李雅普诺夫函数的构造及应用

收稿日期:2011—09—23作者简介:张永华(1986—)，男，陕西西安人，研究生，研究方向:非线性动系统的理论与应用。李雅普诺夫函数的构造及应用张永华，苑文法(西安建筑科技大学理学院，陕西西安710055)摘要:运用李雅普诺夫稳定性理论对系统零解稳定性判断分析，介绍了函数的构造方法和形式，并举例说明。关键词:李雅普诺夫定理;稳定性;李雅普诺夫函数中图分类号:O29文献标志码:A文章编号:1008－3871(2011)06－0021－03李雅普诺夫是稳定性理论的创始人，稳定性理论是分析和研究非线性控制系统稳定性的经典理论，现在仍被大家广泛采用。处理稳定性问题有两种方法。其中，第二种方法比较常用。其借助李雅普诺夫函数和微分方程所计算出来的导数dVdt的符号性质，就能直接推断出解的稳定性。李雅普诺夫理论的核心是构造一个李雅普诺夫函数，学者们已经提出了一些构造非线性系统李雅普诺夫函数的方法，比如，克拉索夫斯基法、变量梯度法等，但每种方法都有其一定的针对性，还没有一个能适用于各种情况的统一构造方法。本文通过实例分析，针对性的给出了李雅普诺夫函数的一些构造方法。1定义和定理为了讨论的方便我们只讨论函数不含的，即，自治的动力学方程。首先介绍李雅普诺夫函数的概念，以及李雅普诺夫判断非线性自治系统零解的稳定性态的几个定理。定义1设函数V(x)为在相空间坐标原点的邻域D(D:‖xi‖)＜H，H为大于零的小数中的连续函数，而V(x)且是正定的，即除了V(0)=0外，对于D中所有别的点均V(x)＞0。这样的函数称为李雅普诺夫函数。下面给出几个函数:函数V=x21+x22在x1x2平面上为正定的;函数V=－(x21+x22)在x1x2平面上为负定的;函数V=x21－x22在x1x2平面上为变号函数;函数V=x21+x22－2x1x2在x1x2平面上为半正定的;函数V=x21在x1x2平面上为常正函数;函数V(t，x)=11+t2xτx是半正定的但不是正定的。定义2V(x，y)在相空间坐标原点的邻域D中连续可微，把函数称为关于系统的全导数，记为dVdt=dVdx1dx1dt+dVdx2dx2dt+…+dVdxndxndt=∑ni=1dVdxidxidt定理1如果对于动力学方程存在一个李雅普诺夫函数V(x)，其全导数dVdt是负半定的(即对于D中所有点V·(x)≤0)，则方程的定点是稳定的。定理2如果对于方程存在一个李雅普诺夫函数V(x)，其全导数dVdt是负定的(即除V·(x)=0外，对D中所有其他点都有V·(x)＜0)。也就是说，如果除原点外，V(x)V·(x)＜0，则方程的定点是渐进稳定的。定理3如果对于方程组存在一个李雅普诺夫函数V(x)，其全导数dVdt也是正定的(即除原点外，V(x)V·(x)＞0)，则方程的定点是不稳定的。定理4函数V(x，y)=αx2+bxy+cy2是正定的当且仅当a＞0和4ac－b2＞0同时成立，是负定的当且仅当a＜0和4ac－b2＞0同时成立。定理5设在原点的邻U域内有函数V(x)，它沿系统轨线的全导数dVdt满足dVdt=λV(X)+W(x)其中λ＞0，W(x)≥0，且V(x)不是半负定的，则系统的零解是不稳定的。2011年11月第21卷第6期榆林学院学报JOURNALOFYULINUNIVERSITYNov．2011Vol．21No．62李雅普诺夫函数构造举例李雅普诺夫函数的构造并没有通用的方法，每种方法都有其局限性，下面仅举几例加以说明。例1讨论系统d2xdt2+dxdt+x=0零解的稳定性。解令x2=dx1dt，将该方程化为等价的微分方程组dx1dt=x2dx2dt=－x1－x{2令V(x1，x2)=3x21+2x1x2+2x22，显然V(x1x2)是正定函数，容易求得V(x)沿轨线的全导数为V·(x1x2)=－2(x21+x22)，它是负定函数，由定理2知该系统的零解是渐进稳定的。但是，如果我们取V(x1x2)=12(x21+X22)时，那么所求得的V·=－x22，V·x1x2)是负半定的，由定理1得到零解稳定，而得不到渐近稳定性。所以构造出适当的V函数是非常重要的。当一个系统的零解事实上渐进稳定时，但是由于我们可能构造出的V函数不准确，用定理1来证明是渐近稳定的，也可能构造出的V函数仅能证明零解是稳定的，也可能造不出V函数，连零解的稳定性也无法得到。所以在使用李雅普诺夫函数判断稳定性时应该注意，当我们找不出满足稳定性定理条件的V函数时，我们无法断定零解是不稳定的，且构造的李雅普诺夫函数不同时，判断的零解是否渐进稳定也会有差异，定理1～定理3给出了自治方程组零解稳定，渐进稳定及不稳定的充分条件，但这些条件不是必要的。下面我们给出另一种求李雅普诺夫函数的方法:例2用二次型V函数证明系统dxdt=－x－xy2，dydt=－y－yx2的零解是渐近稳定的。证明取如定理4中的V函数V(x，y)=ax2+bxy+cy2，则dVdt=(2ax+by)(－x－xy2)+(bx+2cy)(－y－yx2)=－［2a(x2+x2y2)+b(2xy+xy3+yx3)+2c(y2+x2y2)］若取b=0，a＞0，c＞0则4ac－b2＞0，因而V(x，y)是正定的且dVdt负定，故系统的零解是渐近稳定的。例3分析下列系统定点的稳定性:dxdt=－x－2y2，dxdt=xy－y3解如例2的方法取V(x，y)=ax2+bxy+cy2，则dVdt=(2ax+by)(－x－2y2)+(bx+2cy)(xy－y3)=－2ax2－4axy2－bxy－2by3+bx2y－bxy3+2cxy3－2cy4=－［2a(x2+2xy2)+b(xy+2y3－x2y+xy3)+2c(y4－xy2)］显然若取b=0，a＞0，c＞0，则4ac－b2＞0时，上式=－［2ax2+2cy4+(4a－2c)xy2］所以当4a－2c=0时即2a=c时dVdt=负定的，所以零解是渐近稳定的。这时我们令a=1，c=2满足条件2a=c即V(x，y)=x2+2y2为所要取的李雅普诺夫函数。例4判断下面系统零解的稳定性:dxdt=x3－y3，dydt=2xy2+4x2y+2y3解取V(x，y)=ax2+bxy+cy2，则dVdt=(2ax+by)(x3－y3)+(bx+2cy)(2xy2+4x2y+2y3)=2ax4－2axy3+byx3－by4+2bx2y2+4bx3y+2bxy3+4cxy3+8cx2y2+4cy4=2a(x4－xy3)+b(yx3－y4+2x2y2+4x3y+2xy3)+4c(xy3+2x2y2+y4)由定理4得若取b=0，a＞0，c＞0，则4ac－b2＞0即V(x，y)是正定的。则上式=2ax4+4cy4+8cx2y2+(4c－2a)xy3当4a－2c=0时，即2c=a，a=1，c=12时取V(x，y)=x2+12y2则dVdt=2x4－2xy3+2xy3+4x2y2+2y4=2(x2+y2)2为正定的，由定理3得方程组的零解是不稳定的。若取b=0，a＜0，c＜0，则4ac－b2＞0时V(x，·22·榆林学院学报2011年第6期(总第98期)y)即为负定的。则当4a－2c=0时，即2c=a，a=－1，c=－12取V(x，y)=－(x2+12y2)则dVdt=－2x4－2xy3+2xy3－4x2y2－2y4=－2(x2+y2)2为负定的。由定理3得方程组的零解是不稳定的。例5讨论系统零解的稳定性:dxdt=x+2y+xy2，dydt=2x+y－x2y解按照以上的方法取V(x，y)=ax2+bxy+cy2则dVdt=(2ax+by)(x+2y+xy2)+(bx+zcy)(2x+y－x2y)=2a(x2+2xy+x2y2)+b(2xy+2y2+xy3+2x2－x3y)+2c(2xy+y2－x2y2)若取b=0，a＞0，c＞0则4ac－b2＞0即V(x，y)为正定的，化简得:上式=2a(x2+2xy+x2y2)+2c(2xy+y2－x2y2)=2ax2+2cy2+(4a+4c)xy+(2a－2c)x2y2如果再令2a－2c=0时即a=c，仍然判断不出dVdt的函数类型。若取b=0，a＜0，c＜0则4ac－b2＞0时即V(x，y)为负定的，仍判断不出dVdt的函数类型。所以，如果V函数不是正定或负定的，而当成正定或负定的去处理，我们将无法判定该系统零解的稳定性。因此，构造一个合理的V函数是很必要的，对系统零解的稳定性判断至关重要。这时我们借助于定理5若果取V(x，y)=x2－y2，得dVdt=2x2－2y2+4x2y2=2V(x，y)+W(x，y)，其中W(x，y)=4x2y2≥0，所以该系统的零解是不稳定的。上述几例表明，构造李雅普诺夫函数并没有通用的方法，每个方法都有一定的局限性，例如如果我们用V(x，y)=ax2+bxy+cy2去判断系统dxdt=xy－x3+y，dydt=x4－x2y－x3的稳定性时将不会得到想要的结果。由例2、例3、例4我们可以得出函数V构造的特点。若判断系统零解的稳定性和渐进稳定性时，可以构造如:V(x，y)=ax2n+by2m这里a，b＞0，m，n为正整数。3结束语判断系统零解的稳定性的关键是如何构造一个未知的V函数，然而，构造恰当的V函数并没有规律可循，它是一种技巧性的问题，而且有一定的难度性。本文通过实例分析，巧妙地得出针对性的V函数，对系统零解稳定性的判断起到了一定的作用。参考文献［1］王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程［M］．北京:高等教育出版社，2006．7．［2］马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法［M］．北京:科学出版社，2001．8．［3］ZhuYa－hongChengDai－zhanQinHua－shuConstructingCommonQuadraticLyapunovFunctionsforaClassofStableMatrices．ACTAAUTOMATICASINICAVol．33，No．2February，2007．［4］周义仓，靳祯，秦军林．常微分方程及其应用［M］．北京:科学出版社，2010．［5］时宝，黄朝炎．微分方程基础及其应用［M］．北京:科学出版社，2007．(责任编辑:邵治亮)StructureAndApplicationonLyapunovFunctionZHANGYong－hua，YUANWen－fa(Xi’anUniversityofArchitectureandTechnology，Xi’an710055，Shaanxi)Abstract:ThispaperusestheLyapunovstabilitytheoryonsystemstabilityanalysisandjudgmentnonzerosolu-tions，introducesthefunctionconstructingmethodsandform．Someexamplesaregiven．Keywords:Lyapunovtheorem;Stability;Lyapunovfunction·32·张永华，苑文法:李雅普诺夫函数的构造及应用