天津市中考数学压轴题大集合

天津市中考数学压轴 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 大集合一、函数与几何综合的压轴题1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1)求证：E点在y轴上；(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.yyBDBDOxOxEE′C（1，-3）C（1+k，-3）AA（2，-6）（2，-6）图②图①[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DCEODOEOBO∴,ABDBCDDB又∵DO′+BO′=DBEOEO∴1ABDC∵AB=6，DC=3，∴EO′=2DOEOEO2又∵，∴DODB31DBABAB6∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②天津市中考数学压轴题大集合x0联立①②得y2∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上2（2）设抛物线的方程y=ax+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）4a2bc6E（0，-2）三点，得方程组abc3c2解得a=-1,b=0,c=-22∴抛物线方程y=-x-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。EFEF同（1）可得：1得：E′F=2ABDCEFDF1方法一：又∵E′F∥AB，∴DFDBABDB31112S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=DCDBDCDFDCDB22231=DCDB=DB=3+k3S=3+k为所求函数解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA11∴S△AE′C=S△BDE′BDEF3k23k22∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶222同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC∶AB=1∶4221∴SAECS梯形ABCDABCDBD3k992∴S=3+k为所求函数解析式.2.（2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.（1）求点A的坐标；（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；天津市中考数学压轴题大集合S1h（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线S242y＝ax＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，22在Rt△AOM中，AO＝AMOM1，∴点A的坐标为A（0，1）（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），2222AB＝BOAO112在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2AB2AM2(2)2(2)24BM2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22，2222∴BC＝ABAC(2)(22)10∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，BC105y∴22S1()()222AAC2222而S2()()222M·5xShhB1即　　2,　　　h5S24，24DC设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：2y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物天津市中考数学压轴题大集合线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）2∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）±5又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）abc0a＝－5a5由已知得abc0　　　解得b0　　或　　b04acb2c5c55　4a∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交2x轴于A、B两点，抛物线yaxbxc(a0)过点A、B，且顶点C在⊙P上.⌒(1)求⊙P上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.y[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.ABO·x在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,P（1，－1）∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°⌒1204CAB的长＝21803y（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3.AMB又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0），O·xP（1，－1）由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，－3).C天津市中考数学压轴题大集合点A、B、C在抛物线上，则20a(13)b(13)ca10a(13)2b(13)c解之得b23abcc22抛物线解析式为yx2x2（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.2又点D（0，－2）在抛物线yx2x2上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.yCEQF[解](1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.AO1OO2Bx2∴OC＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3),2∴(3)3OBOB.y∴OB＝1.∴OA＝3.CA(-3,0),B(1,0).E∴M2Q设抛物线的解析式为yaxbxc.312F4AO1POO2Bx天津市中考数学压轴题大集合3a,9a3bc0,32则abc0,解之，得b3,3c3.c3.32∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为yx23x3.33(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,∴△CMN∽△CAO.MNCN∴.AOCOa3a∴.33333解之，得a.2此时，四边形OPMN是正方形.333∴MNOP.2333∴P(,0).2考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且333P(,0)或P(0,0).215235.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为48天津市中考数学压轴题大集合2对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；2(2)能否判断抛物线y＝ax+bx+1的开口方向?请说明理由；2(3)设抛物线y＝ax+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)Y1C[解]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1.D2P1523123A将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，B4828O11523X右边=×+1=，2481∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E2在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下224a—b解法二：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内4a4a—b2b2b2部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.4a4a4a11（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，222∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax+bx+c=0的两个根，且1Yx1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，aCD∴GO=x，FO=—x，∴x—（—x）=6，P2121EbbA即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，BaaOG∴b=—6a,FX∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，天津市中考数学压轴题大集合2∴1＜1—9a＜3,∴—＜a＜0.92y=ax—6ax+121由方程组ax6a+x=01得：—（）y=x+12216a1∴x=0或x=2=6+.a2a当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交11521点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—2a49122114综合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜912236.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.（1）求⊙A的半径；（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.y[解](1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx0x任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝122∴抛物线为y＝x－2x或y＝x＋2x⋯⋯6分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0)过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)⋯8分天津市中考数学压轴题大集 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，2(2m)(m)2∴S＝m2m2同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；m22m(m0或m2)∴S＝又若C(－2，0)，m22m(0m2)2m2m(m2或m0)此时l为y＝x，同理可得；S＝m22m(2m0)AAm7.（2006江苏连云港）如图，直线ykx4与函数y(x0,m0)的图像交于A、xB两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，CA由SCOD2SAOB，得SCOD2(SAODSBOD)111∴·OC·OD2(·OD·y1·OD·y2)，OC2(y1y2)，222BOC422又，∴(y1y2)8，即(y1y2)4y1y28，OPDmm2由y可得x，代入ykx4可得y4ykm0①xy天津市中考数学压轴题大集合∴y1y24，y1y2km，2∴164km8，即k．CAm又方程①的判别式164km80，2∴所求的函数关系式为k(m0)．mB（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．OMPND则APBP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N．∵MAP与BPN都与APM互余，∴MAPBPN．AMMP∴RtMAP∽RtNPB，∴．PNNBy12x1mm∴，∴(x12)(x22)y1y20，∴(2)(2)y1y20，x22y2y1y222即m2m(y1y2)4y1y2(y1y2)0②2由（1）知y1y24，y1y22，代入②得m8m120，2m2m6m261∴或，又k，∴或k，mk13m2m6∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且或1．k1k328.（2004江苏镇江）已知抛物线ymx(m5)x5(m0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1x2)，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（3）若P过A、B、C三点，求P的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使MBN被直线BC分成面积比为13的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.m55[解]（1）由题意得：x1x2,x1x2,x2x16.mm22m520(x1x2)4x1x236,36,mm天津市中考数学压轴题大集合5y解得m11,m2.72经检验m=1，∴抛物线的解析式为：yx4x5.2或：由mx(m5)x50得，x1或Ox5xmm>0,516,m1.m2抛物线的解析式为yx4x5.2由x4x50得x15,x21.∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.设直线BC的解析式为ykxb,b5,b5,则kb0.k5.∴直线BC的解析式为y5x5.(2)图象略.（3）法一：在RtDAOC中，OAOC5,OAC45.BPC90.22又BCOBOC26,2∴P的半径PB2613.2法二：2由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线yx4x5的对称轴直线x2上，设P（－2，－h）（h＞0），222222连结PB、PC，则PB(12)h,PC(5h)2，222222由PBPC，即(12)h(5h)2，解得h=2.天津市中考数学压轴题大集合22P(2,2),P的半径PB(12)213.法三：延长CP交P于点F.CF为P的直径，CAFCOB90.又ABCAFC,DACF~DOCB.CFACACBC,CF.BCOCOC2222又AC5552,CO5,BC5126,5226CF213.5P的半径为13.2（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t4t5),则点E的坐标为(t,5t5).若SDMEB:SDENB1:3,则ME:EN1:3.24EN:MN3:4,t4t5(5t5).35540解得t11（不合题意舍去），t2,M,.339若SDMEB:SDENB3:1,则ME:EN3:1.EN:MN1:4,t24t54(5t5).解得t31（不合题意舍去），t415,M15,280.540存在点M，点M的坐标为,或（15，280）.399.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(3，0)、B(1，0)，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.天津市中考数学压轴题大集合2(1)若抛物线yx2xm经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.(2)求直线DF的解析式.(3)是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.y[解](1)∵抛物线过A、B两点，DFm∴(3)1，m=3.1M2∴抛物线为yx2x3.NO又抛物线过点D，由圆的对称性知AxE点D为抛物线的顶点.CG∴D点坐标为(1，4).（第9题图）(2)由题意知：AB=4.∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C点坐标为(1，1).设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切线，∴GC=GF.∴∠3=∠4.y∴∠1=∠2.D∴GF=GP.∴GC=GP.F可得CP=8.M32∴P点坐标为(7，1)xNO设直线DF的解析式为ykxb4A1EP5CGkkb48则解得7kb127b8527∴直线DF的解析式为：yx88(3)假设存在过点G的直线为yk1xb1，天津市中考数学压轴题大集合则3k1b11，∴b13k11.yk1x3k11由方程组22得x(2k1)x43k10yx2x3由题意得2k14，∴k16.当k16时，400，∴方程无实数根，方程组无实数解.∴满足条件的直线不存在.1210.（2004山西）已知二次函数yxbxc的图象经过点A（－3，6），并与2x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.12[解]（1）解：∵二次函数yxbxc的图象过点A（－3，6），B（－1，0）293bc6b1y2得解得31cbc022123∴这个二次函数的解析式为：yxx22Ox由解析式可求P（1，－2），C（3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BACDCPC∴易求AC62,PC22,BC4BCAC4455∴DC∴OD3∴D,03333解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证△AEB∽△PFD、PEEB∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2PFFD天津市中考数学压轴题大集合2255∴FD∴OD1∴D,03333（3）存在.（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM又∵MC2OM且OM＋MC＝OC∴2OMOM3,得OM323∴M323,0（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′同理OM′＋OC＝M′C，OMOC2OM得OM323∴M′323,0即在x轴上存在满足条件的两个点.y654S32H1M′EBFMC-3-2-101D23x-1G-2PT天津市中考数学压轴题大集合11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内60.角为°的菱形，求次抛物线的解析式y2[解]（1）yx2x3，顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），2AOBx即y＝ax－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），C1M∴S△ACB＝×4×3a＝6a，2而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x轴于D，111又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，222∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知ak＝k，a＋k＞0，k＜0，a∴k＝，2a∴y＝ax2－2ax＋，∴EF2.2记l与x轴交点为D，6若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，666∴k＝－，a＝，631226∴抛物线的解析式为y6x6x.336天津市中考数学压轴题大集合6若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，26∴k＝－，a＝6，226∴抛物线的解析式为y6x26x.2②当抛物线开口向下时，同理可得122626y6x6x，y6x26x.336212.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx4k的图象与2x轴交于点A，抛物线yaxbxc经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上4是否存在这样的点P，使得∠POA∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不3存在，请说明理由。[解]（1）解法一：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）2∵抛物线yaxbxc经过O、A两点c0，16a4b0b4a解法二：∵一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）2∵抛物线yaxbxc经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线x2bx22ab4a（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA天津市中考数学压轴题大集合∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO2又由（1）知抛物线的解析式为yax4ax∴点D的坐标为（2，4a）①当a0时，⌒如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为Om⌒A，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，⌒显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切∴点O为切点∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形OD22∴点D的纵坐标为24a21a，b4a2212∴抛物线的解析式为yx2x2②当a0时，同理可得：OD2212抛物线的解析式为yx2x212综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为yx2x或212yx2x24（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA∠OBA3设点P的坐标为（x，y），且y＞012①当点P在抛物线yx2x上时（如图2）2天津市中考数学压轴题大集合∵点B是⊙D的优弧上的一点1∠OBA∠ADO4524∠POA∠OBA603过点P作PE⊥x轴于点EEPtan∠POEOEytan60xy3xy3xx1423x20由解得：，（舍去）12yx2xy1643y202∴点P的坐标为423，64312②当点P在抛物线yx2x上时（如图3）2同理可得，y3xy3xx1423x20由1解得：，（舍去）2y0yx2xy164322∴点P的坐标为423，643综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为423，643或423，64313.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。天津市中考数学压轴题大集合（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为123，sinABC，求直线AC的解析55y式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设BOAB的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值O1是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。OAx[解]（1）如图1，过O作OGB于C12G，则OG53设OA3k(k0),AOB90,sinABC5AB5k，OB4k12OAOBABOG2SAOB,3k4k5,k15OA3，OB4，AB5A（3，0）AOB90,AB是⊙O1的直径AC切⊙O1于A，BAAC,BAC90在RtABC中AB425cosABC,BCBC549OCBCOB49C(0，)4设直线AC的解析式为ykxb，则3kb0399k，bb44439直线AC的解析式为yx44（2）结论：dAB的值不会发生变化设AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示天津市中考数学压轴题大集合yBMO1QTPOANx图2dBQBT，APAT，OQOP2ddBQBTOB,APATOA22ddABBTATOBOAOAOBd22则dABdOAOBdOAOB在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MNM(2,2),OM平分AOB,OM22BOMMON45,AMBM又MANOBM,OBANBOMANM,BOMANM45,ANMMONOMNM,OMN90OAOBOAANONOM2MN22OM2224dAB的值不会发生变化，其值为4。k14.（2005福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y＝(k＞x0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，4n0(am).OPAss1.）＞设△的面积为，且＝＋4（1）当n＝1时，求点A的坐标；（2）若OP＝AP，求k的值；4n2(3)设n是小于20的整数，且k≠，求OP的最小值.2天津市中考数学压轴题大集合[解]过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m5(1)当n＝1时，s＝42s5∴a＝＝n2(2)解1：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形a∴m＝n＝24n1∴1＋＝·an42即n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2解2：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n设△OPQ的面积为s1s则：s＝12411n∴·mn＝(1)22＋442即：n－4n＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2(3)解1：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP设：△OPQ的面积为s1，则2s1PO＝2sAO212kkn＋22n即：4＝4nn21＋4(1＋)442n化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0天津市中考数学压轴题大集合（k－2）（2k－n4）＝04n∴k＝2或k＝(舍去)2∴当n是小于20的整数时，k＝2.22222k∵OP＝n＋m＝n＋2n又m＞0，k＝2，∴n是大于0且小于20的整数当n＝1时，OP2＝5当n＝2时，OP2＝5224485当n＝3时，OP＝3＋2＝9＋＝399当n是大于3且小于20的整数时，即当n＝4、5、6、⋯、19时，OP2得值分别是：242424244＋25＋26＋219＋24、5、6、⋯、19242424∵19＋2＞18＋2＞⋯＞3＋2＞519183∴OP2的最小值是5.22222k解2：∵OP＝n＋m＝n＋2n222n＋2＝n22＝(n－)＋4n22当n＝时，即当n＝2时，OP最小；n又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5∴OP2的最小值是5.解3：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQPQOQ＝QAPQnm＝a－mn天津市中考数学压轴题大集合化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝04n∴k＝2或k＝(舍去)2解4：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQ2s1OQ＝2s－s1PQ化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝04n∴k＝2或k＝(舍去)2解5：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAPOPOQ∴＝OAOP∴OP2＝OQ·OA化简得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝04n∴k＝2或k＝(舍去)215.（2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与y△AOC全等，请直接写出点D的坐标。（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点C（8，6）B（18，6）Q的坐标，并写出此时t的取值范围。（4）设从出发起，运动了t秒。当P、QQ两点运动的路程之和恰好等于梯形OPA180xOABC的周长的一半，这时，直线PQ（，）天津市中考数学压轴题大集合能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。[解]（1）∵O、C两点的坐标分别为O0,0，C8,6设OC的解析式为ykxb，将两点坐标代入得：33k，b0，∴yx44∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为yax0x183再将C8,6代入得：a40327∴yx2x4020（2）D10,623232（3）当Q在OC上运动时，可设Qm,m，依题意有：mm2t44886∴mt，∴Qt,t，0t5555当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，∵OC＝10，∴CQ＝2t10∴Q点的横坐标为2t1082t2，∴Q2t2,6，5t10（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为22t313△OPQ中，OP边上的高为：22t,SOPQt22t5251131梯形OABC的面积＝1810684，依题意有：t22t84225222整理得：t22t1400∵△＝2241400，∴这样的t不存在当Q在BC上时，Q走过的路程为22t，∴CQ的长为：22t1012t11∴梯形OCQP的面积＝622t10t＝36≠84×22∴这样的t值不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积122316.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线yxxm与x轴交于A、B33两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；天津市中考数学压轴题大集合（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.[解]（1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3mOAOC又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB∴OCOBx1m2y∴，即x1·x2＝－mmx2D2∴－m＝3m，解得m＝0或m＝－3MF而m＜0，故只能取m＝－3·AOBx这时，122312CEyxx3(x3)4333G故抛物线的顶点坐标为（3，－4）（2）解法一：由已知可得：M（3，0），A（－3，0），B（33，0），C（0,－3），D（0，3）∵抛物线的对称轴是x＝3，也是⊙M的对称轴，连结CE∵DE是⊙M的直径，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝3，垂直平分CE，∴E点的坐标为（23，－3）OAOM3∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，OCOD3∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE，∴FG∥CB天津市中考数学压轴题大集合由B（33，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：3y＝x－333可设直线FG的解析式为y＝x＋n，把（23，－3）代入求得n＝－533故直线FG的解析式为y＝x－531223解法二：令y＝0，解xx－3＝0得33x1＝－3，x2＝33即A（－3，0），B（33，0）根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为23，M（3，0）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝33，，OC＝3∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC∵DE⊥FG，∴BC∥FG∴∠EFM＝∠CBO＝30°在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝23，∠FEM＝30°，∴MF＝43，∴OF＝OM＋MF＝53，∴F点的坐标为（53，0）3在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝53×＝53∴G点的坐标为（0，－5）3∴直线FG的解析式为y＝x－53（3）解法一：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12连结CP天津市中考数学压轴题大集合y由垂径定理可知ADAC，DP∴∠P＝∠ACHH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）MF·又∵∠CAH＝∠PAC，AOBx∴△ACH∽△APCCEACAP2∴即AC＝AH·APAHACG在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（3）2＋32＝12（或利用AC2＝AO·AB＝3×43＝12∴AH·AP＝12解法二：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12设AH＝x，AP＝y由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP即(3x23)(3x3)x(yx)化简得：xy＝12即AH·AP＝12