M(p,)共线，所以，即p，选D.22360233p3xy212（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为zxyz9（A）0（B）1（C）（D）34【答案】B【解析】由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2。xyxy11所以1，当且仅当zx23xy4y2x4yx4y323yxyxx4yxy，即x2y时取等号此时z2y2，()1.yxzmax2122122121(1)(1)xyz2yyxyyxy2y1112y2y4()21，故选B.2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的n的值为【答案】3【解析】第一次循环，F123,F312,n2，此时107（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.9（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（A-B）的值.714解答：（1）由cosB=与余弦定理得，a2c24ac，99又a+c=6，解得ac342（2）又a=3,b=2，sinB与正弦定理可得，9221sinA,cosA，3310所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=227（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（Ⅰ）求证：AB//GH；（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值.解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ，所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为n(0,2,1)，144平面EFG的一个法向量为n(0,1,2)，可得cos,所以二面角D-GH-E的余弦值为255545（19）（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获12胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是.假设每局比赛结果互相独立.23（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.2821282114解答：（1）pC3()3，pC2()2，pC2()2()21332723333273433227（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0144167相应的概率依次为：,,,，所以EX=92727279（20）（本小题满分12分）设等差数列｛a｝的前n项和为S，且S=4S，a=2a+1nn422nn（1）求数列｛a｝的通项公式；na1（2）设数列｛b｝的前n项和T，且T+n=λ（λ为常数），令c=b，（n∈N•）.nnn2nn2n求数列｛c｝的前n项和R.nn解答：（1）由S=4S，a=2a+1，｛a｝为等差数列，可得，a1,d2422nnn1所以a2n1na12nn2（2）由T+n=λ可得，b1，T+=λ两式相减可得，当n2时，b，n2n1n-12nn2n1n143n1所以当0时，c=b=，错位相减法可得，R=n2n4n1n994n11n153n1当0时，c=b=，可得R=n2nn1nn2994n14n1（21）（本小题满分13分）x设函数f(x)c(e2.71828是自然对数的底数，cR).e2x（1）求f(x)的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|f(x)根的个数.12x1解答：（1）f'(x)，令f'(x)0得，x，e2x21当x(,),f'(x)0,函数单调递增；211x(，),f'(x)0,函数单调递减；所以当x时，函数取得最的最大值221f(x)cmax2e1（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到c，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时2e由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。1故令f(1)=0得，c，e21所以当c时，方程有两个根；e21当c时，方程有一两个根；e21当c时，方程有无两个根.e2（22）（本小题满分13分）x2y23椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F、F,离心率为，过F且垂直a2b21221于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF、PF,设∠FPF的角平分线1212PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共11点，设直线PF,PF的斜率分别为k，k，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.1212kkkk12c32b2解答：（1）由已知得，，1,a2b2c2，解得a24,b21a2ax2所以椭圆方程为：y214PFPMPFPMPFPMPFPM（2）由题意可知：1=2,1=2,设P(x,y)其中x24，将|PF||PM||PF||PM||PF||PF|0001212向量坐标代入并化简得：m（4x216)3x312x，因为x24，0000333所以mx，而x(2,2)，所以m(,)40022（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：xxxyy110yy1，所以k0，而k0,k0，代入中得：404y1x32x3kkkk01211x3x34(00)8为定值.kkkkxx1200