2022版人教A版高中数学必修第一册--第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2022版人教A版高中数学必修第一册--第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题1.cos5π12的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.6+22B.22C.6-24D.3+242.在△ABC中,A=π4,cosB=1010,则sinC=(　　)A.255B.-255C.55D.-553.(2020山东潍坊诸城高一下期中)已知A,B为锐角,cosA=35,cosB=513,则cos(A+B)=(　　)A.5665B.-5665C.-3365D.33654.(2020辽宁辽阳高一下期末)已知点P(1,3)是角α终边上的一点,则tanα+π4=　　　　. 5.已知cosθ=130<θ<π2,则sinθ+π4的值为　　　,sinθ-π6的值为　　　　. 6.(2020辽宁阜新第二高级中学高一下期末)求值:(1)sin7π12;(2)tan105°.7.已知α,β均为锐角,sinα=13,cos(α+β)=45.(1)求cosα-π3的值;(2)求sinβ的值.题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题8.(2020辽宁省实验中学高一下期中)已知α,β∈-π2,π2,若tanα,tanβ是方程x2-43x+5=0的两实根,则α+β=(　　)A.-π3或2π3B.-π3C.2π3D.5π69.已知锐角α,β满足sinα=255,cosβ=1010,则α+β=　　　　. 10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于　　　　. 11.设α,β为钝角,且sinα=55,cosβ=-31010,则α+β的值为　　　　. 题组三　利用两角和与差的三角函数公式进行化简12.(2020福建厦门高一下期末)化简sin15°cos5°-cos15°sin5°的结果为(　　)A.sin10°B.cos10°C.sin20°D.cos20°13.已知α+β=5π4,则(1+tanα)·(1+tanβ)=(　　)A.-1B.-2C.2D.314.函数f(x)=sinx+π3+sinx-π3,则f(x)(　　)A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数15.“在△ABC中,cosAcosB=　　　　+sinAsinB”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是　　　　　.(用“<”连接) 能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题1.(2020山东聊城高一下期末质量检测,)角α的终边与单位圆的交点坐标为32,12,将α的终边绕原点顺时针旋转3π4后得到角β,则cos(α+β)=(　　)A.6-24B.6+24C.3-14D.02.(2020辽宁锦州高一下期末,)定义运算:a　bc　d=ad-bc.已知α,β都是锐角,且cosα=55,sinα　sinβcosαcosβ=-1010,则cosβ=(　　)A.22B.210C.3210D.72103.(2020安徽黄山高一下期末,)已知α是第二象限角,且sinα=45,tan(α+β)=-3,则tanβ=　　　　. 4.(2020浙江温州九校联盟高一上期末,)已知cosα-π4=35,且α∈-π4,π4,则sinα-π4=　　　,sinα=　　　. 5.(2020山西大同一中高一期末,)已知sinα+π6=45,-π6<α<π3,求:(1)cosα-π3的值;(2)cosα的值.题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题(2020天津一中高一上期末,)已知0<β<α<π2,点P(1,43)为角α终边上一点,且sinαsinπ2-β+cosαcosπ2+β=3314,则角β=(　　)A.π12B.π6C.π4D.π37.(2020浙江丽水高一下期末,)已知α∈0,π2,β∈-π2,0,sinβ=-210,且cos(α-β)=35,则α的值为(　　)A.π6B.π4C.π3D.5π128.(2020河南林州一中高一上期末,)已知tan(α-β)=-7,cosα=-55,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:(1)tanβ的值;(2)α+β的值.9.()在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A55,255,B-7210,210两点.(1)求cos(α+β)的值;(2)若α∈0,π2,β∈π2,π,求2α-β的值.题组三　两角和与差的三角函数公式的综合应用10.(多选)()在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,则下列各式正确的是(　　)A.A+B=2CB.tan(A+B)=-3C.tanA=tanBD.cosB=3sinA11.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)在△ABC中,若2sinAsinB=1+cosC,则该三角形的形状一定是　　　　　　. 答案全解全析基础过关练1.C　cos5π12=cosπ6+π4=cosπ6cosπ4-sinπ6sinπ4=32×22-12×22=6-24.2.A　因为cosB=1010且B为三角形的内角,所以sinB=31010.又A=π4,所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinπ4cosB+cosπ4sinB=22×1010+22×31010=255.3.C　∵A,B为锐角,cosA=35,cosB=513,∴sinA=1-cos2A=45,sinB=1-cos2B=1213,∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=35×513-45×1213=-3365.故选C.4.答案　-2解析　根据题意知,tanα=31=3,则tanα+π4=tanα+tanπ41-tanα·tanπ4=3+11-3×1=-2.5.答案　4+26;26-16解析　因为cosθ=130<θ<π2,所以sinθ=1-cos2θ=223,所以sinθ+π4=sinθcosπ4+cosθsinπ4=22×223+13=4+26,sinθ-π6=sinθcosπ6-cosθsinπ6=223×32-13×12=26-16.6.解析　(1)sin7π12=sinπ4+π3=sinπ4·cosπ3+cosπ4sinπ3=22×12+22×32=2+64.(2)tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45°1-tan60°tan45°=3+11-3=-2-3.7.解析　(1)∵α为锐角,sinα=13,∴cosα=1-sin2α=223,∴cosα-π3=cosαcosπ3+sinαsinπ3=223×12+13×32=22+36.(2)∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),∵cos(α+β)=45,∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=35,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=35×223-45×13=62-415.8.C　因为tanα,tanβ是方程x2-43x+5=0的两实根,所以tanα+tanβ=43,tanα·tanβ=5,所以tanα,tanβ均为正数,又α,β∈-π2,π2,所以α,β∈0,π2,所以α+β∈(0,π).所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=431-5=-3.又α+β∈(0,π),所以α+β=2π3.故选C.9.答案　3π4解析　∵α,β为锐角,sinα=255,cosβ=1010,∴0<α+β<π,cosα=55,sinβ=31010.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.又∵0<α+β<π,∴α+β=3π4.易错警示　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的名称,如本题中已知锐角α,β,则0<α+β<π,因此求α+β的余弦值较好.10.答案　π2解析　由题图易知α,β均为锐角,tanα=13,tanβ=12,γ=π4,∴α+β∈(0,π),tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1,∴α+β=π4,所以α+β+γ=π2.11.答案　7π4解析　∵π2<α<π,π2<β<π且sinα=55,cosβ=-31010,∴π<α+β<2π,cosα=-255,sinβ=1010,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-255×-31010-55×1010=325-210=22.∵π<α+β<2π,∴α+β=7π4.12.A　sin15°cos5°-cos15°sin5°=sin(15°-5°)=sin10°.故选A.13.C　∵α+β=5π4,∴tan(α+β)=1,∴tanα+tanβ=1-tanα·tanβ,∴(1+tanα)·(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanα·tanβ=1+1-tanα·tanβ+tanα·tanβ=2.14.A　∵f(x)=sinx+π3+sinx-π3=12sinx+32cosx+12sinx-32cosx=sinx,且f(x)的定义域为R,∴f(x)为奇函数.15.答案　b0,β∈(0,π),所以β∈0,π2,从而α+β∈π2,3π2,因此α+β=3π4.9.解析　(1)由A55,255,B-7210,210,得cosα=55,sinα=255,cosβ=-7210,sinβ=210,则cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=55×-7210-255×210=-91050.(2)由已知得cos2α=cos(α+α)=cosα·cosα-sinαsinα=-35,sin2α=sinαcosα+cosαsinα=45.∵cos2α<0,α∈0,π2,∴2α∈π2,π.∵β∈π2,π,∴2α-β∈-π2,π2.∴sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=45×-7210--35×210=-22,∴2α-β=-π4.10.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C,即A+B=12C,∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=2331-tanAtanB=tan60°=3,故tanAtanB=13,又tanA+tanB=233,∴tanA=tanB=33,∴A=B=30°,∴cosB=3sinA.综上,A,B均错误,C,D均正确.故选CD.11.答案　等腰三角形解析　∵1+cosC=1-cos(A+B)=1-cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB,∴sinAsinB+cosAcosB=1,即cos(A-B)=1,∵0