专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何 十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何2019年1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．2.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.3.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.6.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.7.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.8.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.9.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.10.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.11.（全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．12.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.13.(2019天津理17)如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.2010-2018年解答题1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．(1)证明：平面EMBEDEquation.DSMT4平面；(2)求与平面所成角的正弦值．2．（2018北京）如图，在三棱柱中，EMBEDEquation.DSMT4平面，，，，分别为，，，的中点，，．(1)求证：⊥平面；(2)求二面角的余弦值；(3)证明：直线与平面相交．3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：EMBEDEquation.DSMT4平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．(1)证明：平面EMBEDEquation.DSMT4平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．5．(2018天津)如图，且，，且，且，EMBEDEquation.DSMT4平面，．(1)若为的中点，为的中点，求证：EMBEDEquation.DSMT4平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．6．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．7．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，∥，且．(1)证明：平面⊥平面；(2)若， ，求二面角的余弦值．8．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面三角形，，，是的中点．(1)证明：直线∥QUOTE平面；(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值9．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面⊥平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．10．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．11．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．（Ⅰ）求证：为的中点；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．12．（2016年北京）如图，在四棱锥中，平面EMBEDEquation.DSMT4平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.13．（2016年山东）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.（I）已知,分别为，的中点，求证：∥平面；（II）已知===，．求二面角的余弦值.14．（2016年天津）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面⊥平面，点为的中点，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为线段上的点，且=，求直线和平面所成角的正弦值.15．（2015新课标Ⅰ）如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．（Ⅰ）证明：平面⊥平面；（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．16．（2015福建）如图，在几何体中，四边形是矩形，EMBEDEquation.DSMT4平面，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，，，分别是线段，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17．(2015山东)如图，在三棱台中，，分别为的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若⊥平面，⊥，=，∠=，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．18．（2015陕西）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若平面EMBEDEquation.DSMT4平面，求平面与平面夹角的余弦值．19．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．20．（2014山东）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．21．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值．22．(2014新课标1)如图三棱锥中，侧面为菱形，．(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．23．（2014福建）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT平面，如图．（Ⅰ）求证：EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT；（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．24．（2014浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．25．（2014广东）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求二面角的余弦值．26．(2014湖南)如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形均为矩形．(1)证明：(2)若的余弦值．27．（2014陕西）四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点．（Ⅰ）证明：四边形是矩形；（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值．28．（2013新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，，，=60°．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值．29．（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，分别是的中点，（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．30．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥,其中.（Ⅰ）证明:平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.31．(2013陕西)如图,四棱柱的底面是正方形，为底面中心,⊥平面，.（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小．32．（2013湖北）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点．（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．33．(2013天津)如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为棱的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．34．（2012新课标）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．35．（2012福建）如图，在长方体中，为中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点,使得∥平面？若存在，求的行；若存在，求的长；若不存在，说明理由．[（Ⅲ）若二面角的大小为30°，求的长．36．（2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．37．（2011新课标）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．38．（2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，都是正三角形．（Ⅰ）证明直线；（Ⅱ）求棱锥的体积．39．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面EMBEDEquation.DSMT4平面，，=60°，、分别是、的中点．求证：（Ⅰ）直线EMBEDEquation.DSMT4平面；（Ⅱ）平面EMBEDEquation.DSMT4平面．40．(2010广东)如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．41．（2010新课标）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高，为中点（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．42．（2010天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,．（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）证明EMBEDEquation.DSMT4平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．�EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3����EMBEDEquation.3���_1554811679.unknown_1589954683.unknown_1590171851.unknown_1590233248.unknown_1590233290.unknown_1590233397.unknown_1590520358.unknown_1591682670.unknown_1591682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