最新高中数学典型例题解析：第三章_基本初等函数Ⅱ三角函数优秀名师资料

第三章基本初等函数?(三角函数)3.1任意角三角函数一、知识导学1(角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是:顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.l,,l2(弧度制:任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧,,r的长，为圆的半径.规定:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为r零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.,,180,,,,,1,,0.1745rad3(弧度与角度的换算:;;1.rad,,57.30360,2,rad,,180,,,,用弧度为单位表示角的大小时，弧度(rad)可以省略不写.度，，不可省略.112S,lr,|,|rl4(弧长 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 、扇形面积公式:,其中为弧长，为圆的半rl,,r,扇形22径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.,,2,5(任意角的三角函数定义:设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是,,，，，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分x,yr(r,0),yxyxrr,,,,,,sin,,cos,,tan,,cot,,sec,,csc,别是.这六个函数统称rrxyxy为三角函数.6(三角函数的定义域三角函数定义域y,sinxRy,cosxR,,,，xx,k,k,Zy,tanx,,,2,,y,cotx,,xx,k,,k,Z,,,y,secx，,k,Zxx,k,,,2,,y,cscx,,xx,k,,k,Z7(三角函数值的符号:各三角函数值在第个象限的符号如图所示(各象限注明的函数为正，其余为负值)可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1(在直角坐标系内讨论角(1)角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象x限，就称这个角是第几象限角(或说这个角属于第几象限).它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断x某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.角终边相同的角的集合表示.(2)与,,,,，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一,,,k,360，,,k,Z,,定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.3602(值得注意的几种范围角的表示法,,,,“0,间的角”指;“第一象限角”可表示为900,,,90,,,,,,,,,,k,360,,,k,360，90,k,Z;“小于90的角”可表示为,,,90.l3(在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.r4(确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5(根据三角函数的定义可知:(1)一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角,,,,k,360(k,Z)与的同名三角函数值相等;(2)，故有x,r,y,r，这是三角函数中最基本的一组不等关系.cos,,1,sin,,16(在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时要注意:(1)角的范围是什么,(2)对应角的三角函数值是正还是负,(3)与此相关的定义、性质或公式有哪些,三、经典例题导讲,,ABC[例1]若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数A,B,C(C,)2是()sinA,sinCcotA,cotCtanA,tanCcosA,cosC?.?.?.?.A(1B.2C.3D.4？A,CsinA,sinCtanA,tanC错解:?，故选B错因:三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误？A,C,ABC正解:法1在中，在大角对大边，？c,a,？sinC,sinA法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.[例2]已知角的终边关于y轴对称，则与的关系为.,,,,,,,,，,2k,错解:?角的终边关于y轴对称，?+，(,,,k,z)22错因:把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称.正解:?角的终边关于y轴对称,,,,,,，,，k,,(k,Z)?即,，,,,，2k,,(k,z)22x说明:(1)若角的终边关于轴对称，则与的关系为,,,,,,，,,2k,,(k,Z)角的终边关于原点轴对称，则与的关系为(2)若,,,,,,,,，(2k，1),,(k,Z)(3)若角的终边在同一条直线上，则与的关系为,,,,,,,,，k,,(k,Z)34,,sin,,cos,,,[例3]已知，试确定的象限.2525,3,4,sin,,0,cos,,,0错解:?，?是第二象限角，即22525,2k,,,2k,，,,k,z.2从而4k,,,,4k,，2,,k,z.,y故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.,,3,4sin,,0,cos,,,0错因:导出是第二象限角是正确的，由即可确定，2252534,,sin,,cos,,而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进2525,,一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.22,3,4,sin,,0,cos,,,0正解:?，?是第二象限角，22525,,3233,,2k，,,2k，,k,z,,,sinsin,,,又由知422524,34k,，,,,4k,，2,,k,z,，故是第四象限角.2[例4]已知角的终边经过，求的值.P(,4a,3a)(a,0)sin,,cos,,tan,,cot,,22错解:？x,,4a,y,3a,？r,x，y,5a3a3,4a43a3,4a4？sin,,,cos,,,,tan,,,,cot,,,,,,,5a55a5,4a43a3错因:在求得的过程中误认为0r,aa,0r,5a正解:若，则，且角在第二象限,3a3,4a43a3,4a4？sin,,,cos,,,,tan,,,,cot,,,,,,,5a55a5,4a43a3a,0r,,5a若，则，且角在第四象限,3a3,4a43a3,4a4？sin,,,,cos,,,tan,,,,cot,,,,,,,,5a5,5a5,4a43a3说明:(1)给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解;(2)本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.aa,2,[例5](1)已知为第三象限角，则是第象限角，是第象限角;,2,,,4(2)若，则是第象限角.,32k,，,,,,2k,，,,k,Z解:(1)是第三象限角，即？,2,,3？k,，,,k,，,,k,Z，4k,，2,,2,,4k,，3,,k,Z224,k当为偶数时，为第二象限角2,k当为奇数时，为第四象限角22,y而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.,3,,,4,,,(2)因为，所以为第二象限角.,2,,点评:为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、,,22四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大,最大cm,面积是多少,解:设扇形的半径为，则扇形的弧长rcml,(20,2r)cm12S,(20,2r),r,,(r,5)，25扇形的面积2l2l,10cm,,,,2r,5cmS,25cm所以当时，即时.maxr点评:涉及到最大(小)值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 确定最值的条件及相应的最值.,,1，sin1,sin,,[例7]已知是第三象限角，化简。1,sin,1，sin,22,,,,,(1，sin)(1,sin)1，sin,1，sin2sin,解:原式,,,221,sin,1,sin,cos,cos,,？cos,,0又是第三象限角，,2sin,,,2tan,所以，原式,。cos,点评:三角函数化简一般要求是:(1)尽可能不含分母;(2)尽可能不含根式;(3)尽可能使三角函数名称最少;(4)尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.[例8]若角满足条件，则在第(象限)sin2,,0,cos,,sin,,0,,A.一B.二C.三D.四,,,,sin2,0sincos,0sin,0,,,解:,,,,角在第二象限.故选B.,,,cos,sin,0cos,sincos,0,,,,,,,,tan,,0[例9]已知，且.cos,,,cos,,sin(cos)(1)试判断的符号;cos(sin,)(2)试判断的符号.lg(sin,,cos,),1,cos,,01,sin,,0解:(1)由题意，，,sin(cos),0，所以.？sin(cos,),0,cos(sin,),0,cos(sin),sin,,cos,,1(2)由题意知为第二象限角，，所以.lg(sin,,cos,),0四、典型习题导练cos,,0.5，，Psin2,,sin4,1(已知钝角的终边经过点，且，则的值为),,11,3,,,,arctanarctan,，，arctan,1A(B(C(D(,,242,,2(角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为()A.-αB.л-αC.(2kл+1)л-α(k?Z)л-D.kα(k?Z)3.若sinαtgα?0,k?Z，则角α的集合为(),,,,A([2k,，2k+]B.(2k,,2k+),,,,2222,,C.(，2k+)?2k,以上都不对D.,,2k,,,,,224(当0,x,时,则方程cos(cosx)=0的解集为(),,,,2,,,,,52,,,,,,,A.,B.C.D.下列四个,,,,,,,,,663333,,,,,,,,5(值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是()A.cos3,tg3,ctg3,sineB.sin3,cos3,tg3,ctg3C.cot3,tan3,cos3,sin3D.sin3,tan3,cos3,cot3,6(已知x?(0,则下面四式),:中正确命题的序号是.2?sinx,x,tgx?sin(cosx),cosx,cos(sinx)33?sinx+cosx,1?cos(sinx),sin(cosx),cosxππππ7(有以下四组角:(1)k+;(2)k-;(3)2k?;(4)-k+(k?z)其中终边相同,,,,2222的是()A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)若8(角α的终边过点(sin30?，-cos30?),则sinα等于()1133A.B.,C.,D.,2223,2cos(x,),19(函数y=的定义域是______,值域是______.,33.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1(同角三角函数的基本关系式,sin22,tan,tan,,cot,,1平方关系:;商数关系:;倒数关系:sin,，cos,,1cos,同角三角函数的基本关系式可用图表示(1)三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方;(2)对角为倒数关系;(3)每个三角函数为相邻两函数的积.k,z2(诱导公式()角函数正弦余弦记忆口诀cos,，,sin,2k,函数名不变,，,sin,,,cos,符号看象限,,cos,sin,,,,,sin,,cos,cos,2,,,sin,,cos,,sin,,,2,cos,函数名不变sin,，,2符号看象限,3sin,,,cos,,,2,3sin,,cos,，,2诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.3(诱导公式解决常见题型(1)求值:已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数;(2)化简:要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.二、疑难知识导析1(三角变换的常见技巧sin,，cos,sin,,cos,sin,,cos,“1”的代换;，，三个式子，据方程思想22知一可求其二(因为其间隐含着平方关系式);sin,，cos,,12(在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角;3(已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.,,在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲1sin,，cos,,，,,(0，,)，则cot,,[例1]已知__________5121sin,,cos,,,与sin,，cos,,，错解:两边同时平方，由得255222,,,,,,,,(sin,cos),sin，2sin,cos，cos,4sincos2,,,,,(sin，cos),4sincos497,？,,,,,sincos255433sin,,，cos,,,，进而可求cot,.,cot,,?解得:455344sin,,,，cos,,，进而可求cot,.,cot,,或解得:355sin,,cos,,0错因:没有注意到条件时，由于,,(0,,)sin,,cos,所以的值为正而导致错误.1sin,，cos,,，,,(0，,)，正解:5121sin,,cos,,,,0与sin,，cos,,联立，两边同时平方，有255433sin,,，cos,,,，,cot,,求出?455[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a,1,0,b,1，求tanA的值sinA,asinB?,a错解:由得tanA=tanB,bcosA,bcosB?,错因:对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示sinA,asinB?,222222正解:由?+?得asinB+bcosB=1,cosA,bcosB?,222a,11,b1,b22?cosB=?sinB=?tan2B=22222a,1a,ba,b21,b?B为锐角?tanB=2a,12a1,ba?得tanA=tanB=2bba,1?1，cos2xxx[例3]若函数的最大值为2，试确定常数a的值.f(x),,asincos(,,),224sin(，x)222cosxxx解:f(x),，asincos4cosx221a,cosx，sinx2221a1，,,,,sin(x，),其中角满足sin,2441，a21a由已知有，,4.44解之得,a,,15.,，,,,,,点评:本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基2础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.,tan例4][已知=2，求2,6sincos,,，tan()，(1)的值;(2)的值(,43sin2cos,,,,2tan,，2242解:(1)?tan=2,?;,,,,tan,2,2,143,1tan24,,，1tantan，,1tan1，,,34所以=;,,tan()，,,,4,741tan,,1，1tantan,,3446()1,，6sincos,,，6tan1,，473(2)由(I),αtan=,,所以==.,433sin2cos,3tan2,6,,,3()2,,3点评:本题 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.4n,14n，1sin(,,,)，cos(,,,)(n,z)[例5]化简:44,,,sin[,n,(，,)]，cos[n,，(,,)]错解:原式44,,,,,,sin(，,),cos(,,),sin[,(,,)],cos(,,)44244,,,cos(,,),cos(,,),044错因:对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.,,,sin[,n,(，,)]，cos[n,，(,,)]正解:原式44(1)当，时n,2k，1(k,z),,,sin[2k,，,,(，,)]cos[2k,，,，(,,)]原式+44,,,,,sin(，,),cos(,,),cos(,,),cos(,,)=04444(2)当，时n,2k(k,z),,,sin[2k,,(，,)]cos[2k,，(,,)]原式+44,,,,sin(，,)]cos(,,)+=044,,12,,,,sin,,[例6]若,，则cos2,=(，,,,,633,,,,)7117,,A(B(C(D(9339,,,,27,,2cos[,,(,2,)]cos(,2,)sin(,,)错解:cos2,===1—2=，,,93363,,错因:诱导公式应用符号错.,,2,,cos[,,(,2,)]cos2,正解:，=,,33,,,,72cos(,2,)sin(,,)=—=—1+2=—.故选A.9361,,,x,0,sinx，cosx,[例7](已知.25(1)求sinx,cosx的值;xxxx223sin,2sincos，cos2222求的值(2).tanx，cotx1122sinx，cosx,,平方得sinx，2sinxcosx，cosx,,解法一:(1)由525244922sinxcosx,,.？(sinx,cosx),1,2sinxcosx,.即25257,？,,x,0,？sinx,0,cosx,0,sinx,cosx,0,sinx,cosx,,.又故25xxxxx2223sinsincoscos2sinsinx1,，,，22222(2),sinxcosxtanxcotx，，cosxsinx,sinxcosx(2,cosx,sinx)121108,(,)，(2,),,2551251,xxsin，cos,,,?解法二:(1)联立方程5,22,?，cosx,1.,sin12sinx,,cosx,25cosx,5cosx,12,0,将其代入?，整理得由?得53,sinx,,,,34,,5？cosx,,cosx,.,,x,0,？或？,4552,cosx,.,5,7故sinx,cosx,,.5xxxx223sin,sincos，cos2222(2)，cotxtanxx22sinsinx1,，2,sinxcosx，cosxsinx,sinxcosx(2,cosx,sinx)3443108,(,)，，(2,，),,5555125点评:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.22,cossinα22化简:+cosαcscα[例8](1)，22secα,1csc,,1π1(2)设sin(α+)=,,且sin2α,024求sinα,tanα22sinααcos22解:原式=αcscα，+cos22tanαcotα2222=cosα+sinα+cosαcscα2=1+cotα2=cscαπ11(2)解:由sin(α+)=-α=-?cos?sin2α,0?2kπ,2α,2kπ+π244πkπ,α 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 .y,Asin(,x，,)(A,0,,,0)4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式(组).要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式(组).型，这要变形成5.求三角函数的值域是常见题型.一类是y,asinx，bcosx22;二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换y,a，bsin(x，,)成一元二次函数在定区间上的值域.,x，,6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，y,Asin(,x，,)(A,0,,,0),,k,2k，(k,z)2,x，,,,如求增区间可由解出的范围.若的系数为负,,xx22数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.三、典型例题导讲,,,yx,sin2,[例1]为了得到函数的图像，可以将函数的图像()y,cos2x,,6,,,,,,向右平移AB向右平移C向左平移D向左平移6363错解:A错因:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.正解:Bx,,y,sinx1，tanx,tan[例2]函数的最小正周期为(),,2,,,,32,ABCD,22错解:AT,,错因:将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.y,tanx正解:B,,[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对44称的三角函数有(个).A(1B(2C(3D(4错解:B错因:对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.正解:D,y,2sin(,2x)(x,[0,,])[例4]函数为增函数的区间是()6,,,,,,755[0,][,][,][,,]A.错解:BB.C.D.31212366错因:不注意内函数的单调性.正解:C2例[5]已知定义在区间上的函数的图像关于直线[,,,,]y,f(x)3,2,,,x,,对称，当时，函数，x,[,,,]f(x),Asin(x，)(A,0,,0,,,,),,,,66322y其图像如图所示.21求函数在(1)[,,,,]的表达式;y,f(x)3,,,2x求方程的,o,2f(x),(2)解.π,632,x,,2,,,6x,[,,,]f(x),Asin(,x，,)(A,0,,,0,,,,,)解:(1)当时，函数，观察6322,,f(x),sin(x，)A,1,,,1,,,图像易得:，即时，函数，33,,x,,y,f(x)x,[,,,,]由函数的图像关于直线对称得，时，662,,,,sin(，),[,,]xx,363(),fx,f(x),,sinx函数.?.,,sin,[,,,)xx,,6,2,,2sin(x，),x,[,,,]当时，由得，(2)633235,,,,,x，,或,x,,或x,;3441212,,3,2x,,或x,,x,[,,,,],sinx,当时，由得，.446235,,,,2{,,,,,,}f(x),?方程的解集为44121223.5解三角形及三角函数的应用一、知识导学1.解三角形的的常用定理:A，B，C,,(1)内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.abcR,,,2R(2)正弦定理:指(?ABC外接圆的半径)sinAsinBsinC111(S,absinC,bcsinA,acsinB)222222(3)余弦定理:及其变形.，ab,2abcosC,c222(4)勾股定理:Rt,ABC中a，b,c2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.(2)函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路;其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题;再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值;最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.二、疑难知识导析1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.三、经典例题导讲2[例1]已知方程(a为大于1的常数)的两根为，，tan,tan,x，4ax，3a，1,0,,,，,,,,tan且、，则的值是_________________.,,,,,,222,,2错解:是方程的两个根？tan,,tan,x，4ax，3a，1,0，？tan,，tan,,,4atan,,tan,,3a，1,,tan，tan，,,,4a4，，tan,,2.,，,由tan===可得32，，1,tan,,tan,1,3a，12错因:忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错tan,,tan,x，4ax，3a，1,0误.？a,1,0正解:，？tan,，tan,,,4atan,,tan,,3a，1,o2是方程的两个负根？tan,,tan,x，4ax，3a，1,0，,,,,,,,,,,,,,,,,又？,,,,0即,,,0,,,,,,,,,,22222,,,,,,,,tan，tan,4a，,,4，，tan,,2.,，,tan由===可得32，，1,tan,,tan,1,3a，1答案:-2.,ABC[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则aa,b?若，则在R上是增函数;f(x),(sinA,sinB),x222,Rt,?若，则ABC是;a,b,(acosB，bcosA)cosC，sinC?的最小值为;,2cosA,cos2B?若，则A=B;3A，B,,?若，则，其中错误命题的序号是_____.，tanA)(1(1，tanB),240,C,,错解:???中未考虑.错因:?中未检验.正解:错误命题??.?a,b,sinA,sinB,？sinA,sinB,0？f(x),(sinA,sinB)x在R上是增函数。222222?a,b,c,a,b，c,则,ABC是Rt,.,,sinc，cosc,2sin(c，),当sin(c，),,1,?时最小值为.,244显然.得不到最小值为.,20,c,,,?cos2A,cos2B,i,2A,2B,A,B？A,B或(舍)，.2A,2,,2B,A,,,B,A，B,,?，tanA1，tanB，tanA,tanB,2,1,tanA,tanB,tanA，tanBtantanA，B,1tan()1？,，即A，B,，？A，B,1tantan4,A,B？错误命题是??.sinxcosx[例3]函数f(x)=的值域为______________.，sinx，cosx1，，2121错解:,,,,,,2222，，t,1t,sinx，cosxt,,1g(t),,,1错因:令后忽视,从而2，,,，2121,,正解:,,,,1,,1,,，,,,,,,2222，cot20:cos10:，3sin10:tan70:,2cos40:[例4],【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解:cot20:cos10:，3sin10:tan70:,2cos40:0000cot20cos103sin10sin700,，,2cos4000sin20cos700000cos20cos10，3sin10cos200,,2cos400sin20000cos20(cos103sin10)，0,,2cos400sin20000002cos20(cos10sin30sin10cos30)，0,,2cos400sin2000002cos20sin402sin20cos40,,0sin20,2【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.[例5]在锐角?ABC中，A,B,C,且B=60?,3,1=,求证:a+2b,2c.(1，cos2A)(1，cos2C)21解:?B=60??A+C=120?cos(A+C)=-23,122又由已知=锐角??ABC中，cosA,0，cosC,0，2cosA,2cosC23,13，1?cosAcosC=sinAsinC=443?cos(C,A)=即C,A=30?2?A=45?B=60?C=75?2，6?a+2b=2R(sin45?+2sin60?)=2?2R=2?2Rsin75?=2c4[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中，AB,322设?APB与?PQB面积为S、T，求S+T的取值范围.AP,PQ,QB,1,л解:设?BAP=αα?[0,]2?BQP=β,在?PAB,?PBQ中由余弦定理cosβ=cosα-1312222?S+T,(sinα)+(sinβ)221372,,(cos,)+,282323,322?当cosα=1时，S+T有最小值41722当cosα=时，S+T有最大值823[例7]已知函数f(x)=sin(,x+,),x,R,(其中,>0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N,6,0,,又f(2+x)=f(2,x),f(0)<0,求这个函数的解析式.解,f(2+x)=f(2-x)？f(x)关于x=2对称,又x轴在原点右侧的第一个交点为N,6,0,？2,,T,=6-2=4,即T=16,=.？？,T48,,3将N,6,0,代入f(x)=sin(x+,)得,sin(+,)=0,48,,5得,,=2k+或,=2k+(k,Z),,,44,,55f(0)<0,满足条件的最小正数,=2k+(k,Z),,=,？？,44,,5所求解析式f(x)=sin(x+).？84BCCAAB,,[例8]已知?ABC的周长为6，成等比数列，求(1)?ABC的面积S的最大值;(2)BA,BC的取值范围.BCCAAB,,解设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b?=ac，22222acbacacacac，,，,,21由余弦定理得,cosB,,,,2222acacac,acb，,602,,b0,,B故有，又从而bac,,,,322111,22,,,,,,所以，即SacBbBsinsin2sin3S,3max2223(1)22222()2a，c,ba，c,ac,b所以(2)cosBA,BC,acB,,2222(6)3,,bb2，，(3)27b2,,,，？0,b,2,？2,BA,BC,18四、典型习题导练BAA1.在Rt?ABC中,C=90?,则sinAcos2(45?,)-sincos22211A.有最大值和最小值0有最大值但无最小值B.441C.即无最大值也无最小值D.有最大值但无最小值2л2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-)的图像()4ллллA.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移88443(电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数,A,sin(,t，)(A,0,,,0)I=的图像如图61t,所示，则当秒时，电流强度是安.50ABC1sinsin4.在?ABC中,sin=,则?ABC的形状2228为(5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是.226(如果方程x-4xcosθ+2=0与方程2x+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求θ值，其中0,θ,π.,7.如图，已知一半径为1，圆心角为的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，3求该矩形的最大面积.,acbAC，,,,2，8(在分别是角A、B、C的对边，设，求sinB,ABCabc中，、、3的值.