数学分析之数项级数

Chapt12数项级数级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.教学目标：1.熟练掌握级数的收敛性；2.熟练掌握正项级数收敛的判别；3.掌握一般项级数收敛的判别.§1级数的收敛性个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数相加”的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式中，如果将其写作结果肯定是0，而写作常数项级数的概念1级数的定义(常数项)无穷级数部分和数列级数的部分和一般项2级数的收敛与发散余项上述定义很自然，和人们的直观认识是一致的．它的不足之处是一些很简单的级数，在此意义下却没有和.例如级数无穷级数收敛性举例：1904年，瑞典数学家科赫（Koch）做出一雪花曲线.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到“Koch雪花曲线”．观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推周长为面积为于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．“Koch雪花曲线”的性质：面积有限而周长无限.不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一种“病态”曲线，科学家们发现，这类曲线能应用于研究自然界的许多现象，例如地球大陆的海岸线等.这门新兴的数学学科称为分形．解收敛发散级数发散级数发散综上例2讨论数项级数的收敛性.解级数(*)的第n个部分和为解注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它这个数项级数就是Cauchy收敛准则是一个普遍的原则,它适用于一切级数,而不考虑某些级数的特殊规律.正因为如此,用它去判别某些具体级数的敛散性并不方便.因此,我们必须针对某些级数的特殊规律,给出相应的判别法.证由于显示.三、收敛级数的基本性质结论级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论收敛级数可以逐项相加与逐项相减.级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.定理12.3去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.证类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.第n个余项(简称余项),它表示以部分和Sn代替S时所产生的误差.定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号时也收敛.例如性质4（级数收敛的必要条件）证级数收敛注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;2.必要但不充分.讨论这是不可能的8项4项2项2项由性质4推论,调和级数发散.同时还可以做以下证明：解因为所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.四、小结 常数项级数、收敛、发散的基本概念3.级数收敛的判别方法2.收敛级数的性质练习题作业习题1、4、5、7Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.§2正项级数收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).这就证明了定理的结论.仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收敛性判别法则.级数,如果存在某正数N,对一切n>N都有则证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.由(1)式可得,对一切正整数n,都有(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.正项级数,若则n>N时,恒有或(ii)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若n>N时,都有散.证比较审敛法的不便:须有参考级数.重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.二、比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,但在使用时只要根据级数一般项本身的特征就能作出判断.把前n-1个不等式按项相乘后,得到数，且则N,当n>N时,有是收敛的.例6级数根据推论1，级数收敛.解因为根据推论1,当0<x<1时级数收敛;当x>1时级数发发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.若(7)中q=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散于情形(ii),由(10)式可得则于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.数,且来判断.解由于所以级数是收敛的.若在(11)式中l=1,则根式判别法仍无法对级数的敛发散的.解比值审敛法失效,改用比较审敛法.例10判别下列级数的敛散性：由比式判别法，原级数为收敛.由根式判别法,原级数为收敛.不采用根式法.三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.收敛或同时发散.f在[1,A]上可积,于是依次相加可得若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数m,有一正整数m(>1)有因为f(x)为非负减函数,故对任何正数A,都有发散的.知它也是发散的.解由图可知例12讨论下列级数的敛散性.积分判别法特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.思考题解答反之不成立.例如：练习题练习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 作业习题1、2、4、6、8、9Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.§3一般项级数一、交错级数若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足:则级数(1)收敛.证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:在惟一的实数S,使得解原级数收敛.收敛,则称原级数(5)为绝对收敛级数.各项绝对值组成的级数定理12.12绝对收敛的级数一定收敛.证由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对二、绝对收敛级数及其性质若级数由于因此由柯西准则知级数(5)也收敛.对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行考察.整数r,有绝对收敛级数和条件收敛级数有十分显著的差别.有限个数相加时,被加项可以任意交换次序而不影响其和.无限多个数相加时,情况就不同了.当然,如果只交换级数中有限多项的次序,那么既不改变级数的收敛性,也不会改变它的和.但若交换级数中无穷多项的次序,在级数是条件收敛的情况下,就有可能改变级数的和,甚至使其发散.而绝对收敛级数则可以任意改变其项的次序而不影响级数的绝对收敛性,也不改变其和.的各项绝对值所组成的级数是例2级数作定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.1.级数的重排我们把正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射第一步设级数(5)是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.用表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)*证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有理成立.第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论,可得要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变,从而有敛的正项级数.因此注定理12.13只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后得到的新级数,不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的和.更进一步,条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于任何事先指定的数.例如级数(2)是条件收敛的,设其和为A,即将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:也可以重排(2)使其发散.2.级数的乘积积,即那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下设有收敛级数表:用的有按正方形顺序或按对角线顺序.定理12.14(柯西定理)若级数(11)、(12)都绝对收敛,依次相加,于是分别有和也绝对收敛,且其和等于AB.则必有由于绝对收敛级数具有可重排的性质,即级数的和与采用哪一种排列的次序无关,为此,采用正方形顺序并对各被加项取括号,即将每一括号作为一项,得到新级数从而到解故由定理知原级数绝对收敛.三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.引理(分部求和公式,也称阿贝尔变换)则有如下分部求和公式成立:推论(阿贝尔引理)若证由(i)知都是同号的.于是由分部求和公式及条件(ii)推得现在讨论形如级数的收敛性的判别法.任一正整数p,都有(阿贝尔引理条件(ii)).应用(19)式得到这就说明级数(20)收敛.定理12.16(狄利克雷判别法)若数列{an}单调递减,数(20)收敛.例5若数列{an}具有性质:都收敛.解因为作为例3的特殊情形,得到级数所以级数为条件收敛.作业习题1、2、3Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.Thisisaplaceholderforthedemo.Itremindsyouwhentoswitchovertothedemoandittellstheaudiencewhyyouaregoingtoshowthemwhatyouareshowingbothbeforethedemoandwhenyouswitchbacktotheslides.