2022年湖南省长沙市中考数学试卷真题+答案

2022年湖南省长沙市中考数学试卷注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.-6的相反数是（）11A.-B.-6C.D.6662.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（）zxxk.comA.B.C.D.3.下列说法中，正确的是（）A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B.“太阳东升西落”是不可能事件C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4.下列计算正确的是（）752222A.aaa÷=B.541aa-=C.32aa2×3=6a6D.(ab-)=a-b5.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（）A.(5,1)-B.(5,-1)C.(1,5)D.(5,1)--6.《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.3，4B.4，3C.3，3D.4，47.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A.8x元B.10(100-x)元C.8(100-x)元D.(100-8x)元8.如图，ABCD⾷AECF⾷ÐBAE=°75，则ÐDCF的度数为（）A.65°B.70°C.75°D.105°zxx9.如图，PA，PB是!O的切线，A、B为切点，若kÐAOB=°128，则ÐP的度数为（）.comA.32°B.52°C.64°D.72°10.如图，在!ABC中，按以下步骤作图：1①分别过点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；2②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．若AB=22，则AM的长为（）A.4B.2C.3D.2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.若式子x-19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．2512.分式方程=的解是_____________.xx+313.如图，A、B、C是!O上的点，OC^AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为___________．zx2x14.关于的一元二次方程有两个不相k等的实数根，则实数t的值为___________．x++=2xt0.co15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的m知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道21024,10100010=3=，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）-1æö12017.计算：|4|-+ç÷-(2)+2035．èø3ì3x>--8x①18.解不等式组：íî2(x-£1)6②19.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该小区一段长为20m的斜坡，坡角ÐBAD=°30⾷BD^AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．（1）求该斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）zxx20.2022年3月22日至28日是第三十五届k“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超.c采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛o．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参m赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x/分频数频率60£x<70150.170£x<80a0.280£x<9045b90£x<10060c（1）表中a=___________，b=___________，c=___________；（2）请补全频数分布直方图：（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．21.如图，AC平分ÐBAD⾷CB^AB⾷CD^AD，垂足分别为B，D．zxxk.（1）求证：△ABC≌△ADC；com（2）若AB=4⾷CD=3，求四边形ABCD的面积．22.电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．23.如图，在!ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．（1）求证：AC^BD；3（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=⾷AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周2长．24.如图，四边形ABCD内接于!O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．（1）求证：△ABE很△DCE；zxxkAEDEAFFE（2）当时，则.___________；___________；DC=CB⾷ÐDFE=2ÐCDBc-=+=oBECEABADm111+-=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）ABADAF（3）①记四边形ABCD，△ABE⾷△CDE的面积依次为SS,12,S，若满足SSS=+12，试判断，△ABE⾷△CDE的形状，并说明理由．②当DC=CB，AB=m⾷AD=n⾷CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE×CE．11MN-25.若关于x的函数y，当t-££xt+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h=，222我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数ykxb=+（k¹0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；2（2）若函数y=紅x³1红，求函数y的“共同体函数”h的最大值；x（3）若函数yx=-2+4xk+，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．zxxk.com2022年湖南省长沙市中考数学试卷注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.-6的相反数是（）11A.-B.-6C.D.666【答案】D【解析】【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：-6的相反数是6．z故选D．xxk【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握.相反数的定义是解题的关键．co2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（m）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据从正面看的图形是主视图即可求解．【详解】解：该几何体的主视图是故选B．【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．3.下列说法中，正确的是（）A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B.“太阳东升西落”是不可能事件C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次【答案】A【解析】【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；zB.“太阳东升西落”是必然事件，故该x选项不正确，不符合题意；xkC.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是.扇形统计图，故该选项不co正确，不符合题意；mD.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即可．4.下列计算正确的是（）A.aaa7÷=52B.541aa-=C.32aa2×3=6a6D.(ab-)2=a2-b2【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.aaa7÷=52，故该选项正确，符合题意；B.54aaa-=，故该选项不正确，不符合题意；C.32aa2×3=6a5，故该选项不正确，不符合题意；D.(ab-)2=a2-2abb+2，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．5.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（）A.(5,1)-B.(5,-1)C.(1,5)D.(5,1)--【答案】D【解析】zx【分析】根据关于原点对称的两个点，横x坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．k.【详解】解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是c(5,1)--．om故选D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．6.《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.3，4B.4，3C.3，3D.4，4【答案】A【解析】【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可．【详解】!3出现次数最多，\众数是3；把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，\4位于第四位，\中位数为4；故选：A．【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．7.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A.8x元B.10(100-x)元C.8(100-x)元D.(100-8x)元【答案】C【解析】【分析】根据题意列求得购买乙种读本(100-x)本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100-x)元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．zx8.如图，ABCD⾷AECF⾷ÐBAEx=°75，则ÐDCF的度数为（）k.comA.65°B.70°C.75°D.105°【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质即可求解．【详解】如图，设AE,CD交于点G，!AB∥CD，ÐBAE=°75，\ÐDGE=ÐBAE=°75!AE!CF\ÐDCF=ÐDGE=75°故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．9.如图，PA，PB是!O的切线，A、B为切点，若ÐAOB=°128，则ÐP的度数为（）A.32°B.52°C.64°D.72°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．【详解】解：∵PA，PB是!O的切线，∴OA^PA,OB^PB，z\ÐPAO=ÐPBO=90°，xxk!ÐAOB=°128，.co则ÐP=°360-90°-90°-128°=°52，m故选B．【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．10.如图，在!ABC中，按以下步骤作图：1①分别过点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；2②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．若AB=22，则AM的长为（）A.4B.2C.3D.2【答案】B【解析】1【分析】根据作图可知PM垂直平分AB，DM=AB，!ABM是等腰直角三角形，2据此即可求解．1【详解】解：由作图可得PM垂直平分AB，AD==DMAB=22则!ADM是等腰直角三角形∴由勾股定理得：AM=2AD=222´=故选：B．【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）zxx11.若式子x-19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是k___________．.c【答案】ox³19m【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-³190，求解即可．【详解】!式子x-19在实数范围内有意义，\-x19³0，解得x³19，故答案为：x³19．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．2512.分式方程=的解是_____________.xx+3【答案】x=2【解析】【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，解得x=2，经检验x=2是原方程的根；故答案为：x=2．【点睛】考点：解分式方程．13.如图，A、B、C是!O上的点，OC^AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为___________．【答案】7【解析】【分析】根据垂径定理可得OC垂直平分AB，根据题意可得AB平方OC，可得四边形AOBC是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，连接OB,CA，zxxk.com!A、B、C是!O上的点，OC^AB，\AD=DB，!D为OC的中点，\OD=DC，\四边形AOBC是菱形，OA=7，\BC=AO=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．14.关于的一元二次方程x2++=2xt0有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．【答案】t<1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2++=2xt0有两个不相等的实数根，可得D>0，求解即可．【详解】!关于x的一元二次方程x2++=2xt0有两个不相等的实数根，\D=2412-´´t>0，\t<1，故答案为：t<1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2++=bxc0(a¹0)的根与D=b2-4ac有如下关系：当D>0时，方程有两个不相等的实数根；当D=0时，方程有两个相等的实数根；当D<0时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键．15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．【答案】950【解析】z95x【分析】用1000´即可求解．xk100.co95【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“m强省会战略”的学生有1000´=950100（名）故答案为：950【点睛】本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键．16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道21024,10100010=3=，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【解析】【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2200化为(2100)2，再与2002比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2200=(2),10102060=(10)320，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．【详解】2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；2200=(2)2001002¹2，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；!22,24,28,216,2321====2345="，\2的乘方的个位数字4个一循环，!200÷=450，\2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；!2200=(2),10102060=(10)320，21024,10100010=3=，且21010>320060z\210>，故QGYW（强国有我）的x理解是正确的；xk故答案为：DDDD．.co【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆m用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）-1æö12017.计算：|4|-+ç÷-(2)+2035．èø3【答案】6【解析】【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可．-1æö120【详解】解：|4|-+ç÷-(2)+2035èø3=4321+-+=6【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．ì3x>--8x①18.解不等式组：íî2(x-£1)6②【答案】-2-2，解不等式②，得x£4，所以，不等式组的解集为-2 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；（2）设数量少的狗群的数量为x只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为(x+40)只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可．【小问1详解】根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，z\刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，x但不是唯一正确的答案，xk.∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，co∴答案不是无数种，m∴①√，②×，③×，故答案为：√，×，×；【小问2详解】设数量少的狗群的数量为x只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为(x+40)只，由题意得：xx++=3(40)300，解得x=45，x+=4085（只），所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．23.如图，在!ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．（1）求证：AC^BD；3（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=⾷AO=2，求BD的长及四2边形ABCD的周长．【答案】（1）见解析（2）BD=6，四边形ABCD的周长为413【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据三角形中位线的性质可得OD=2EF=3，进而可得BD的长，Rt!AOD中，勾股定理求得AD，根据菱形的性质即可求解．【小问1详解】证明：!四边形ABCD是平行四边，AB=AD，\四边形ABCD是菱形，\AC^BD；【小问2详解】解：!点E，F分别为AD，AO的中点，zxxk\EF是△AOD的中位线，.co1m\EF=OD，23!EF=，2\OD=3，!四边形ABCD是菱形，\BD=2OD=6，!AC^BD，在Rt!AOD中，AO=2，OD=3，\AD=AO2+OD2=+=232213，\菱形形ABCD的周长为413．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．24.如图，四边形ABCD内接于!O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．（1）求证：△ABE很△DCE；AEDEAFFE（2）当DC=CB⾷ÐDFE=2ÐCDB时，则-=___________；+=BECEABAD111___________；+-=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）ABADAF（3）①记四边形ABCD，△ABE⾷△CDE的面积依次为SS,12,S，若满足SSS=+12，试判断，△ABE⾷△CDE的形状，并说明理由．②当DC=CB，AB=m⾷AD=n⾷CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE×CE．【答案】（1）见解析（2）0，1，0pmn2（3）①等腰三角形，理由见解析，②pmn2+z【解析】xxk【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对.顶角相等，即可得证；co（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可m得AE×CE=BE×DE，即可得出AEDE-=0，根据已知条件可得EF∥AB，FA=FE，即可得出!DFE∽!DAB根据BECEEFDF相似三角形的性质可得=，根据恒等式变形，进而即可求解．ABAD（3）①记!!ADE,EBC的面积为SS34,，则SSS=+++12S3S4，SS12=SS34，根据已知条件可得，进而可得，得出!，结合同弧所对的圆周角SS3=4S!ABD=S!ADCCDAB相等即可证明!!ABE,DCE是等腰三角形；②证明!DAC∽!EAB，!DCE∽!ACD，根据相似三角形的性质，得出222CDpEA×AC+CE×AC=AC2=+mnp2，则AC=mn+p,EC==，ACmn+p2mnAE=AC-CE=，计算AE×CE即可求解．mn+p2【小问1详解】证明：!AD=AD，\ÐACD=ÐABD，即ÐABE=ÐDCE，又ÐDEC=ÐAEB，\△ABE很△DCE；【小问2详解】!△ABE很△DCE，ABBEAE\==，DCCEDE\×AECE=BE×DE，AEDEAE×CE-BE×DE\-==0，BECEBE×CE!ÐCDB+ÐCBD=°180-ÐBCD=ÐDAB=2ÐCDB，!ÐDFE=2ÐCDB，\ÐDFE=ÐDAB，\EF!AB，\ÐFEA=ÐEAB，zxx!DC=CB⾷k.c\ÐDAC=ÐBACom\ÐFAE=ÐFEA，\FA=FE，!EF!AB，\!DFE∽!DAB，EFDF\=，ABADAFFEEFAFDFAFAD\+=+=+==1，ABADABADADADADAFAFAFEF!+=+=1，ABADABADAFAF\+=1，ABAD111\+-=0，ABADAF故答案为：0，1，0【小问3详解】①记!!ADE,EBC的面积为SS34,，则SSS=+++12S3S4，SSBE!1==4，SSDE32\SS12=SS34①!SSS=+12，即SSS=++122SS12，\SS3+4=2SS12②由①②可得SS3+=42SS34，2即，(SS3-4)=0，\SS3=4\，S!ABE+S!ADE=S!ABE+S!EBC即SABD=SADC，!!zxx\CD!AB，k.c\ÐACD=ÐÐBAC,CDB=ÐDBA，om!ÐACD=ÐÐABD，CDB=ÐCAB，\ÐEDC=ÐECD=ÐEBA=ÐEAB，\!!ABE,DCE都为等腰三角形；②!DC=BC，\ÐDAC=ÐEAB，!ÐDCA=ÐEBA，\!DAC∽!EAB，ADAC\=，EAAB!AB=m⾷AD=n⾷CD=p，\×EAAC=DA´AB=mn，!ÐBDC=ÐBAC=ÐDAC，\ÐCDE=ÐCAD，又ÐECD=ÐDCA，\!DCE∽!ACD，CDCE\=，ACCD\×CECA=CD2=p2，\×EAAC+CE×AC=AC2=mn+p2，222CDp则AC=mn+p,EC==，ACmn+p2mn\AE=AC-CE=，mn+p2mnp2\×AEEC=．mn+p2【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键．1125.若关于x的函数y，当t-££xt+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函22MN-数h=，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．2zxx（1）①若函数，当时，求k函数的“共同体函数”的值；y=4044xt=1.yhco②若函数ykxb=+（k¹0，k，b为常数），求函m数y的“共同体函数”h的解析式；2（2）若函数y=紅x³1红，求函数y的“共同体函数”h的最大值；x（3）若函数yx=-2+4xk+，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．kk【答案】（1）①2022；②k>0时，h=，k<0时，h=-221（2）231（3）t=2时，存在k=-8【解析】【分析】（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出h，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解．【小问1详解】1113解：①当t=1时，则1-££x1+，即££x，2222!y=4044x，k=4044>0，y随x的增大而增大，314044´-4044´MN-，\h==22=20222211②若函数ykxb=+，当k>0时，t-££xt+，22æ1öæ1ö\Mkt=++=ç÷bNkt,ç-÷+b，è2øè2øMN-k\h==，22æ1öæ1ö当k<0时，则Mkt=ç-÷+bNkt,=++ç÷b，è2øè2øMN-k\h==-，22kk综上所述，k>0时，h=，k<0时z，h=-，2x2xk【小问2详解】.co2m解：对于函数y=(x³1)，x!20>，x³1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小，1\-t³1，23解得t³，211当t-££xt+时，222424M==,N==\11，t-21t-t+21t+22MN-14æ4ö22(t+1)--22(t1)44\h==ç-÷===2，222121èt-t+ø(2121t-)(t+)(212141t-)(t+)t-3∵当t³时，41t2-随t的增大而增大，23\当t=时，41t2-取得最小值，此时h取得最大值，2441最大值为h===；(2121t-)(t+)242´【小问3详解】对于函数yx=-2+4xk+=--(x24)2++k，a=-10<，抛物线开口向下，x<2时，y随x的增大而增大，x>2时，y随x的增大而减小，当x=2时，函数y的最大值等于4+k，11在t-££xt+时，22213æ1öæ1ö①当t+<2时，即t<时，N=--çt÷+4çt-÷+k，22è2øè2ø2æ1öæ1öM=-çt+÷+4çt+÷+k，è2øè2øzxxì2k2üMN-1ïæ1öæ1ö.éæ1öæ1öùï\h==í-çt+÷+4çt+÷+ck---êçt÷+4çt-÷+kúý=2-t，2222o22îïèøèømëêèøèøûúþï13\h的最小值为（当t=时），22若1=+4k，27解得k=-，237但t<，故k=-不合题意，故舍去；22215æ1öæ1ö②当t->2时，即t>时，M=--çt÷+4çt-÷+k，22è2øè2ø2æ1öæ1öN=-çt+÷+4çt+÷+k，è2øè2øMN-\h==t-2，215\h的最小值为（当t=时），22若1=+4k，27解得k=-，257但t>，故k=-不合题意，故舍去221135③当t-££2t+时，即££t时，M=+4k，2222æ1öæ1ö3i)当2--çt÷ç³t+÷-2时，即££t2时è2øè2ø22æ1öæ1öN=--çt÷+4çt-÷+kè2øè2ø2æ1öæ1ö4++kçt----÷4çt÷kMN-221525h==èøèø=t2-t+22228513!对称轴为t=，>0，抛物线开口向上，在££t2上，2221当t=2时，h有最小值，zx8xk.1c\=+4ko8m31解得k=-8æ1öæ1ö5ii)当2--çt÷ç£t+÷-2时，即2££t时，M=+4k，è2øè2ø22æ1öæ1öN=-çt+÷+4çt+÷+k，è2øè2ø2æ1öæ1ö4++kçt+÷-4çt+÷-k\MN-22139，h==èøèø=t2-t+22228315!对称轴为t=，>0，抛物线开口向上，在2