2023年全国初中数学联赛决赛试题和参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知为整数，且满足，QUOTE则的可能的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.若，则.又为整数，可求得或所以或.因此，的可能的值有3个.2．已知非负实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答】A.，易知：当，时，取得最大值.3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则QUOTE＝（）A．B．C．D．【答】B.因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.又易知△∽△，所以，从而可得.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）A．B．C．D．【答】B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为.5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则（）A．B．C．D．1【答】D.设，则，所以，因式分解得，所以.由解得，显然，所以1.6．在△中，，QUOTE，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形,,则的长为（）A．B．C．D．【答】A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足，，则____．【答】0.由题意知，所以整理得，所以0.2．使得不等式QUOTE对唯一的整数成立的最大正整数为．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．【答】.由题意可得，而，所以，从而可得.又，所以，从而.所以，，所以.4．已知正整数满足:，，，则．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.因此，所求的.三、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．解由已知条件可得，.设，，则有，，…………5分联立解得或.………10分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以.………20分四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.
证明
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：．证明由是平行四边形及已知条件知.………5分又A、B、F、D四点共圆，所以，…………….10分所以△∽△，………15分所以.………20分又，所以△∽△，故.……………………25分五、（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.（1）试判断1，2，3是否具有性质；（2）在1，2，3，…，2023，2023这2023个连续整数中，不具有性质的数有多少个？解取，，可得，所以1具有性质；取，，可得，所以2具有性质；…………………5分若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质.……………………10分（2）记，则＝.即=1\*GB3①……………………15分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.……………………20分又若，则，从而，进而可知.综合可知：当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.又2023＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2023，2023这2023个连续整数中，不具有性质的数共有224×2＝448个.…………………25分
浙公网安备 33021202002483