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两圆方程相减的几何意义

两圆方程相减的几何意义方程x2y2DxEyF0与x2y2DxEyF0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆⊙Ox2y2DxEyF0和⊙O：11112x2y2DxEyF0的方程相减所得到的直线l：222DDxEEyFF0表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这121212个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两...

方程x2y2DxEyF0与x2y2DxEyF0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆⊙Ox2y2DxEyF0和⊙O：11112x2y2DxEyF0的方程相减所得到的直线l：222DDxEEyFF0表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这121212个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5种位置关系进行研究。一．两圆相交设Px,y、Px,y是两圆的交点，则有x2y2DxEyF0和1112221111111x2y2DxEyF0成立，即Px,y、Px,y满足方程2212121111222(x2y2DxEyF)(x2y2DxEyF)0222111即DDxEEyFF0。所以直线l表示两圆相交弦所在直线。121212二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：DDxEEyFF0表示两外切圆的过同一切121212点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：DDxEEyFF0表示两内1212122切圆的公切线。例如，圆O：xay2a2与圆O：xb2y2b2相切12于原点，那么两圆相减得：x0，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。D2E24FD2E24F设圆O，圆O的半径分别为r,r，则r2111，r2222。12121424DD2EE2由两圆外切得：1212rr，化简得：222212DDEE4rrDDEE2FF即：1212FF2rr又12121212221212D2E24FD2E24FD2E2r2111，r2222，即：112r22F，14242211D2E2222r22F。利用直线Ax+By+C=0分线段Ax,yBx,y的比为22221122AxByC11，那么直线l分OO的比为AxByC1222DEDD1EE1FF12212212DEDD2EE2FF12212212D2E2DDEE111212FF2222122r22FFF2rrFF=11121212D2E2DDEE2r22FFF2rrFF221212FF22121212222212r=1。又kk1，所以OO⊥l（当直线OO与直线l的斜率不存在时也成立）；OOl1212r122且OOrr，所以点O到直线l的距离为r，点O到直线l的距离为r。所以直线12121122l与两圆相切。三．两圆相离这里首先得了解式子x2y2DxEyF的含义。因为圆的方程有两种表示，即x2y2DxEyFxx2yy2r20。当点P（x，y）在圆外时，式0子x2y2DxEyFxx2yy2r2表示点P到圆的切线长。因而，00对直线方程(x2y2DxEyF)(x2y2DxEyF)0可以变形为：222111x2y2DxEyFx2y2DxEyF，即点P到两圆的切线长相等。222111因此，直线l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线l就是两圆的对称轴。四．两圆内含同“三”易知，直线l上的点到两圆的切线长相等。（注：以上两圆非同心圆）五．范例例：已知圆O与圆O：x2y21外切于点O，且两圆的过点O的公切线为yxb，12已知圆O的圆心落在直线上xy4，求圆O的方程。11解：易得b2。设圆O：x2y21xy20，即：1x2y2xy210，圆心坐标,落在直线xy4，解得4。22所以圆O的方程为x2y24x4y4210。1最后，利用《几何画版》动画演示圆O，圆O，直线l的位置关系。12

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