§5.2 有界变差函数

§5.2 有界变差函数§5.2有界变差函数教学目的本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的Jordan分解定理.教学要点有界变差函数的概念,变差函数的性质,Jordan分解定理.n定义1设f是定义在区间[a,b]上的实值函数.对[a,b]的任一分割P={xi}i=0,其n中{xi}i=0满足a=x00为一常数.则f是[a,b]上的有界变差函数.n证明对[a,b]的任一分割{xi}i=0,我们有nnVf(x0,"xn)=∑f(xi)−f(xi−1)≤∑Mxi−xi−1i=1i=1n=∑M(xi−xi−1)=M(b−a).i=1b因此...

§5.2有界变差函数教学目的本节介绍有界变差函数的性质. 证明有界变差函数的Jordan分解定理.教学要点有界变差函数的概念,变差函数的性质,Jordan分解定理.n定义1设f是定义在区间[a,b]上的实值函数.对[a,b]的任一分割P={xi}i=0,其n中{xi}i=0满足a=x00为一常数.则f是[a,b]上的有界变差函数.n证明对[a,b]的任一分割{xi}i=0,我们有nnVf(x0,"xn)=∑f(xi)−f(xi−1)≤∑Mxi−xi−1i=1i=1n=∑M(xi−xi−1)=M(b−a).i=1b因此V(f)≤M(b−a).所以f∈V[a,b].a138下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数.例3设1xsin若0+∑ππi=2(n−i−1)π+(n−i)π+22n−211=+(令k=n−i)∑ππk=1(k−1)π+kπ+22n−21>∑k=1(k+1)πb令n→∞知道V(f)=+∞.因此f在[0,1]不是有界变差函数.a定理2有界变差函数具有如下性质:(i).若f∈V[a,b],则f是有界函数.(ii).若f∈V[a,b],α∈R1,则αf∈V[a,b],并且bbV(αf)≤αV(f).aa(iii).若f,,g∈V[a,b]则f+g∈V[a,b],并且bbbV(f+g)≤V(f)+V(g).(1)aaa(iv).若f,,g∈V[a,b]则fg∈V[a,b].(v).若f∈V[a,b],则对任意c,a0,存在[a,b]的一个分割{xi}i=0,使得bV(x,",x)>V(f)−ε.f0na设xk−10的任意性得到bcbV(f)≤V(f)+V(f).(4)aac综合(3),(4)两式得到(2)式.因此结论(v)得证.■设f是[a,b]上的有界变差函数.则对任意x∈[a,b],由定理2(v)知道f也是x[a,x]上的有界变差函数.因此V(f)是[a,b]上的实值函数,称之为f的变差函数.由定理a140x2(v)容易知道V(f)是单调增加的.a定理3(Jordan分解定理)f是[a,b]上的有界变差函数当且仅当f可以表成f=g−h,其中g和h是[a,b]上的单调增加的实值函数.证明由例1和定理2,充分性是显然的.必要性.设f是[a,b]上的有界变差函数.令1x1xg(x)=(V(f)+f(x)),h(x)=(V(f)−f(x)).(5)2a2a则f=g−h.当x2>x1时,利用定理2(v),我们有x2x2x1f(x1)−f(x2)≤Vf(x1,x2)≤V(f)=V(f)−V(f).x1aa因此x1x2V(f)+f(x)≤V(f)+f(x).a1a2这表明g(x1)≤g(x2).即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■推论4设f是[a,b]上的有界变差函数.则(1)f的不连续点的全体至多是一可数集.(2)f在[a,b]上是Riemann可积的.(3)f在[a,b]上几乎处处可导并且f′是Lebesgue可积的.证明由§5.1单调函数的相应性质直接可得.由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数之差.但这种分解显然不是唯一的.例如,若f=g−h是一个这样的分解,则对任意常数c,f=(g+c)−(h+c)也是f的一个分解.为避免这种不唯一性,我们令1x1xp(x)=(V(f)+f(x)−f(a)),n(x)=(V(f)−f(x)+f(a)).2a2a则p(x)和n(x)都是单调增加的,并且满足f(x)−f(a)=p(x)−n(x).(6)xV(f)=p(x)+n(x).a我们称(6)式为f的标准分解.分别称p(x)和n(x)为f的正变差函数和负变差函数.x定理5设f是[a,b]上的有界变差函数.则V(f)在[a,b]上是右连续的(或左连续的)a当且仅当f在[a,b]上是右连续的(相应地,左连续的).证明我们只证右连续的情形.左连续的情形证明是类似的.x必要性.设V(f)在[a,b]上是右连续的,x∈[a,b).则对任意x0,存在δ>0,使得当x∈(x0,x0+δ)时,f(x)−f(x0)<ε.取区间[x0,x0+δ]的一个分割x0=t0V(f)−ε.(7)∑ii−1xi=10n由于{ti}i=1是区间[t1,x0+δ]的一个分割,因此nx0+δf(ti)−f(ti−1)≤V(f).(8)∑ti=21利用(7),(8)两式,我们有t1x0+δx0+δV(f)=V(f)−V(f)xx00t1nn<∑f(ti)−f(ti−1)+ε−∑f(ti)−f(ti−1)i=1i=2=ε+f(t1)−f(t0)<2ε.于是当x∈[x0,t1]时,xx0xt1V(f)−V(f)=V(f)≤V(f)<2ε.aax0x0x因此V(f)在x点是右连续的.■a0小结有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数.它们可以表为两个单调增加的函数之差.与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积.与单调函数不同,有界变差函数类对线性运算是封闭的.这在分析中具有重要意义.习题习题五,第4题—第14题.142

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