2017福建中考数学试卷解析完整版

2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页12017年福建省中考数学试卷满分：150分版本：人教（北师，华师大）由宁德屏南张小锋，福安郑惠，福鼎雷少华，方光德，金良快共五位老师解析.一、选择题（每小题4分，共10小题，合计40分）1、(2017福建，题号1，分值4)-3的相反数是（）A.-3B.13C.13D.3【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】D．解：-3的相反数是：3，故选D．【关键词】相反数．2.（2017福建，题号2，分值4）如图，由四个正方体组成的几何题的左视图是(A)(B)(C)(D)【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【答案】A．解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层左边有一个正方形，故选A【关键词】三视图．3.（2017福建，题号3，分值4）用科学记数法表示136000，其结果是（）A.60.13610B.51.3610C.313610D.61.3610【分析】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中110a，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【答案】B．解：51360001.3610，故选：B．【关键词】科学记数法4.（2017福建，题号4，分值4）化简22x的结果是（）A.4xB.22xC.24xD.4x【分析】根据积的乘方等于乘方的积求出式子的值，再判断即可．【答案】C．解：2224xx，故选C．【关键词】积的乘方运算．5.（2017福建，题号5，分值4）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页2C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形【分析】掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键．依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义判断即可．【答案】A．解：圆、线段、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，而正三角形是轴对称图形，但不是是中心对称图形，故选：A．【关键词】轴对称图形，中心对称图形，命题6.（2017福建，题号6，分值4）不等式组：0302xx的解集是A.32xB.32xC.2xD.3x【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【答案】A解0302xx解不等式①，得：2x，解不等式②，得3x，由①②可得，32x，故原不等式组的解集是32x，故选A．【关键词】解一元一次不等式组．7.（2017福建，题号7，分值4）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图，这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是A.10，15B.13，15C.13，20D.15，15【分析】根据众数和中位数定义确定众数和中位数．【答案】D解：把数据10、13、15、15、20从小到大排列可发现15位于最中间，所以15是这组数据的中位数；数据15出现了2次其余的都是一次，最所以15是这组数据的众数，故选D．【关键词】中位数和众数．8.（2017福建，题号8，分值4）如图，AB是O的直径，C，D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中，一定与ACD互余的角是A.ADCB.ABDC.BACD.BAD【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠B+∠BAD=90°，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠B，可得答案．【答案】D解；如图，∵AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°ACBOD第8题2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页3∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠BAD=90°即∠ACD与∠BAD互余，故选D．【关键词】圆周角定理互余9.（2017福建，题号9，分值4）若直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m，21n），且02k，则n的值可以是A.3B.4C.5D.6【分析】根据条件可知：直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m，21n）；将此两点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、n的关系式；然后将k、n的关系式代入02k中进行求解可得n的取值范围，再做判断．【答案】C解：∵直线1ykxk经过点（m，3n）和（1m，21n），∴312111nmkknmkk．消去m得：4kn把4kn代入02k得：46n,故选C．【关键词】一次函数与一元一次不等式．10.（2017福建，题号10，分值4）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段AB和点P，则点P所在的单位正方形区域是A.1区B.2区C.3区D.4区【分析】在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。此题没有给出旋转中心，但给出了旋转前后的对应线段和对应点，根据对应点到旋转中心的距离相等可知旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上；因此先确定旋转中心，旋转中心确定则旋转方向、旋转角也确定，从而找到点P旋转后的位置，问题得解．【答案】D解如图，①连结'AA、'BB；②分别作'AA、'BB的中垂线交于点O；③连结,',AOAOPO，则∠AOA’为旋转的角度；④分别以O、A’为圆心，OP、AP长为半径画圆；图中交点P’即为所求，故选D.【关键词】旋转作图．二、填空题：（每小题4分，共6小题，合计24分）11.（2017福建，题号11，分值4）计算：023=_________【分析】负数的绝对值是它的相反数，非零数的零指数幂等于1，即)0(10aa.2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页4【答案】1.解：原式=2-1=1.【关键词】绝对值和零指数幂运算.12.（2017福建，题号12，分值4）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连结DE，若DE=3，则线段BC的长度等于_______.【分析】∵D，E分别是边AB，AC，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边，并等于第三边的一半，而BC已知，从而DE等于BC的一半，问题得解.【答案】6.解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线∴362121BCDE.【关键词】三角形中位线.13.（2017福建，题号13，分值4）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球.现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是13，那么添加的球是________.【分析】∵D，E分别是边AB，AC，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质：三角形中位线平行于第三边，并等于第三边的一半，而BC已知，从而DE等于BC的一半，问题得解.【答案】红球.解：因为概率都是13，所以每种颜色的球数量相同，所以应该补红球.【关键词】概率计算.14.（2017福建，题号14，分值4）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧.点A，B表示的数分别是1，3，如图所示.若BC=2AB，则点C表示的数是__________.【分析】由图可知AB=2，所以BC=4，由于已知点C在B的右侧，故只有一个结果.【答案】7解：∵AB=2，BC=2AB∴BC=4∵A，B，C从左到右顺次排列，OA=1∴OC=7【关键词】数轴上的两点距离.15.（2017福建，题号15，分值4）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所以，则∠AOB等于_________度.【分析】两个都是正五边形，所以，108180180)35(BODAOC，∠1=∠2=72°，又OC=OD，根据三角形内角和为180°得∠COD=36°，可得∠AOB=108°.【答案】108，解：∵图中五边形是两个完全相同的正五边形∴108180180)35(BODAOC，∠1=∠2=72°又∵OC=OD∴36722180COD∴108361082360AOB2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页5【关键词】正多边形内角和，等腰三角形16.（2017福建，题号16，分值4）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数1yx的图象上，且点A的横坐标为2，则矩形ABCD的面积为_________【分析】根据题意，画出草图，由点A的横坐标为2，可以求得其纵坐标为12，又由于反比例函数图象关于直线yx对称，因此可确定点D的坐标为1(,2)2；利用矩形的中心对称性，只要求得△AOD的面积，即可求得矩形的面积，因此，构造出如图的正方形，根据k的几何意义可知，两个直角三角形的面积都为12，1339==2228ADES△，再由面积和差关系求得1133154222228AODS△，从而得到矩形ABCD的面积=1515482.【答案】152解：如图，∵A的横坐标为2，把2x代入1yx∴A的纵坐标为12，∵四边形ABCD是矩形，且顶点在双曲线上，又1yx的图象关于直线yx对称∴点D的坐标为1(,2)2，分别过点A、D作垂直于x轴、y轴的直线，交于点E，则E的坐标为(2,2)，∴1133154222228AODS△则矩形ABCD的面积为152.【关键词】反比例函数，矩形综合三、解答题：本大题共9个小题，满分86分．17.（2017福建，题号17，分值8分）先化简，再求值：1)11(2aaa，其中12a【关键词】平方差公式，分式化简，最简二次根式.【分析】方法一：（1）可先进行通分，计算括号里：aaa111；（2）对12aa中的2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页6分母部分利用平方差公式进行分解，得：)1)(1(12aaaaa.（3）对化简后的两个式子相乘并进行约分，得到：11)1)(1(1aaaaaa；4.把12a代入最后化简结果进行求值，并最后结果要进行分母有理化，即：22211121.方法二：可以采用乘法分配律进行求解.【答案】方法一：（1）可先进行通分，计算括号里：aaa111；（2）对12aa中的分母部分利用平方差公式进行分解，得：)1)(1(12aaaaa.（3）对化简后的两个式子相乘并进行约分，得到：11)1)(1(1aaaaaa；4.把12a代入最后化简结果进行求值，并最后结果要进行分母有理化，即：22211121.方法二：可以采用乘法分配律进行求解.解法一：原式=)1)(1(1aaaaa11a当12a时，原式=22211121解法二：原式=11122aaaaa=11122aaa=112aa11a当12a时，原式=2221112118.（2017福建，题号18，分值8分）如图，点B，E，C，F再一条直线上，AB=DE，AC=DF，2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页7BE=CF，求证：∠A=∠D.【关键词】三角形全等判定，三角形全等性质.【分析】从已知可得△ABC和△DEF已经有两条边分别相等，即AB=DE，AC=DF，要求证夹角相等，可证△ABC≌△DEF.由已知证三角形全等还缺一条边，从图形观察其中有公共线段EC，由BE+EC=CF+EC，得到第三边BC=EF，则可证得△ABC≌△DEF.【答案】证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC∴BC=EF在△ABC和△DEF中，DFACDEABEFBC∴△ABC≌△DEF∴∠A=∠D19.（2017福建，题号19，分值8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP=AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【关键词】尺规作图“作已知角的角平分线”，角平分线性质，“等角的余角相等”.【分析】（1）要证AP=AQ，考虑用“等角对等边”，即要证∠APQ=∠AQP；（2）由对顶角相等，可得∠APQ=∠BPD，进而转化为证∠AQP=∠BPD；（3）由∠BAC=90°，则∠ABQ+∠AQP=90°，由∠ADC=90°，则∠PBD+∠BPD=90°；（4）由角平分线性质可得∠ABQ=∠PBD，进而证明∠AQP=∠BPD；（5）等量代换可证得∠APQ=∠AQP，从而得到AP=AQ。【答案】∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠PBD+∠BPD=90°2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页8又∵∠BAC=90°∴∠ABQ+∠AQP=90°∵∠ABQ=∠PBD∴∠AQP=∠BPD又∵∠APQ=∠BPD∴∠APQ=∠AQP∴AP=AQ20．（2017福建，题号：20，分值：8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解.【关键词】二元一次方程组或一元一次方程【分析】：同一笼里的鸡和兔共有35个头，94条腿，这里有两个等量关系，所以本题可以通过列方程（组）进行求解。【答案】法一：解：设鸡有x只，兔有y只．依题意得.9442,35yxyx解得.12,23yx答：鸡有23只，兔有12只.法二：解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只．依题意得94)35(42xx解得：x=23，则35-x=12答：鸡有23只，兔有12只.21．（2017福建，题号：21，分值：8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，45CAD.（1）若4AB，求CD的长；（2）若BCAD，ADAP，求证：PD是⊙O的切线【关键词】圆周角定理，圆弧长，切线BADPCO2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页9【分析】：（1）要求CD的长，根据弧长的计算公式，就要知道弧所对圆心角的度数与半径的长，所以连结OC，OD，利用圆周角定理求出COD的度数；（2）要证明PD是⊙O的切线，因为PD与⊙O有公共点，所以只要证明90ODP即可。根据BCAD，可得弧所对的圆心角相等，求出DOA的度数，再利用等腰三角形与三角形外角的性质，可求得ODA与ADP的度数。【答案】解：（1）连结OC，OD．∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°．∵AB是⊙O的直径，AB=4，∴OC=2．∴CD的长=180290．（2）∵BCAD，∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA=45°．∵OA=OD，∴5.67245180ODA．又∵∠CAD=45°，APAD，∴∠ADP=22.5°．∴∠ODP=67.5°+22.5°=90°．又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．22．（2017福建，题号：22，分值：10分）小明在某次作业中得到如下结果：2222sin22sin680.370.931.00182222sin29sin610.480.870.98732222sin37sin530.600.801.0000222222sin45sin45122据此，小明猜想：对于任意锐角，均有22sinsin901.（1）当时，验证22sinsin901是否成立；（2）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.【关键词】三角函数正弦2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页10【分析】（1）把=30°代入22sinsin901计算即可；（2）这是一道考查锐角三角函数概念的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ，要证明22sinsin901是否成立，只要构造一个直角三角形，利用正弦的概念，把sin与sin(90)转化为直角三角形边长的比，结合勾股定理就可得证。【答案】解：（1）当=30°时，222sinsin90sin30sin(9030)=222321=4341=1所以22sinsin901成立；（2）小明的猜想成立。证明：如图，在△ABC中，∠C=90°．设∠C=，则∠B=90°－．2222sinsin90BCACABAB=222ABACBC=22ABAB=1所以22sinsin901成立．23.（2017福建，题号：22，分值：10分）自2016年国庆后，许多高校均投放使用手机就可随取随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次减少0.1元，第6次开始，当次用车免费.具体收费标准如下：使用次数012345(含5次以上)累计车费00.50.9ab1.5同时，就此收费 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，BAC2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页11得到如下数据：使用次数012345人数51510302515(Ⅰ)写出a、b的值；(Ⅱ)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由.【关键词】统计，加权平均数，利润【分析】中档题，考查统计知识，(1)题对学生收集与处理数据的要求较高，在表1中的字母的值，要在对题意清晰解读之后，结合“累计车费”的理解才能明确它们的值；(2)题关键在于统计量的选择，很多学生受经验的影响，会选择不和题意的统计量来说明，这里考查了加权平均数的应用。【答案】解：(Ⅰ)a=1.2，b=1.4；(Ⅱ)根据调查意愿结果，该校师生每人每次使用共享单车的平均费用为：1(050.5150.9101.2301.4251.515)100=1.1(元)则该校5000师生使用共享单车的总营业额为：50001.1=5500(元)因为5500<5800所以，该运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.24、（2017福建，题号：22，分值：12分）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，P，E分别为线段AC，BC上的点，四边形PEFD是矩形，连接CF.（1）当△PCD为等腰三角形时，求AP的长.（2）当AP=2,求线段CF的长；【关键词】矩形性质，等腰三角形分类讨论，相似三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【分析】（1）等腰三角形的分类问题，先看清条件再采用对应的策略，本题是已知一条线段（两个定点）和一个角度，再找一个点（定线上的点）成等腰三角形问题，那么所在的点必在已知线段的垂直平分线或以定点为圆心，以已知线段长为半径的圆上，当具体计算可以采用等边对等角，勾股定理或者相似解决。本题是两个矩形共顶点，存在同角的余角相等，再找一个条件证明△APD与△CFD相似，两个思路，证角等或证两夹边对应成比例。法一：证角等，欲证∠PAD=∠FCD，发现∠PAD与∠PCD互余，所以需要证明∠FCD与∠PCD互余，需要证明FC垂直AC，依托矩形性质，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到PFEDOC2121，∴2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页12OC=OP=OF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理（需说理），得到FC垂直AC，再由同角的余角相等，再利用三角形相似求解。法二：利用捆绑旋转（P是主动点，F是从动点），先证明动态矩形长宽比不变，构造一线三直角，得到MDPNPDPE，这里可以将利用矩形对边相等，将相似比转化为三角比ACBCNPNMDPNPDPEtan，从而得到43DFPDPEPDBCAB当然也可以根据确定思想，P定则F定，设AP=x，利用相似及勾股定理，用含x的式子表示出相关线段的长再求比值，或者直接由AP=2直接求出相关线段的长度，直接求比值，只是计算量会较大。【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，∠ADC=90°∴DC=AB=6，∴1022DCADAC要使△PCD为等腰三角形，有如下三种情况：①如图1，当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4②如图2，法一：当PD=PC时，∴∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA∴PD=PA∴PA=PC，∴52ACAP法二：如图2，当PD=PC时∴P在CD的垂直平分线上，作PH⊥CD.∵AD⊥CD.∴AD∥PH.∴21CDDHACAP.∴52ACAP.③如图3，当PD=CD时，过D作DQ⊥AC于Q点，则PQ=CQ.∵DQACCDADSADC2121△，∴524ACCDADDQ.∴51822CQDCCQ.∴5362CQPC.如图1如图3如图22017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页13∴514PCACAP.法二：518536DCQCOSCDCQ，下同.综上所述，若△PCD为等腰三角形，AP=4或AP=5或514AP（2）法一：标答：连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC∵四边形ABCD和PEFD都是矩形.∴∠ADC=∠PDF=90°即∠ADC+∠PDC=∠PDC+∠CDF=90°，∴∠ADP=∠CDF∵∠BCD=90°，OE=OD，∴EDOC21在矩形PEFD中，PF=DE，∴PFOC21∵PFOFOP21∴OC=OP=OF∴∠OCF=∠CFC,∠OCP=∠CPC,又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD∴△ADP∽△CDF,43ADCDAPCF∵2AP∴423CF法二：过P点作MN⊥AB交AB于M点，交BC于N点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴MN⊥BC∴∠PMD=∠PNE=90°，则四边形MNCD为矩形又∵四边形PDFE是矩形∴∠DEF=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∴△MPD∽△NEP∴MDPNPDPE∵MD=NC2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页14∴ACBCNPNMDPNPDPEtan（相似比转化为三角比）43tanADCDBCABACB∴DFPDPEPDBCAB∵四边形ABCD和PEFD都是矩形.∴∠ADC=∠PDF=90°即∠ADC+∠PDC=∠PDC+∠CDF=90°，∴∠ADP=∠CDF∴△ADP∽△CDF，43APCF∵2AP∴423CF法三：过P点作MN⊥AB交AB于M点，交BC于N点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴MN⊥BC∴∠PMD=∠PNE=90°，则四边形MNCD为矩形又∵四边形PDFE是矩形∴∠DEF=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∴△MPD∽△NEP∴MDPNPDPE∵四边形ABCD和PEFD都是矩形.∴∠ADC=∠PDF=90°即∠ADC+∠PDC=∠PDC+∠CDF=90°，∴∠ADP=∠CDF53sinMAP，54cosMAP设xAP5,则xMAPAPMP3sin，xMAPCOSAPAM4MD=8-4x，PN=6-3x∴)2(43)2(4)2(34836xxxxxMDPN∴ADCDMDPNPDPE43下同。法四：也可以将2AP代入，直接求MD和PN的长度，再求比值。2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页15法五：借助四点共圆及五点共圆思想，发现FC⊥AC，用初中方法来书写。解：连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC∵四边形PEFD是矩形，∴OD=OF=OE=OP∴PDEF四点共圆，都在以点O为圆心，DE为直径的圆上又∵四边形ABCD是矩形∴∠ECD=90°又∵O为ED中点，∴OC=OE=OD∴点C也在以点O为圆心，DE为直径的圆上又PF为直径∴∠PCF=90°∴FC⊥AC下同法六：（思路：如图辅助线，思考，图形确定，可以一个参数表示个线段，若最终能消去，知道图形中存在不变关系，或者说定值问题，若不能消去，可讨论数量关系，或者最值可能性）解：∵四边形PDFE是矩形∴∠DEF=90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∴△MPD∽△NEP∵四边形ABCD是矩形.∴∠ADC=90°，AC=1053sinMAP，54cosMAP设xAP5,则xMAPAPMP3sin，xMAPCOSAPAM4MD=8-4x，PN=6-3x∴)2(43)2(4)2(34836xxxxxMDPN则43MPNE，∴xMPNE4943再证得：△PNE≌△DGF∴xNEGF49，xMPGC3∴41522xGFCGCF又∵25xAP∴435415xxAPCF2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页16∴423CF25.（2017福建，题号：25，分值：14分）已知直线2yxm与抛物线2yaxaxb有一个公共点M(1，0)，且ab.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.(i)若112a，求线段MN长度的取值范围；(ii)求△QMN面积的最小值.【关键词】二次函数综合题，①确定抛物线顶点坐标；②直线与抛物线交点个数的确定方法——一元二次方程根的判别式运用；③勾股定理应用；④坐标系内三角形面积的确定等.【分析】(1)由于抛物线过定点M(1,0)，2yaxaxb因此可由已知点坐标代入后，求得2ba，然后把22yaxaxa配方成顶点式22192()24ayaxaxaax，可得顶点Q的坐标19(,)24a；或者先确定对称轴方程12x，再代入22yaxaxa后求得顶点纵坐标为94a，从而得Q19(,)24a；(2)说明的是直线与抛物线的交点情况，因此先由直线2yxm过点M(1,0)，代入求得2m，再联立抛物线解析式后得到一元二次方程2(2)220axaxa，则根的判别式222(2)4(22)9124(32)aaaaaa，关注到已知条件ab，且2ba，可确定得出0a，因此可得0，即直线与抛物线有两个交点.(3)(i)由于抛物线解析式待定，因此可以由(2)中一元二次方程求得点N的坐标(含a的代数式表示)，这里由于教材版本不同，可以选用的方法多样，可以通过配方法得到221113()()22xaa，也可以用因式分解法得到(1)(22)0xaxa，还可以利用“根与系数的关系”得到221axa，从而确定得到222xa，再把222xa代入到22yx，得点N24(2,6)aa，画出草图，由图可发现，利用勾股定理可确定线段MN为22224[(2)1](6)MNaa222060134520()2aaa，由112a，利用反比例函数性质可得121a，代入端点数值后计算得到MN的取值范围为2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页175575MN.【另法】由于抛物线解析式未知，应先明确抛物线的动态特征，画出草图后可知，由于0a，抛物线开口向下，系数a影响了抛物线开口大小，因此，亦可由MN的两个端点坐标代入确定线段的取值范围.(ii)作出抛物线的对称轴划分为两个三角形，确定2732748QMNaSa△，欲求S的取值范围，先转化为方程227(854)240aSa，再利用根的判别式来确定S的取值范围即可.【解答】解：(1)∵抛物线过点M(1，0)∴a+a+b=0，即2ba∴222192()24ayaxaxbaxaxaax∴顶点Q的坐标为19(,)24a(2)∵直线2yxm过点M(1,0)∴由021m得，2m联立方程组后得222(2)4(22)9124(32)aaaaaa∵2ba，且∴0a∴0，即直线与抛物线有两个交点.(3)(i)【方法一——标答】——【求交点坐标】由2222axaxax得2(2)220axaxa.【法1——标答】222(1)20xxaa配方得221113()()22xaa，解得1221,2xxa.※【法2】由于有公共点M(1，0)，故(1)(2)2(1)axxx(1)(22)0xaxa∴1221,2xxa※【法3】由已知可知11x，所以221axa，∴222xa222xa2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页18把222xa代入22yx得46ya∴点N24(2,6)aa由勾股定理得，22224[(2)1](6)MNaa222060134520()2aaa∵112a∴121a，则1302a∴312525()352MNaa∴5575MN※【方法二】抛物线与直线都过定点M(1,0)，直线为定直线，由(1)得219()24ayax，而112a∴①当1a时，抛物线开口最小，此时的线段MN的长度最小由2222xxx得2340xx.解得4,10NNxy，此时2251055MN;②当12a时，抛物线开口最大，此时的线段MN的长度最大由21112222xxx得2560xx.解得6,14NNxy，此时2271475MN∴5575MN.(ii)作直线12x交直线22yx于点E.则E的坐标为1(,3)2.∵M(1,0)，N24(2,6)aa，且0a，∴△QMN的面积129=(2)1(3)24QMESNEaSSSa△△2732748aa.【法1】上式化简得227(854)240aSa.2017福建中考解析--福建数学团队出品2017福建省中考数学试卷解析第页，共20页19∵方程有解，∴2(854)427240S，即22(854)(362)S.∵0a，∴2732727484aSa，即8540S.∴854362S，即279242S.当279242S时，代入方程解得223a，符合题意，∴△QMN的面积的最小值为279242.※【法2】——直接利用均值不等式2732748aSa.∵0a，∴327327922()()882aaaa当且仅当3278aa，即223a时等号成立.∴△QMN的面积的最小值为279242.感谢宁德屏南张小锋，福安郑惠，福鼎雷少华，方光德，金良快共五位老师解析.