用最小二乘法进行多项式拟合(matlab实现)西安交通大学徐彬华算法分析：对给定数据(兀.片)(i=0,l,2,3,..,m),—共m+1个数据点，取多项式P(x),使£r.2=£[^(r.)-)■]'=minf=0_?=0n函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似购(划二乞gx"使得t-0/二工[p”(％)-”]2二工工叫£-儿二nmij=0/=0\k=Q/其中，a0，al,a2,...,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求/二仙％…①)的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：j=0,l,.,n得到：j=0,l,.,n这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵
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示如下:加+丄17/J-Om郴1…i-0m…二兀1=0~州-f=0m7=0.:m：(7„：Z<+1…hS€”1=0j-0_j-0_因此，只要给出数据点’■'1及其个数m,再给出所要拟合的参数n则即可求出未知数矩阵（a0，al,a2,…,an）试验题1编制以函数（k1为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对k=0下列数据作三次多项式最小二乘拟合（取权函数wi=1）xi-1.0-0.50.00.51・01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552总共有7个数据点，令m=6第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n;x=-l.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.55l,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdon因此将拟合参数n设为3.第二步：计算矩阵A=注意到该矩阵为(n+1)*(n+1)矩阵,的关系为i+j-2，由此可建立循环来求矩阵的各个元多项式的幂跟行、列坐标(i,j)素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)人(j+i-2)endendend;B=再来求矩阵B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1)endend第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…，an.B=B';a=inv(A)*B;第四步：画出拟合曲线x=[-1.0:0.0001:2.0];z=a(l)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x43;plot(x,z)legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3')title('拟合图')总程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdonm=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)A(j+i-2)endendend;B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(inj-l)endendB=B';a=inv(A)*B;x=[-l.0:0.000l:2.0];z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3;plot(x,z)legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3')title('拟合图')
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