2020年北京西城区高三数学一模试卷含答案

1/52020北京西城区高三一模数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 答在答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合𝐴={𝑥|𝑥<3},𝐵={𝑥|𝑥<0,或𝑥>2},则𝐴∩𝐵=(A)(−∞,0)(B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数𝑧=(3−𝑖)(1+𝑖),则|𝑧|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)𝑦=𝑥+2(B)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥(C)𝑦=𝑥−𝑥3(D)𝑦=2𝑥4.设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛,若𝑎3=2,𝑎1+𝑎4=5,则𝑆6=(A)10(B)9(C)8(D)75.设𝐴(2,−1),𝐵(4,1),则以线段𝐴𝐵为直径的圆的方程是(A)(𝑥−3)2+𝑦2=2(B))(𝑥−3)2+𝑦2=8(C)(𝑥+3)2+𝑦2=2(D)(𝑥+3)2+𝑦2=86.设𝑎,𝑏,𝑐为非零实数,且𝑎>𝑐,𝑏>𝑐,则(A)𝑎+𝑏>𝑐(B)𝑎𝑏>𝑐2(C)a+b2>𝑐(D)1𝑎+1𝑏>2𝑐2/57.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2√2∉𝑆,且2√3∉𝑆(B)2√2∉𝑆,且2√3∈𝑆(C)2√2∈𝑆,且2√3∉𝑆(D)2√2∈𝑆,且2√3∈𝑆8.设𝑎,𝑏为非零向量,则“|𝑎+𝑏|=|𝑎|+|𝑏|”是“𝑎与𝑏共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数𝑓(𝑥)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着𝑥轴上一点旋转180°;②沿𝑥轴正方向平移;③以𝑥轴为轴作轴对称;④以𝑥轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数𝑓(𝑥)={𝑥2+10𝑥+1,𝑥≤0|𝑙𝑔𝑥|,𝑥>0若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎∈𝑅)有四个实数解𝑥𝑖(𝑖=1,2,3,4),其中𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4,则(𝑥1+𝑥2)(𝑥3−𝑥4)的取值范围是(A)(0,101](B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(𝑥+1𝑥)6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量𝑎=(𝑥2,2),𝑏=(1,𝑥)满足𝑎·𝑏<3,则实数𝑥的取值范围是.13.设双曲线𝑥24−𝑦2𝑏2=1(𝑏>0)的一条渐近线方程为𝑦=√22𝑥,则该双曲线的离心率为.3/514.函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋4)的最小正周期为;若函数𝑓(𝑥)在区间(0,𝛼)上单调递增,则𝛼的最大值为.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,底面ABCD满足𝐴𝐷∥𝐵𝐶,且𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐴1=2,𝐵𝐷=𝐷𝐶=2√2.(Ⅰ)求证:𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1;(Ⅱ)求直线𝐴𝐵与平面𝐵1𝐶𝐷1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△𝐴𝐵𝐶满足,且𝑏=√6,𝐴=2𝜋3,求𝑠𝑖𝑛𝐶的值及△𝐴𝐵𝐶的面积.从①𝐵=𝜋4,②𝑎=√3,③𝑎=3√2𝑠𝑖𝑛𝐵这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.4/518.(本小题满分14分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行 英语 关于好奇心的名言警句英语高中英语词汇下载高中英语词汇 下载英语衡水体下载小学英语关于形容词和副词的题 水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求𝑋的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取𝑚个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中数据,以频率作为概率,给出𝑚的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥+𝑥2−(𝑎+2)𝑥,其中𝑎∈𝑅.(Ⅰ)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(2,𝑓(2))处切线的倾斜角为𝜋4,求𝑎的值;(Ⅱ)已知导函数𝑓′(𝑥)在区间(1,𝑒)上存在零点,证明:当𝑥∈(1,𝑒)时,𝑓(𝑥)>−𝑒2.5/520.(本小题满分15分)设椭圆𝐸:𝑥22+𝑦2=1,直线𝑙1经过点𝑀(𝑚,0),直线𝑙2经过点𝑁(𝑛,0),直线𝑙1∥直线𝑙2,且直线𝑙1,𝑙2分别与椭圆𝐸相交于𝐴,𝐵两点和𝐶,𝐷两点.(Ⅰ)若𝑀,𝑁分别为椭圆𝐸的左、右焦点,且直线𝑙1⊥𝑥轴,求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积;(Ⅱ)若直线𝑙1的斜率存在且不为0,四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形,求证:𝑚+𝑛=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形𝐴𝐵𝐶𝐷能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数𝑛,如果𝑘(𝑘∈𝑁∗)个整数𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘满足1≤𝑎1≤𝑎2≤⋯≤𝑎𝑘≤𝑛,且𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑘=𝑛,则称数组(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘)为𝑛的一个“正整数分拆”.记𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘均为偶数的“正整数分拆”的个数为𝑓𝑛,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘均为奇数的“正整数分拆”的个数为𝑔𝑛.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数𝑛(𝑛≥4),设(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘)是𝑛的一个“正整数分拆”,且𝑎1=2,求𝑘的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数𝑛,证明:𝑓𝑛≤𝑔𝑛;并求出使得等号成立的𝑛的值.(注:对于𝑛的两个“正整数分拆”(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘)与(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚),当且仅当𝑘=𝑚且𝑎1=𝑏1,𝑎2=𝑏2,…,𝑎𝑘=𝑏𝑚时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第1页（共7页）西城区高三统一测试数学参考答案2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C2．B3．C4．B5.A6.C7.D8.A9.D10.B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．2012．(3,1)13．6214．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,22ABADBD，所以222ABADBD，即ABAD.………………2分因为1AA平面ABCD，AB平面ABCD，所以1AAAB，………………4分又因为1AAADA，1,AAAD平面11ADDA，所以AB平面11ADDA.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,ABADAA两两垂直，故分别以AB，AD，1AA为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，………………7分在底面ABCD中，由题意，得224BCBDCD.则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，1(2,0,2)B，1(0,2,2)D，北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第2页（共7页）所以(2,0,0)AB，1(0,4,2)BC，11(2,2,0)BD，………………8分设平面11BCD的法向量(,,)xyzn，由10BCn，110BDn，得420,220,yzxy令1y，得(1,1,2)n.………………11分设直线AB与平面11BCD所成的角为，则6sin|cos,|||6||||ABABABnnn，直线AB与平面11BCD所成角的正弦值为66.………………14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件.………………2分解答如下：因为在ABC△中，πABC，所以sinsin()CAB………………4分sincoscossinABAB………………6分2ππ2ππsincoscossin3434624.………………8分在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，得sin3sinbAaB.………………11分所以△ABC的面积1933sin24SabC.………………14分选择③作为补充条件.………………2分解答如下：B1BDAA1D1CC1yxz北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第3页（共7页）在△ABC中，由32sinaB，以及正弦定理sinsinabAB，………………4分得32sin62πsinsin3BB，解得21sin2B.由2π3A，得B为锐角，所以π4B，且32sin3aB.………………6分因为在ABC△中，πABC，所以sinsin()CAB………………8分sincoscossinABAB………………10分2ππ2ππsincoscossin3434624.………………11分所以△ABC的面积1933sin24SabC.………………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010，………3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510万人.………………5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X的所有可能取值为：0，1，2.………………6分且205328CC5(0)C14PX，115328CC15(1)C28PX，025328CC3(2)C28PX.………………9分所以随机变量X的分布列为：X012北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第4页（共7页）P5141528328………………10分所以51533()0121428284EX.………………11分（Ⅲ）m的最小值为4.………………14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)fxxaxa，………………2分则π(2)tan4f，………………4分即224()1aa，解得2a.………………6分（Ⅱ）(2()2(2))(1)xfxaaxxaxx，其中(1,e)x.………………7分令0(2())(1)axfxxx，得1x，或2ax.………………8分由导函数()fx在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a，即(2,2e)a.……9分随着x变化，()fx与()fx的变化情况如下表所示：x(1,)2a2a(,e)2a()fx0()fx↘极小值↗所以()fx在(1,)2a上单调递减，在(,e)2a上单调递增.所以()fx在(1,e)上存在最小值2()ln()224aaafaa.………………11分设2()2ln2gxxxxx，(1,e)x.则()()22aagf，(1,e)2a.……12分所以()2ln2gxxx.由(1,e)x，得2ln(0,2)x，2(2,2e)x，则()2ln20gxxx.所以()gx在区间(1,e)上单调递减.北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第5页（共7页）所以2()(e)egxg，即2()()e22aagf故当(1,e)x时，2()efx.………………14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得2a，1b，则221cab.………………2分根据椭圆的对称性，知四边形ABCD是矩形.设0(1,)Ay，0(1,)By，0(1,)Cy，0(1,)Dy，将1x代入椭圆方程得2012y.………………3分所以四边形ABCD的面积0||||2||222SABADyc.………………5分（Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线1()lykxm：，………………6分联立22(),1,2ykxmxy消去y，得22222(12)4220kxkmxkm，……7分则42222164(12)(22)0kmkkm，2122412kmxxk，221222212kmxxk.………………8分所以222121212||1||1()4ABkxxkxxxx………………9分2222218(12)12kkkmk.同理，得2222218(12)||12kkknCDk.由四边形ABCD为平行四边形，得||||ABCD，即得22mn.由题意知mn，所以mn，即0mn.………………11分（Ⅲ）结论：四边形ABCD不可能为矩形.………………12分北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第6页（共7页）由（Ⅱ）知,MN两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,AC两点关于原点对称，故C的坐标为11(,)xy.由题意，得221112xy，222212xy.………………13分于是，2221212122212121ABBCyyyyyykkxxxxxx22212221112(1)2(1)2yyyy.所以AB不可能垂直于BC.所以四边形ABCD不能为矩形.………………15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4).………………3分（Ⅱ）由题意，知122kaaan≤≤≤≤，且12kaaan，得122knaaak≥，即2nk≤.………………5分所以当n是偶数时，k的最大值是2n（此时，2(2,2,,2)k共有个是n的一个“正整数分拆”）；当n是奇数时，k的最大值是12n（此时，12(2,2,,2,3)k共有个是n的一个“正整数分拆”）.………………8分（Ⅲ）当n为奇数时，由题意，得0nf；且1(1,1,,1)n共有个是n的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0ng，故nnfg.………………9分当n为偶数时，由()n是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0nf，0ng.①当2n时，n的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221fg；北京市西城区2020年4月高三数学参考答案第7页（共7页）②当4n时，由（Ⅰ）知，442fg；………………11分③当n为大于4的偶数时，因为对于n的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)kaaa，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)kkaaa共有个.且当12(,,,)kaaa不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)kkaaa共有个也不相同，所以nnfg≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n≥，所以(3,3)n有意义）所以nnfg.综上，对所有的正整数n，nnfg≤；当且仅当2n或4时等号成立.………14分 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