第三章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)

§3.1　函数的概念及其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示3．1.1　函数的概念第1课时　函数的概念(一)学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}思考1　在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？答案　确定，一一对应．思考2　如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？答案　不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．特别提醒　理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　×　)2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　×　)3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　×　)4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　×　)一、函数关系的判断例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值答案　AD解析　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是．(学生)反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1　已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是(　　)A．①B．②C．③D．④答案　D解析　只有y＝|x|是符合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意的对应关系．二、求函数值例2　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))．解　(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝＝.(2)g(f(x))＝＝＝.(教师)延伸探究1．本例的条件不变，求f(f(x))，g(g(x))．解　f(f(x))＝2(f(x))2＋2＝2(2x2＋2)2＋2＝8x4＋16x2＋10，g(g(x))＝＝＝.2．本例的条件不变，若f(a＋1)＝g＋a＋1，求a的值．解　由f(a＋1)＝g＋a＋1得2a2＋3a＋1＝0，解得a＝－1或a＝－.(学生)反思感悟　函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．跟踪训练2　若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值．解　f(0)＝＝1，f(1)＝＝0，f(1－a)＝＝(a≠2)，f(f(2))＝＝＝2.三、求函数的定义域例3　求下列函数的定义域：(1)y＝3－x；(2)y＝；(3)y＝；(4)f(x)＝.解　(1)函数y＝3－x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得－1≤x<1.因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}．(学生)反思感悟　求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．跟踪训练3　求下列函数的定义域：(1)y＝－；(2)y＝＋.解　(1)由得所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(2)由得x≤－或2≤x<4，所以定义域为.函数的判断典例　在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥C．②③④ D．①②③⑤答案　D解析　①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．[素养提升]　(1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养．(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．1．已知函数f(x)＝，则f 等于(　　)A.B.C．aD．3a答案　D解析　f ＝＝3a.2．下列函数中定义域为R的是(　　)A．y＝ B．y＝(x－1)0C．y＝x2＋3 D．y＝答案　C解析　A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数答案　AD解析　由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．4．若f(x)＝，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.答案　－　解析　f(3)＝＝－，f(f(－2))＝f ＝.5．函数y＝的定义域是____________________________________________．答案　{x|x≥－1且x≠1}解析　由题意可得所以x≥－1且x≠1，故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．1．知识 清单 安全隐患排查清单下载最新工程量清单计量规则下载程序清单下载家私清单下载送货清单下载 ：(1)函数的概念．(2)求函数值．(3)求函数的定义域．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．1．(多选)下列四种说法中，正确的有(　　)A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素答案　ACD解析　由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．2．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　　)A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2答案　A解析　f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　)A．f：x→y＝x B．f：x→y＝xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝x答案　ABC解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．4．函数f(x)＝的定义域为(　　)A. B.C. D.答案　D解析　要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0.5．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)答案　B解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．6．若f(x)＝，则f(1)＝________.答案　解析　f(1)＝＝.7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.答案　－解析　由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．答案　8解析　利用列表法确定函数的个数． f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5 f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f(3) 4 5 4 5 4 5 4 59.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝＋＋4；(2)f(x)＝.解　(1)要使函数式有意义，必须满足即所以≤x≤，即函数的定义域为.(2)要使函数式有意义，必须满足即解得所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．10．已知函数f(x)＝－.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4且x≠1}．(2)f(－1)＝－＝－3－.f(12)＝－＝－4＝－.11．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　)A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|答案　A解析　对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．12．若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．答案　解析　要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>.综上可知，m的取值范围是.13．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－1)的定义域是________．答案　{x|0<x<2}解析　由题意知即解得0<x<2，于是函数g(x)的定义域为{x|0<x<2}．14．若对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________，f(－1)＝________.答案　2　0解析　对∀x∈R，有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，令x＝1，则2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，则2f(－1)－f(1)＝－2.②由①②解得f(1)＝2，f(－1)＝0.15．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f()＝________.答案　解析　因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝，得f(2)＝f()＋f()，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f()，又f(8)＝3，所以f()＝.16．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)与f ，f(3)与f ；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f 有什么关系吗？证明你的发现；(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2020)＋f 的值．解　(1)由f(x)＝＝1－，所以f(2)＝1－＝，f ＝1－＝.f(3)＝1－＝，f ＝1－＝.(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f ＝1.证明如下：f(x)＋f ＝＋＝＋＝1.(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f ＝1，f(4)＋f ＝1，…，f(2020)＋f ＝1.∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2020)＋f ＝2019.