§5.3 绝对连续函数与不定积分

§5.3 绝对连续函数与不定积分§5.3绝对连续函数与不定积分教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式.教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式.定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.若对任意ε>0,存在δ>0,使得对n上的任意有限个互不相交的开区间n当时成立[a,b]{(ai,bi)}i=1,∑(bi−ai)0,存在δ>0,使得对[a,b]中的任意可测集A,当m(A)0,δ=(MLipschitz).∑(bi−ai)0,使得对[a,b]上的任n意有限个互不相交的开区间n当时成立{(ai,bi...

§5.3绝对连续函数与不定积分教学目的介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式.教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式.定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.若对任意ε>0,存在δ>0,使得对n上的任意有限个互不相交的开区间n当时成立[a,b]{(ai,bi)}i=1,∑(bi−ai)<δ,i=1n∑f(bi)−f(ai)<ε,i=1则称f(x)是[a,b]上的绝对连续函数.关于绝对连续函数显然成立如下事实:(i).绝对连续函数是连续函数.(ii).若f,g是绝对连续函数,α是实数.则αf和f+g是绝对连续函数.例1设f是[a,b]上的Lebesgue可积函数.则f的不定积分xFx()=+ftdtC()∫a(其中C是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数.证明由积分的绝对连续性(§4.2定理9),对任意ε>0,存在δ>0,使得对[a,b]中的任意可测集A,当m(A)<δ时,ft()dt<ε.于是对[a,b]上的任意有限个互不相∫Ann交的开区间n当时令则{(ai,bi)}i=1,∑(bi−ai)<δ,A=∪(ai,bi),i=1i=1n于是m(A)=∑(bi−ai)<δ.i=1nnnbbiiF(bii)−=F(a)f()tdt≤f()tdt=f()tdt<ε.∑∑∑∫∫∫aaAiii===111ii因此F是[a,b]上的绝对连续函数.143例2若f在[a,b]上满足Lipschitz条件,则f是[a,b]上的绝对连续函数.εn证明对任意令是常数则当时ε>0,δ=(MLipschitz).∑(bi−ai)<δ,Mi=1nn∑f(bi)−f(ai)≤M∑(bi−ai)<ε.i=1i=1故f是[a,b]上的绝对连续函数.■定理2绝对连续函数是有界变差函数.证明设f是[a,b]上的绝对连续函数.则对ε=1,存在δ>0,使得对[a,b]上的任n意有限个互不相交的开区间n当时成立{(ai,bi)}i=1,∑(bi−ai)<δ,i=1nb−a取自然数使得设是的一∑f(bi)−f(ai)<1.k<δ.a=x0<0,设δ是绝对连续函数定义中相应的正数.现在设ann是上的互不相交的开区间使得对每个设{(ai,bi)}i=1[a,b]∑(bi−ai)<δ.i=1,,n,i=1144a=x(i) 表明V(f)是[a,b]上的绝对连续函数.■a定理5设f是[a,b]上的Lebesgue可积函数.则f的不定积分xF()x=+f()tdtC∫a在[a,b]上几乎处处可导并且F′(x)=f(x)a.e..证明由例1知道F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在[a,b]上几乎处处可导.往证F′(x)=f(x)a.e..先证明若ϕ是[a,b]上的Lebesgue可积函数,则bx′bϕϕ()tdtdx≤(x)dx.(1)∫∫aa∫axx事实上,由于ϕ+(t)dt和ϕ−(t)dt都是单调增加的函数,§5.1定理5,我们有∫a∫abxb++′ϕϕ()tdtdx≤(xdx).∫∫aa∫abxb−−′ϕϕ()tdtdx≤(xdx).∫∫aa∫a因此bxbxbx′′+−+′ϕϕ()tdtdx≤+()tdtdxϕ()tdtdx∫∫aa∫∫aa∫∫aabbb≤+=ϕϕ+−()xdx()xdxϕ()xdx.∫aaa∫∫145即(1)成立.由§4.5定理2,对任意ε>0,存在[a,b]上的一个连续函数g,使得bx′fgdt−<ε.由数学分析中熟知的定理知道gtdt()=gx().对函数f−g应∫a∫a用(2)式,我们有bx′′bxf()tdt−=f()xdx(f()t−g())tdt+−g()xf()xdx∫∫aa∫∫aabx′b≤−+−(f()tgtdtdxgxfxdx())()()∫∫aa∫ab≤−<2()()2.fxgxdxε∫abx′由ε>0的任意性我们得到f()tdt−=f(x)dx0.因此∫∫aax′ftdt()−=fx()0a.e..此即F′(x)=f(x)a.e..■.∫a定理6设f是[a,b]上的绝对连续函数,并且在[a,b]上f′(x)=0a.e.则f在[a,b]上恒为常数.证明先证明f(a)=f(b).对任意ε>0,存在δ>0,使得对[a,b]上的任意有限个n互不相交的开区间{(a,b)}n,当()ba−<δ时,成立iii=1∑i=1iin∑f(bi)−f(ai)<ε.i=1设E0={x∈[a,b]:f′(x)=0},E=[a,b]−E0,则mE=0.对于上面的δ,由§2.3定理6(i),存在开集G⊃E,使得mG<δ.由直线使开集的构造定理,存在一列开区间{(a,b)},使得Gab=(,).ii∪iii另一方面,由于当[a,b]−G⊂E0,故对任意y∈[a,b]−G,f′(y)=0.于是存在相应的h>0,使得当y′∈(y−h,y+h)时,f(y′)−f(y)<εy′−y.这样开区间族{(ai,bi)}∪{(y−h,y+h),y∈[a,b]−G}构成了[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理,可以从中选出有限个区间,不放设为(a1,b1),,(ak,bk),(y1−h1,y1+h1),,(yl−hl,yl+hl)仍然覆盖[a,b].我们可以在点a1,b1,,ak,bk,y1,,yl之外再加上一些分点,构成[a,b]的一个分点组a=x00的任意性得到f(a)=f(b).对任意x∈[a,b],用[a,x]代替[a,b],同样可以得到f(x)=f(a).因此f在[a,b]上恒为常数.■定理7(微积分基本定理)设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼兹公式xf()xfa−=()ftdtxab′(),∈[,](2)∫a的充要条件是f(x)是绝对连续函数.证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设f(x)是绝对连续的.由推论3,f在[a,b]上几乎处处可导,并且f′是Lebesgue可积的.令xϕ()x=−fx()f′()tdt,x∈[a,b].(4)∫a由定理5知道,在[a,b]上ϕ′(x)=0a.e..根据定理6,ϕ(x)在[a,b]使恒为常数.因此ϕ(x)=ϕ(a)=f(a).代入(4)即得(2).■推论8(分部积分公式)设f,g是[a,b]上的绝对连续函数.则成立bbbfgdx′′=−fggfdx.(5)∫∫aaa证明容易知道fg是[a,b]上的绝对连续函数.利用定理7,我们有bbbf()bgb()−=f()aga()(fgdx)′′=+fgdxgfdx′.∫aaa∫∫由此即得(5).推论证毕.小结由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分.这使得Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证.习题习题五,第15题—第30题.147

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