二面角复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的?从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的?直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征?它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每一部分都叫做射线。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。lABPQ二面角的表示l二面角-l-二面角C-AB-D二面角的画法角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边(顶点)表示法∠AOB图形以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:二面角的平面角的作法:1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法练习:指出下列各图中的二面角的平面角:二面角B--B’C--Al二面角--l--OEOO二面角A--BC--DDAOD解:过A作AO⊥于O,过O作OD⊥l于D,连AD则由三垂线定理得AD⊥l∵AO为A到的距离,AD为A到l的距离∴∠ADO就是二面角-l-的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角-l-的大小为60°在Rt△ADO中,①②③l二面角的计算:1、找到或作出二面角的平面角2、
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1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”河堤斜面例2小结一、二面角的定义二、二面角的表示方法三、二面角的平面角四、二面角的平面角的作法五、二面角的计算从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的平面角一个平面垂直于二面角面分别相交于射线PA、PB垂足为P,则∠APB叫做二面平面所组成的图形叫做二面角1、定义二面角2、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角1、如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点,则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习60º二面角例1.如图,已知P是二面角α-AB-β棱上一点,过P分别在α、β内引射线PM、PN,且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º,求此二面角的度数。CD解:在PB上取不同于P的一点O,在α内过O作OC⊥AB交PM于C,在β内作OD⊥AB交PN于D,连CD,可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a,∵∠BPM=∠BPN=45º又∵∠MPN=60º∴∠COD=90º因此,二面角的度数为90ºa二面角例2.如图P为二面角α–ι–β内一点,PA⊥α,PB⊥β,且PA=5,PB=8,AB=7,求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5,PB=8,AB=7∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解:O二面角取AB的中点为E,连PE,OE∵O为AC中点,∠ABC=90º例3.如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC=,求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角OE⊥AB,因此PE⊥AB解:二面角D二面角练习如图,已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点,线段AC,BD分别在面,内,且AC⊥l,BD⊥l,AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。lO∠OAC=120AO=BD=1,AC=2四边形ABDO为矩形,DO=AB=3练习如图,已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点,线段AC,BD分别在面,内,且AC⊥l,BD⊥l,AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。l∵BD⊥l∴AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l,AO=BD∵AC⊥l,AO⊥l,∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOOE解:在平面内,过A作AO⊥l,使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角,即∠OAC=120,二面角