导数与函数的单调性导入新课问题 1．判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y＝x2的单调性，如何进行？2．因为二次函数的图像我们非常熟悉，可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方．3．如果遇到函数y＝x3－3x，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？4．定义是解决问题最根本的办法，但是定义法较繁琐，又不能画出它的图像，那该如何解决呢？导入新课问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢？新知探究问题1 竖直上抛的一个小物体，其高度hm与时间ts之间的关系是h＝10t－5t2（0＜t＜2）图中的抛物线表示物体高度h随时间t变化的函数h＝10t－5t2（0＜t＜2）的图像，直线表示物体的速度v随时间t变化的函数v（t）＝h′（t）＝10－10t的图像．通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2s这段时间的运动状态有什么区别？新知探究xOyOyOyOyxxx（1）（2）（3）（4）（1）函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1＞0；（2）函数y＝x2的定义域为R，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增；而y′＝2x，当x＜0时，其导数y′＜0，当x＞0时，其导数y′＞0；当x＝0时，其导数y′＝0．问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2s这段时间的运动状态有什么区别？新知探究（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数；而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．xOyOyOyOyxxx（1）（2）（3）（4）问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2s这段时间的运动状态有什么区别？新知探究（4）函数y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减；而y′＝，因为x≠0，所以y′＜0．xOyOyOyOyxxx（1）（2）（3）（4）问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2s这段时间的运动状态有什么区别？新知探究问题3 通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？在区间（a，b）内，如果f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增，如果f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．新知探究问题4 上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，从这个角度进行说明吗？启发：如图，导数f′（x0）表示函数f（x）在点（x0，y0）处的切线的斜率，观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？在x＝x0处，f′（x0）＞0，切线是“左下右上”的，这时候，函数f（x）在x0附近单调递增；在x＝x1处，f′（x0）＜0，切线是“左上右下”的，这时候，函数f（x）在x0附近单调递减．新知探究函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a，b）内，如果f′（x）＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．说明：那么函数y＝f（x）在这个区间内是常值函数．如果f′（x）＞0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增，新知探究问题5 若函数f（x）在区间（a，b）内单调递增，那么f′（x）一定大于0吗？由问题2中（3）知f′（x）≥0恒成立．典例
分析
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例1 求函数y＝x2－2x＋4的单调区间．解：根据题意有y′＝2x－2，令y′＞0，可得2x－2＞0，解得x＞1．因此函数在区间（1，＋∞）上是增函数．令y′＜0，可得2x－2＜0，解得x＜1．因此函数在区间（－∞，1）上是减函数．更进一步：函数y＝x2－2x＋4的单调递减区间为（－∞，1］，单调递增区间为［1，＋∞）．典例分析例2 求函数f（x）＝x3－3x2－9x－1的单调区间．解：根据题意有f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3）．令f′（x）＞0，可得3（x＋1）（x－3）＞0，解不等式可得x＜－1或x＞3；令f′（x）＜0，可得3（x＋1）（x－3）＜0，解不等式可得－1＜x＜3；因此函数的单调递增区间为（－∞，－1］和［3，＋∞），单调递减区间为［－1，3］．典例分析小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．典例分析例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．解：根据题意有f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立，所以x＋1＞0，因此x＞－1，令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1．因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．典例分析你能总结出利用导数求函数单调区间的步骤吗？求解函数y＝f（x）单调区间的步骤：确定函数的定义域；求导数y′＝f′（x）；解不等式f′（x）＜0，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式f′（x）＜0，解集在定义域内的部分为减区间．新知探究问题6 导数能帮助我们简洁的求出单调区间，但是我们知道即使是单调递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现？下面我们就来看一下这个问题：典例分析例4 生物学上的种群研究表明，很多物种的数量x与时间t的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以利用，物种数量的增加会越来越快，到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓．假设x是时间t的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示的（1）（2）中，哪个能近似地表示上述规律？解：物种数量的增加比较慢，表示曲线在对应点的切线斜率比较小；增加越来越快，表示曲线在对应点的切线斜率越来越大，因此，图（2）能近似地表示上述规律．典例分析思考：通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？总结：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．归纳小结导数正负与原函数单调性之前有怎样的关系？如何利用导数求原函数单调性？步骤是怎样的？利用导数怎样判断原函数增减的快慢？作业布置练习：教科书第91页练习A1，2，3题．作业：教科书第91页练习B1，2，3，4，5，6题．谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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