高等数学课后习题答案--第四章不定积分

第四章不定积分典型例题解析例1求下列不定积分.(1)dxx2x(2)(,x1)(.x31)dx•分析利用幕函数的积分公式xndx11xn1C求积分时，应当先将被积函数中幕函n1数写成负指数幕或分数指数幕的形式.解(1)dxV厶hy15X"1(2)C3C•2x.x(2)(.x1)(x31)dx231(x2x2x21)dx13xxC353分子分母都含有偶数次幕,例2求（x-1）2dx•解122(x真)dx(x12x2$dxxx2dx12x2dx1-dxx13x344x3lnxC•例3求下列不定积分.(1)xx2e52=dx•3x(2)3x42x3x21.dx1分析将被积函数的平方展开，可化为幕函数的和.分析(2)（1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式;将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式.(2)(1)3x43x212dxx21求下列不定积分.241xx22dx•x(1x)分析x—dx（汕3x2dx(2)（i畑—dxx（e）x1In3arctanx(3)根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形,x5（3）C•In2In31dx•x2(1x2)例如：分解因式、直接41xx,解(1)22dxx(1x)拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解.11（122）dxx1xdxA^dxx(3)(4)(3)(4)(2)4xdx(3)22x(1x)arctanxC.(x41)12dx1x222(x1)(x1)1dx1x2dx(1)(3)分析(x21)dx1dx1x2!x33arctanxC22x(1x2dxxdx-arctanxx求下列不定积分.1dx.1cos2x2cotxdx.当被积函数是三角函数时,(2)(4)的形式转化,(2)(3)(4)(1)cos2xdx.cosxsinxcos2x,dx.sinxcosx常利用一些三角恒等式,将其向基本积分公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中有这就要求读者要牢记基本积分公式表.(1)1cos2xdxcos2xdxcosxsinx2cotxdxcos2x(cscsin2xcos2xdx求下列不定积分.99(7x9)dx.2x32dx.(cosx)11dxtanxC.2cosx2.2cosxsinx,dxsinxCOSX(cosx2:x1)dx2cosxsinx)dxsinxcosxC.cotxxC.・2sinx22dxsinxcosx—^dxsinxLdxcosxcscxdxsec2xdxcotxtanxC.(2)x(ax21x(11b沪dx.(a0)—dx.x)的积累.而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径.因此需要牢记基本积分公恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化(5)1sin(Inx)dx•x(7)cosxdx2sinx6sinx12(6)-^2cos(^)dx•xx(8)212dx・cos2x,1tan2x(9)1cotx,2dx•sinx(10).2arcsinx.1：(11)(arctanx)21x2dx分析这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法.(1)99199(7x9)dx歹(7x9)d(7x9)1700(7x9)1002nx(axb)ndx丄(axI2a丄2b)nd(axb)n(ax2b)耶Cb)2a(n1)(axb)C2x・1dxcotx(cotx)C•13C•32dx—3~2-tanx(cosx)3(cosx)3(2)(3)(4)dx2―d茫22arcta门肩C•x(1x)1(、x)2(5)(6)(7)(8)(9)1sin(Inx)dxx-2cosxdxxxcosxdx~~2~sin(Inx)d(lnx)cos(lnx)C•111cos—d(—)sinC•xxd(sinx3)sinx6sinx121arctansin:3731cos2x.1tan1cotx.dxsinx—dx2x[1(sinx3)2331d(tanx)arcsin(tanx).1tan2x1(cotx)2]d(cotx)dcotx1(cotx)2dcotx(10).2arcsinxdx1x2arcsin2xd(arcsinx)(arcsinx)33(11)(arctanx)21x2dx2dx1x2(arctanx)21x2dxd(1x2)1x23(arctanx)2d(arctanx)如1x2)2(arctanx)注用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验式，这样凑微分才会有目标•下面给出常见的12种凑微分的积分类型.1f(axnb)xn1dxf(axnb)d(axnb)(a0);naf(ax)axdx—f(ax)dax;Inaf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx);适用于求形如sinmxcos2n1xdx的积分，（m,n是自然数）f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx);适用于求形如sin2m1xcosnxdx的积分，(m,n是自然数)2f(tanx)secxdxf(tanx)d(tanx)；适用于求形如tanmxsec2nxdx的积分，(m,n是自然数)2f(cotx)cscxdxf(cotx)d(cotx)；适用于求形如是cotmxcsc2nxdx的积分，（m,n是自然数）1f(lnx)—dxf(lnx)dlnx;x(8)1f(arcsinx)-dxV1x2f(arcsinx)d(arcsinx);(9)(10)1f(arccosx)—dxV1x2f(arccosx)d(arccosx)；f(arctanx)dxf(arctanx)d(arctanx);(11)f(arcc(°tx)dxf(arccotx)d(arccotx);x(12)f(x)dxf(x)1f(x)d(f(x))；例7求下列函数的不定积分：(1)cos3xdx•(2)sin4xdx•(3)sin7xcos(-3x)dx•(4)6cscxdx•4(5)sinxcosxdx(6)secxtan5xdx分析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角和差公式等.解（1）被积函数是奇次幕，从被积函数中分离出cosx，并与dx凑成微分d(sinx),再利用三角恒等式sin2xcos2x1,然后即可积分.cos3xdxcos2xd(sinx)2(1sinx)d(sinx)dsinxsin2xdsinxsinx1.3sinx3(2)被积函数是偶次幕,基本方法是利用三角恒等式.2sinxcos2x，降低被积函数的幕次.sin4xdx(13(8cos2x2,)dx21cos2xi-cos4x)dx1sin2x41sin4xC.32(3)利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式.1sin7xcos(£3x)dx[sin(4x-)sin(10x-)]dx1sin(4x8〔cos(4x81)d(4x)sin(10x44201)cos(10<)C.42044）d（10<4）（4）利用三角恒等式CSCsecxtan5xdxsecxtan4xd(secx)secx(secxx12F2cotx及cscxdxd(cotx).6cscxdx2(csc22x)cscxdx22(1cotx)d(cotx)(12cot2xcot4x)dcotxcotx3cot3x5cot5xC.(5)因为sin3xdx29sinx(sinxdx)sinxd(cosx)，所以sin3xcos4xdx24sinxcosxd(cosx)24(1cosx)cosxd(cosx)cos4xd(cosx)cos6xd(cosx)21)d(secx)642(secx2secxsecx)d(secx)17secx75secx51517cosxcosx57(6)由于secxtanxdxd(secx)，所以注利用上述方法类似可求下列积分(1)(1)sin3xdx、cos2xdx、625cos3xcos2xdx、secxdx、sinxcosxdx,请读者自行完成.(1)分析求下列不定积分：dxxx•ee可充分利用凑微分公式：dxe*dxxzX2e(e)1(1)(2)dxxx•eedxdex；或者换元，令u1(3)1厂xe.gdx•(2)解法dxxeex2(e)1dx然后用公式dxXaXaC，则1In2adxxxee解法dxx4dex(ex)21x1(d(e1)2((3)解法dx解法解法3-dexarctanexC.1&dex，C•!|n211x(xx)dee1e1xd(e1))ydxdxexe,11C•lln2XAe1du〔duuuxeIn(厂7)C1e注在计算不定积分时,.XX1eedx1edx-1xln(1(1dx1exdx，则有(丄+)duu1ux-e^x)dx1ex\e)1)Fln(ex1)C•|n代)Cln(e1)C•用不同的方法计算的结果形式可能不一样,但本质相同.验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的.求下列不定积分:Intanxdx•sinxcosx(2)arcta"'•(1x)分析在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分.(1)IntanxdxsinxcosxIntanx,厂dxtanxcosxlntanxd(tanx)Intanxd(lntanx)tanx12In(tanx)C.(2)arctan.xdx2-x(1x)arcta门斥”厂1(x)2xarctanxd(arctanx)(arctanx)2C.例10arctan1求T^dx.分析若将积分变形为arctan12d(arctanx)，则无法积分，但如果考虑到凑出x1arctan-积函数变形为x1(-)2x再将与dx结合凑成d(-)，则问题即可解决.x1arctan-x1x2dx1arctan—x1(-)2x1arctan‘—^d(l)1(Sxx11arctan—d(arctan—)xx例11分析Inxdx.(xInx)2仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知1Inx*12dx2d(xInx)(xInx)2(xInx)21CxInx例12(04研)已知f(ex)xe且f(1)0,分析先求f(x)，再求f(x).(xlnx)1Inx.则f(x)解令ext,即xInt，从而f(t)由f(1)0，得Cf(x)%xInxd(lnx)0,所以f(x)1|n2x.例13分析求sin2x2sinx被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式,也可利用万能公式代换.解法1dxsin2x2sinxdx2sinx(cosx1)xd-2.xsincos2xdtan—2x2xtan—cos-2xtan—2xtan—2!tan2x81In4xtan2解法2令tcosx，则dxdxsinxdxsin2x2sinx2sinx(cosx1)22sinx(1cosx)解法3例14dt—2(1t)(1t)1(ln|1t|In|181ln(1cosx)x令ttan—，贝ysinx2dxsin2xdx求mt|8In(12sinx2tT4cosx)cosx1-dtt-tan2-824(1cosx)1t21t28dx1-ln|t|4*dt，则l|n4x吧1C.被积函数含有根式，解设x1t，即xt2分析般先设法去掉根号,1,dx2tdt，则dx1、•.x2t2ln1这是第二类换元法最常用的手段之一.(1—)dt1t2厂12In(1.x_1)C例15求dx分析被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数.解令45xt,dx4t3dt，贝Udx~x寸5~x4(t1")dt例16dx3(x例17分析4(lt2t24[丄~x2ln1t)ln(14厂X)]C.3(x1)2(x1)4解令t，即xdx吾ydt，则dx1)2(x—1)4t221(16t门dt_t(1t3)2t3)23(L)3C.2x1求x24x2dx.被积函数中含有根式.4x2,可用三角代换x2sint消去根式.解设4x22cost(0t-),dx2costdt，则x24x2dx24sint2cost2costdt4sin22tdt2(1cos4t)dt2tin4tC22t2sintcost(12sin2t)Cxx2122arcsin22厂(12x)C.注1对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形.注2在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论•对三角代换，只要把角限制在0到，则不论什么三角函数都取正值，避2免了正负号的讨论.1例18求^dx.(1x)分析虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分.、2224解设xtant,dxsectdt,1xsect，则2丄1.sect2丄77dx—dtcostdt(1x)sect3311丄(1cos2t)dt-t22^arctanx(1例19求一dx.x〔sin2t4分析被积函数中含有二次根式x将被积函数化成三角有理式.解令xasect,dxasecttantdt,但不能用凑微分法，故作代换xasect,——dxxatantasecttantdtasect29tantdta(sect1)dta(tantt)CF22a(xaaarccos?)x例20求4x-dx•8解由于x24x(x2)24，故可设222tant,dx2sectdt,(2tant22)2sectdt2sect2secttantdt2sectdt2sect2lnsecttantCix24x82ln(x2x24x8)C.CCi2ln2注被积函数含有根式.ax2bxc而又不能用凑微分法时,.ax2bxc「x2a)24acb24a2可作适当的三角代换,-a、(x使其有理化.dx例21求7(72x4)3dxx2x4)dx2-，[3(x1)]22a)2b24ac4a23tant4dx[3(x1)2]2dx2xsectdtdtsect1costdt3]sintCC•33、.x22x4(x22x4)(a2t2评3a23/22门(ax)23a2当x0时，有相同的结果•故22-ax」x22x4例22求~42dx•x4(x21)分析当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时,1dx—dt,丄dtt21可尝试用倒代换.解令x—2dxx4(x21)4dtt21(t21)dtarctantC1arctanC.x注有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例.22例23求.ax.4dx.xdx学，则ax,4dxx1(a2t21)2tdt•当x0时,•a2~72xdx22(at1221)2d(at1)2a3a2x注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量.使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换.用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题:(1)(2)换元后的被积函数的原函数存在.(3)求出原函数后一定要将变量回代.常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换.根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛.而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幕.常用第二类换元法积分的类型:(1)f(x,n，ax~b)dx,令tVax~b.(2)f(x,nax—b)dx,令tVcxdn{axb-cxd(3)f(x,a2b2x2)dx，可令acost.b(4)f(x,a2b2x2)dx，可令!tant或x(5)f(x,b2x2a2)dx，可令-sect或xb用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零.(6)当被积函数含有.px22qxr(q4pr0)时，利用配方与代换可化为以上(3),(4),(5)三种情形之一.中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法.1xd(e3x)解(1)xe3xdx(2)x2sin4xdxx2d(cos4x)42x—cos4x42xcos4xx3xe32cos4x41xd(sin4x)8Ixsin4x丄8323xedxx3xe33xC.122x—cos4x4xcos4xdx1xsin4x81sin4xdx8cos4xC.例24求下列不定积分：(1)3xxedx.(2)2xsin4xdx.(3)2xlnxdx.(4)arcsinxdx.(5)xarctanxdx.(6)eaxsinbxdx(a2b20).分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幕函数、指数函数、三角函数(7)当被积函数分母中含有x的咼次幂时，可用倒代换从而(3)x2lnxdx1Inxd(x33:3)xInx312,xdx333xtxlnx39C•(4)解法1arcsinxdxxarcsinxxdxxarcsinx1x21x2解法2令tarcsinx，即xsint,则arcsinxdxtd(sint)tsintsintdttsintcostCxarcsinx,1x2CC•(5)解法xarctanxdx122—arctanx22xarctanx2arctanxdx22xarctanx21(1rv)dx1arctanxC.2解法(6)解法解法2xdxx1xarctanxdx-22x~2arctanxd(x21)11arctanxdx2x21arctanx2ax(1sinbxdx匸)a1sinbxd(eax)a1ax-esinbxa1ax-esinbxacosbxd(eax)eaxcosbxdx1axesinbxaeaxsinbxdxeaxsinbxdxeaxsinbxdx注在用分部积分法求分.根据分部积分公式b；2eaaxcosxbx直aaxesinbxdxaxbaxesinbx2ecosbxaa了eax(asinbxbcosbx)eaxdcosbx,然后用分部积分，f(x)dx时关键是将被积表达式余下的解答请读者自行完成.f(x)dx适当分成u和dv两部udvuvvdu,只有当等式右端的vdu比左端的udv更容易积出时才有意义，即选取u和dv要注意如下原则:v要容易求；vdu要比udv容易积出.例25求cosxln(cotx)dx.x21x21分析被积函数为三角函数与对数函数的乘积,可采用分部积分法.cosxln(cotx)dxln(cotx)d(sinx)例26分析sinxln(cotx)sinxln(cotx)sinxln(cotx)求ln(x1x2)dx.sinx(cs€x)dxcotxsecxdxlnsecxtanxC被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法.1xx1x2x—dx.1x2x2)dxxln(x1x2)xln(x1x2)xln(x1x2)xln(x1x2)解ln(x12(1x2)2d(1.厂x2C.x2)x例27求xedx.分析可利用凑微分公式exdxdex，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换.解法1x—xedxxd(ex1)2xd(.e^1)ex12x.e1ex1dx,令tex1，则xln(1t2),dx.ex1dxt2dt订2(tarctant)G，©x2xex12ex12arctanJex1Cz2xex14ex14arctan(ex1C.解法2令•ex1tz，则TOC\o"1-5"\h\zx丄2xe’22tdx2ln(1t2)dt2tln(1t2)4牙dtex11t22tln(1t)4t4arctantC2xex14e14arctanex1C.注求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果.例28（01研）求arctanedx.ex分析被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法.解法1arctanexxedxI2xxearctane2dexe2x(1e2x)2xxxxearctaneearctane2解法2先换元，令ext，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答.例29求csc.dx.然后凑分析被积函数含有三角函数的奇次幕，往往可分解成奇次幕和偶次幕的乘积,微分，再用分部积分法.cscxd(cotx)32cscxdxcscx(cscx)dxcscxcotxcot2xcscxdxcscxcotxcscxdxcscxdxcscxcotxcscxdxIncscxcotx,从而cscxdx1（cscxcotxIncscxcotx）C.注用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况,这时只需要移项即可得到结果.例30求下列不定积分：x22x122dx.(x21)22xx2x1,e2厂dx(x1)(1)ex解（1）x1ex21dxexxdxx1x:dxx21exd(xxelnx1,)2dx.(lnx)22xdx(x1)11)xedxx21(2)lnx1dx—dxdx(Inx)Inx(Inx)xx,才dxInxx(lnx)xC.Inx注将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一.例31求sin(lnx)dx.分析这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止.解法1利用分部积分公式，则有1sin(Inx)dxxsin(Inx)xcos(lnx)dxxxsin(Inx)cos(lnx)dxxsin(Inx)xcos(lnx)sin(Inx)dx,所以sin(Inx)dx1x[sin(Inx)cos(lnx)]2解法2令Inxt,dxetdt,tt..ttsin(lnx)dx=esintdtesintesintdtesinttecostetsintdt,所以1tt1sin(Inx)dx2(esintecost)C，x[sin(Inx)cos(lnx)]例32求InInnxdx，其中n为自然数.分析这是适合用分部积分法的积分类型.解InInnxdxxlnnxnlnn1xdxxlnnxnIn1，即InxlnnxnInt为所求递推公式.而IiInxdxxInxdxxlnxxC.“地位”，否则不仅注1在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u和V两个函数的不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得.分部积分法常见的三种作用:(1)逐步化简积分形式;(2)产生循环;(3)建立递推公式.1ABC1ABC2例33求积分空4x11dx.(2x1)(2x3)(2x5)分析计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分.2解用待定系数法将竺4x11(2x1)(2x3)(2x4x24x11(2x1)(2x3)(2x5)用(2x1)(2x3)(2x5)乘上式的两端得化为部分分式之和.设5)AB2x12x32x5'4x24x11A(2x3)(2x5)B(2x1)(2x5)C(2x1)(2x3),两端都是二次多项式，它们同次幕的系数相等，即ABC1A3BC115A5B3C11113这是关于A,B，C的线性方程组，解之得A2，B4，C4由于用待定系数法求A,B,C的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A,B,C•因为等式4x24x11A(2x3)(2x5)B(2x1)(2x5)C(2x1)(2x3)1315是恒等式，故可赋予x为任何值.令x，可得A.同样，令x得B，令x-,22424x24x11,11.11.31,dxdxdxdx(2x1)(2x3)(2x5)22x142x342x5113ln2x1ln2x3ln2x5C-ln823(2x1)(2x5)2x31例34求飞空dx•x34x25x2x34x25x2是三次多项式，分解因式x34x25x2(x3x2)3(x2x)2(x1)(x1)(x23x2)(x1)2(x2)22，(x1)(x2)x2x1(x1)x5x6x5x6(AB)x2(2A3BC)x(A2B2C)1,从而2A3BA2B2C解得2dx因此（宀—dx2dx)dx1(x1)2dxInxInx35dx求(x1)(xx1)因为p1(x1)(xdx2x1)xx21，所以2(x1)(x1)例36求5xx45x22解设X5x4x45x24x25x比较两边同次幕的系数,x5x4dx5x24例37x-2x2d(x1)1)2d(xxx1)x112In(x21)d(x12(x2)1iL;341x2Inx24dx•4AxB1(A2x解得15x3534x2Cx__rx则有C)x3(BD)x2(4AC)x4Bx2Tdxx—dxx1dx•dx4xdxx41dxx15x21In6x4arctanxC•99]99]分析32x4x_是假分式,65x先化为多项式与真分式之和,再将真分式分解成部分分式之和.由于3x~T~x4x25x63x~2~xx6x25x64x25x6dx38求令ux5dx-6xx5dxx^__x3__23x,du3xdx,1313x3d(x3)x6~x32du(u1)(u2)-Inu92u199F"3(X—)dxx29lnx38ln|x2C.uduu21n(u)du!|nu192xdx.(1x)2被积函数q(1x)定A,A,…，Aoo，比较麻烦.根据被积函数的特点:1In9(x31)(x32)2例39分析是有理真分式,若按有理函数的积分法来处理，那么要确分母是x的一次因式，但幕次较高,而分子是x的二次幕,解法1令12x~X100dxx)(1可以考虑用下列几种方法求解.t,dx(1t)2dtfOOdt，则t22t1t100dt解法解法t98dt99dt100dt197t9797丄(1972丄dx100UA(1x)12t98、971x)(1492981t99x)(x1)1dx(1x)(1x)2dx(1x)998dx(1x)1(197x)979998\99x)^dx(1x)991dx100UA(1x)99dxx)(1(1(11——dx、1x)100dxx)1加1x)98199(1x)99C.用分部积分法.21応dxxd[—(1x)(1x)1009999(1x)9999(1x)992x99(1x)992x99(1x)992x99(1x)99注形如£凶Q(x)解成部分分式之和，之和.2198q99xd[98(1x)]2x[_9998(1x)981x9949(1x)981dx~798]x)197C.97(1x)(1298的(P(x)与Q(x)均为多项式)有理函数的积分关键是将有理真分式分而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式例40求,dx.32x.2x1分析这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一.32x.2xdx,32x、.2x1(.32x.2x1)(.32x.2x1产111(32x)2dx(2x441313-(32x)2-(2x1)2121211)2dx例41解法1axdxxaa2x.2dxx2dxxx.dx22ax1a—dx22ax222x)d(aaarcsinxa2x2C.a,余下的请读者自行完成54sin2xdx.分析被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数dx，则dx54sin2x5i^8ndt31d(313)154arctan(t)C333154arctan(tanx)C.333注虽然万能代换公式总能求出积分,但对于具体的三角有理函数的积分不--定是最简便的方法•通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分.dx例43求1sinxcosx解法1x令utan_，则2dx1sinxcosx22-1u_2u1u2221u1uduIn1xtan-2解法2dx1sinxcosxdxxx2sincos2cos22dx2xxcos(1tan—)22xd(2)cos2f(1tan2d(tanx)21tan°2ln1tan°2注可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类:第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换uxtan-将其化为u的有理函数的积分.2第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分.对于这类不定积分,可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分.常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法.例44求max{x2,1}dx.分析被积函数max{x2,1}实际上是一个分段连续函数，它的原函数F(x)必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分,系.解由于再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关2f(x)max{x,1}x2,x11,x1，设F(x)为f(x)的原函数，则13x3xC2,13,xC33其中C1,C2,C3均为常数，由于F(x)连续，所以1F(1)3C1F(1)C21,F(1)F(x)C1C21F(1)3C3，i32Cxi335xxC5Xii32C,xix—332max{x,1}dx于是Ci3C2,C3C2,注对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理.例45求e|x|dx•解当x0时，TOC\o"1-5"\h\zixxxedxedxeCi•当x0时，|xxxedxedxeC2•因为函数e凶的原函数在(，)上每一点都连续，所以x_x_lim(eCi)lim(eC2),x0xo'即1Cl1C2,Ci2C2,记C2C,则xex2C,x0edxexC,x0错误解答当x0时，TOC\o"1-5"\h\zixX■xedxedxeCi•当x0时，|xx■xedxedxeC2•故xxeCi,x0edxxJeC2,x0错解分析函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的.事实上，被积函数eIx在(，)上连续，故在(，)上有原函数，且原函数在(,)上每一点可导，从而连续.可据此求出任意常数Ci与C2的关系，使ex的不定积分中只含有一个任意常数.注分段函数的原函数的求法:第一步，判断分段函数是否有原函数•如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点，那么在包含该点的区间内，原函数不存在.如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在.再根据原函第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数,数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系.例46求下列不定积分:(1)1cosx(2)sine3.xcosxsinx2dx.cosx(3)cotx,dx.1sinx(4)(1)注意到sinxdxd(1cosx)及dx1cosxdx.3.sinxcosxdxd(tanx),可将原来2cos22的积分拆为两项，然后积分，即观察.2LJ^dx—dx1cosx1cosx上叱dx1cosx(2)(3)(4)xxd(tan㊁)1d(1cosx)1cosxxtan—2tan2dxln(1cosx)xxtan—22lnxcos-2ln(1cosx)Gxta22lnxcos—2oxln(2cos2)GxtanxC(CGln2).xx被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再sinxe型Ldx1sinx3xcosxsinx2cosxcosx.sinx.sinx,.dxexcosxdxetanxsecxdxsinxxd(esinx)ed(secx)sinxxesinxe(xsinx.edxsecx)sinxesecxsinx.dxsinx(1sinx)1d(sinx)sinxdxd(sinx)sinx(1sinx)1d(sinx)1sinxInsinx1sinx当分母是sinmxcosnx的形式时，常将分子的1改写成sin2x2cosx，然后拆项,使分母中sinx和cosx的幕次逐步降低直到可利用基本积分公式为止.dxdxcosxdx332csc2xdxsinxcosxsinxcosxsinxdsinxsinxIncsc2xcot2x12sin2x将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一.例472\3(1x)dx解考虑第二类换元积分法与分部积分法，令xsint，则2x23dxsin:;dttan2tsectdt(sec51sect)dt,(1x)cost53323sectdtsectd(tant)secttant3tantsectdtse(?ttant3(se(?tsect)dt.se^tdt-secttant4se£tdt.432sectdtsectd(tant)secttanttantsectdt3secttant(sectsect)dt,从而sec?tdt11secttantInsecttantC1,所以2x^3dx(1x)-sec:ttant41sec3tdt41sec:ttant41secttant81InsecttantC3xx8(1x2)21x1xC.lln16例48求解因为所以可设7cosx3sinx,dx.5cosx2sinx(5cosx2sinx)2cosx5sinx,7cosx3sinxA(5cosx2sinx)B(5cosx2sinx),即7cosx3sinxA(5cosx2sinx)B(2cosx5sinx),比较系数得5A2B2A5B解之得A1,B1，故7cosx3sinxdx5cosx2sinx(5cosx2sinx)(5cosx2sinx)dx5cosx2sinxd(5cosx2sinx)dx5cosx2sinxxIn5cosx2sinxC.例49设F(x)是f(x)的原函数，且当x0时有f(x)F(x)sinF(0)1得C1，所以F(x)Jx1sin4x1,从而2x,F(0)1,F(x)0,求f(x).分析利用原函数的定义，结合已知条件先求出F(x)，然后求其导数即为所求.解因为F(x)f(x)，所以F(x)F(x)sin22x，两边积分得2F(x)F(x)dxsin2xdx,F2(x)x」sin4xC,1cos4xf(x)F(x)2x:sin4x1228sin22xx丄sin4x14112(arctan—)C.2x4dxx