柱体和椎体的体积

柱体和椎体的体积襄樊市第二中学李娜引入这么宏伟壮观的金字塔呀！——你们能求出它的体积吗？让我们一起来学习今天的内容吧！这不是不复存在的世贸大厦吗？——这两个棱柱的体积怎么求？祖暅原理柱体的体积公式锥体的体积公式随堂练习小结今天内容S1祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积S1=S2，那么这两个几何体的体积一定相等。祖暅S2αβ我国古代著名数学家...

襄樊市第二中学李娜引入这么宏伟壮观的金字塔呀！——你们能求出它的体积吗？让我们一起来学习今天的内容吧！这不是不复存在的世贸大厦吗？——这两个棱柱的体积怎么求？祖暅原理柱体的体积公式锥体的体积公式随堂练习小结今天内容S1祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积S1=S2，那么这两个几何体的体积一定相等。祖暅S2αβ我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲知道17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年~1647年）提出上述结论（429年~500年）取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。例如：柱体的体积公式设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（右图）其中S是柱体的底面积，h是柱体的高sss根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体=S·h解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.V正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3)V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3)毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3)∴5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)答:这堆毛坯约有250个。ONP例1：有一堆相同规格的六角螺毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3)锥体的体积公式设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一个平面α内。α为了求锥体的体积公式,我们先研究等底等高的任意两个锥体体积之间的关系!根据祖暅原理，可推导出定理。等底面积等高的两个锥体的体积相等。S1S2S1=S2定理：V三棱锥＝⅓·S·h设三棱柱ABC-A´B´C´的底面积,即△ABC的面积为S,高即点A´到平面ABC的距离为h，则它的体积为S·h。沿平面A´BC和平面A´B´C，将这个三棱柱分割为3个三棱锥。其中三棱锥1、2的底面积相等（SΔA´AB=SΔA´B´B），高也相等（点C到AB´B´A的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面（SΔB´BC=SΔA´B´B）和相等的高（点A到平面BCC´B´）的距离。因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是AA´C´BC´B´对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积。ShShV三棱锥=⅓·S·hV圆锥=⅓·S·h如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=⅓·S·h定理：例2如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD,侧面ABC与底面所成的角为θ.求证:V三棱锥=⅓SΔABC·ADcosθ.证明:在平面BCD内，作DE⊥BC,垂足为E,连结AE,DE就是AE在平面BCD上的射影.根据三垂线定理，AE⊥BC.∴∠AED=θV三棱锥=⅓SΔABC·AD=⅓×½×BC.ED.AD=⅓×½×BC.AE.cosθ.AD=⅓SΔABCADcosθADCEBθ随堂练习：1、选择：三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，且ΔACD和ΔBCD都是边长为a的正三角形，那么它的体积是（）a3/83a3/8a3/16a3/42、判断：底面是梯形的直棱柱的体积，等于两个平行侧面面积的和与这两个侧面间距离的积的一半。ABCD√ⅹA答案：正确。小结知识点：1、理解掌握和。2、了解例题中有关的面积与其投影面积关系方法点和思想点：1、研究三棱柱与三棱锥体积公式关系时所用的以及其反面的方法。2、研究过程中体现出从，再从的思想方法。教育点：实际问题提醒把我们应注意联系实际生活。锥体体积公式柱体体积公式割补一般到特殊特殊到一般作业：2、三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m2，4m2和3m2。求它的体积。3、圆锥的体积是22cm3,轴和母线所成的角是48˚15´，求它的高是多少？1、三棱锥的底面是ΔABC，AB=13cm，BC=5cm，CA=12cm,侧棱AA`的长是20cm。如果侧棱AA`与底面所成的角是60˚，求这个三棱柱的体积。

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