北师大版九年级数学上册全一册同步练习

1　第1课时　菱形的概念及其性质 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 1　菱形的定义及对称性1．如图1－1－1，在▱ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有(　　)图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(　　)A．(3，1)B．(3，－1)C．(1，－3)D．(1，3)图1－1－2　图1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点2　菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是(　　)A．25B．20C．15D．10图1－1－4　　　图1－1－55．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－6知识点3　菱形的对角线的性质7．教材习题1.1第2题变式题如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为(　　)A．5B．10C．6D．88．已知菱形的边长是2cm，一条对角线长是2cm，则另一条对角线长是(　　)A．4cmB．2cmC.cmD．3cm图1－1－7　　图1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为(　　)图1－1－9A．(－5，4)B．(－5，5)C．(－4，4)D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.图1－1－10　　图1－1－11　13．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－12　15．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第2课时　菱形的判定知识点1　由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是(　　)图1－1－16A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．　图1－1－17知识点2　根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是(　　)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点3　根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是(　　)图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是(　　)A．AE＝AF　　　B．EF⊥ACC．∠B＝60°　　　D．AC是∠EAF的平分线图1－1－22　　　图1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是(　　)A．AB⊥ACB．AB＝ACC．AB＝BCD．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．　图1－1－2614．某校九 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时　菱形的性质与判定的综合应用　知识点1　菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是(　　)A．192B．96C．48D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是(　　)A．6　　　B．12C．24　　　D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40cm，求菱形的面积及高．　图1－1－29知识点2　菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为(　　)A．4B．6C．8D．12图1－1－30　　　图1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是(　　)A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4图1－1－3　　　　图1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．图1－1－3　　　图1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36　图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为(　　)A．52cm　　　B．40cmC．39cm　　　D．26cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断(　　)A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为________cm2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接BE.(1)求证：∠APD＝∠CBE；(2)试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8cm，宽为2cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422　第1课时　矩形的概念及其性质知识点1　矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是(　　)A.B．3C.D．22．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是(　　)A．2B．3C．4D．5图1－2－1　　　图1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是(　　)A．30°B．22.5°C．15°D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－3知识点2　矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°图1－2－4　　　图1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是(　　)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm　图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝________cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.图1－2－7知识点3　直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是(　　)A．5B．10C.D.　图1－2－810．如图1－2－8，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　　)A．15°B．25°C．35°D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为(　　)A．3B．4C．5D．6图1－2－10　　　图1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为(　　)A．5B．8C．13D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10cm，则矩形ABCD的周长为(　　)A．15cmB．18cmC．19cmD．20cm图1－2－12　　　　图1－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝________cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．图1－2－151．C　2．A　3．C　.4．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.5．B6．A　7．2.5　8．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BE＝BD.9．A　.10．C.11．证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE＝AB.在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE＝AB.∴CE＝DE.12．C　13．D　14．D15．6　16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得：DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC.(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．17．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，∴AO是△ABE的边BE上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝BC＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2××4×3＝12.第2课时　矩形的判定知识点1　根据定义判定1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是(　　)A．AB＝BCB．AO＝COC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框________．(填“合格”或“不合格”)图1－2－16　　　图1－2－173．如图1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．4．如图1－2－18，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．图1－2－18知识点2　根据对角线相等判定图1－2－195．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是(　　)A．AO＝OCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为(　　)A．4B．3C．2D．1图1－2－20　　　　图1－2－217．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 (即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是______________________．8．教材例2变式题如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝.求四边形ABCD的周长．　图1－2－22知识点3　根据直角的个数判定9．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有(　　)A．1组B．2组C．3组D．4组图1－2－2310．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．11．下列命题错误的是(　　)A．有三个角是直角的四边形是矩形B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是(　　)A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥图1－2－24　　　图1－2－2513．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是(　　)A．∠BAC＝90°B．BC＝2AEC．ED平分∠AEBD．AE⊥BC图1－2－2614．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．图1－2－2716．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．　图1－2－2817．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．图1－2－2918．如图1－2－30，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图1－2－301．C2．合格　3． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一，如∠BAC＝90°4．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．又∵∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．5．B　6．B7．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝，由勾股定理，得AB＝＝1，∴四边形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(1＋)．9．B　1012.11．C12．C　13．D　14．AC⊥BD15．证明：∵PM，PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ.∵∠APQ＋∠BPQ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90°，即∠PMQ＝90°，∴四边形PMQN是矩形．16．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，AB＝DE，∴AC＝DE，∴平行四边形ADCE是矩形．17．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，∴四边形ABCD是矩形．18．解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，如图所示，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5.(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．第3课时　矩形的性质与判定的综合应用知识点　矩形性质与判定的应用1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是(　　)A．22°，68°B．44°，66°C．24°，66°D．40°，50°4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为(　　)A．2.4B．2C．1.8D．1.5图1－2－31　　　　图1－2－325．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________cm.图1－2－33　　　　图1－2－347．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.　图1－2－359．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是(　　)A．△AFD≌△DCEB．AF＝ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF图1－2－36　　　图1－2－3710．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　)A．2B．3C．4D．411．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为(　　)图1－2－38A．4B．4.8C．5.2D．612．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则对角线AC的长为________cm.图1－2－39　　　　图1－2－4013．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．　图1－2－4115．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．图1－2－4216．2016·贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图1－2－4317．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－441．D　2.A　3.A4．D　5．20.6．5.8.7．4　8．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B　10．A　.11．B12．5　13．2AB＝BC14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，∴CE＝，同理BE＝2，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴四边形EFPH为矩形．16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．证法二：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.由折叠的性质得∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.又∵DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝＝，BE＝2AE＝，∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝＋＝2.17．解：(1)证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，∴∠ABC＝∠DBF.又∵BA＝BD，BC＝BF，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．(2)①∠BAC＝150°②AB＝AC≠BC③∠BAC＝60°3　第1课时　正方形的性质知识点1　利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．图1－3－1　　　图1－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.　图1－3－3知识点2　利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为(　　)A．10°B．12.5°C．15°D．20°图1－3－4　　　图1－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．　图1－3－6知识点3　利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(　　)A．8B．4C．8D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点4　正方形对称性的应用10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是(　　)A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)图1－3－9　　　图1－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(　　)A．45°B．55°C．60°D．75°图1－3－11　　　图1－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．图1－3－13　　　图1－3－1415．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.　图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．22.－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.5　6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝DC，BF＝BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝×4＝2，CE＝CF＝×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.10．C11．10　12.C13．414．3cm15．(0，21009)　16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即AM⊥DF.17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AG＝AF，∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝BM＝DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.第2课时　正方形的判定知识点1　用定义判定正方形1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　　)A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点2　利用菱形判定四边形是正方形3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是(　　)A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(　　)A．22.5°角　　B．30°角C．45°角　　D．60°角5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－18知识点3　利用矩形判定四边形是正方形6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)　图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是__________________________．8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．　图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是(　　)A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形　图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方