【全国通用-2019年高考推荐】高三数学（理科）高考一模试题及答案解析二

最新高考数学一模试卷（理科）　一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的最小正周期为（　　）A． B． C．π D．2π2．设函数，则f[f（1）]的值为（　　）A．﹣6 B．0 C．4 D．53．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（　　）A．10 B．11 C．12 D．274．若α是第二象限角，，则=（　　）A． B． C． D．5．已知f（x）=ax3+b3+4（a，b∈R），f[lg（log32）]=1，则f[lg（log23）]的值为（　　）A．﹣1 B．3 C．7 D．86．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（　　）A．1 B．2 C．t D．2t7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（　　）A． B．2 C． D．38．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当的值取到最大值时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°　二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，则A∩B=______，A∪B=______，A∩（∁RB）=______．10．已知命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为______，该否命题是一个______命题．（填“真”，“假”）11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为______，体积为______．12．若函数f（x）是幂函数，则f（1）=______，若满足f（4）=8f（2），则=______．13．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD所在直线的所成角为60°，则|EF|=______．14．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为______．15．已知等差数列{an}满足a9＜0，且a8＞|a9|，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，当Sn取得最大值时，n的值为______．　三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．17．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．18．已知函数f（x）=x2+ax+1，（Ⅰ）设g（x）=（2x﹣3）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．19．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．20．数列{an}各项均为正数，a1=，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0）．（1）求++的值；（2）若c=，是否存在n∈N*，使得an＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．　参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析　一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的最小正周期为（　　）A． B． C．π D．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数的周期公式即可求值得解．【解答】解：∵=2sin（2x+），∴最小正周期T==π．故选：C．　2．设函数，则f[f（1）]的值为（　　）A．﹣6 B．0 C．4 D．5【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数，则f[f（1）]=f（1﹣4）=f（﹣3）=﹣6．故选：A．　3．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（　　）A．10 B．11 C．12 D．27【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=2x+3y+4为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为11．故选：B．　4．若α是第二象限角，，则=（　　）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得的值．【解答】解：∵α是第二象限角，=，∴+α为第三项象限角．∵+=1，sin（）＜0，cos（）＜0，求得=﹣，故选：A．　5．已知f（x）=ax3+b3+4（a，b∈R），f[lg（log32）]=1，则f[lg（log23）]的值为（　　）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的值．【分析】易判lg（log23）与lg（log32）互为相反数，构造函数f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+b3，利用g（x）的奇偶性可求结果．【解答】解：∵lg（log23）+lg（log32）=lg（log23•log32）=lg1=0，∴lg（log23）与lg（log32）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+b3，易知g（x）为奇函数，则g（lg（log23））+g（lg（log32））=0，∴f（lg（log23））+f（lg（log32））=g（lg（log23））+4+g（lg（log32））+4=8，又f（lg（log23））=1，∴f（lg（log32））=7，故选：C．　6．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（　　）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】向量在几何中的应用．【分析】可连接CD，CB，从而得到CD⊥AD，BC⊥AB，这便可得到，，从而得出=，带入便可求出的值．【解答】解：如图，连接CD，CB；∵AC为直径；∴CD⊥AD，BC⊥AB；∴====t+2﹣（t+1）=1．故选A．　7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（　　）A． B．2 C． D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．　8．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当的值取到最大值时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据直线和平面所成的角，求出的值取到最大值时的条件，进行求解即可．【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，连接BO并延长交CD，于E，连接AE，则BE是AB在底面BCD上的射影，则∠ABE=60°，∵AB⊥CD，AO⊥CD，∴AO⊥平面ABE，即AE⊥CD，则∠AEB是二面角A﹣CD﹣B的平面角，则==，要使的值取到最大值，则取得最大，由正弦定理得=，∴当sin∠BAE取得最大值，即当∠BAE=90°时取最大值．此时∠AEB=30°，故选：A　二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，则A∩B=　{x|2≤x≤3　，A∪B=　{x|x＞1}　，A∩（∁RB）=　{x|1＜x＜2}　．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，并集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，即∁RB={x|x＜2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}，A∪B={x|x＞1}，A∩（∁RB）={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|2≤x≤3}，{x|x＞1}，{x|1＜x＜2}　10．已知命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为　若a2≠b2则a≠b　，该否命题是一个　真　命题．（填“真”，“假”）【考点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系．【分析】根据命题：“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，写出它的否命题，再判定真假性．【解答】解：命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”，该否命题是一个真命题．故答案为：“若a2≠b2，则a≠b”，真．　11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为　　，体积为　　．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角形，△PBC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．利用三角形面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角形，△PBC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．∴该几何体的表面积为=+++×=4++，体积V==．故答案分别为：4++；．　12．若函数f（x）是幂函数，则f（1）=　1　，若满足f（4）=8f（2），则=　　．【考点】函数的值．【分析】设f（x）=xα，由幂函数的性质能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，∴设f（x）=xα，∴f（1）=1，∵满足f（4）=8f（2），∴4α=8×2α，解得α=3，∴==．故答案为：1，．　13．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD所在直线的所成角为60°，则|EF|=　或　．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出EF．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，|AB|=1，|CD|=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为60°，∴EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，∴∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，∴∠EOF=60°或120°，∴∠EOF=60°，EF==，∠EOF=120°，EF==．故答案为：或．　14．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C的方程为　=1　．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△AF1F2是等腰直角三角形，可得b=c，可设椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为：=1（b＞0）．在Rt△ABF1中，由勾股定理可得：+|AB|2=，|AF2|=|AF1|=b，设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m=2b﹣m，2b2+=，又=×=6，联立解出即可得出．【解答】解：∵△AF1F2是等腰直角三角形，∴b=c，可设椭圆的标准方程为：=1（b＞0）．在Rt△ABF1中，由勾股定理可得：+|AB|2=，|AF2|=|AF1|=b，设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m=2b﹣m，代入可得：2b2+=，又=×=6，联立解得b2=，∴椭圆的标准方程为：=1．故答案为：=1．　15．已知等差数列{an}满足a9＜0，且a8＞|a9|，数列{bn}满足bn=anan+1an+2（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn，当Sn取得最大值时，n的值为　8　．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由满足a9＜0，且a8＞|a9|，可得d＜0，a8＞﹣a9＞0，因此当n≤8时，an＞0；当n≥9时，an＜0．Sn=a1a2a3+a2a3a4+…+a6a7a8+a7a8a9+a8a9a10+a9a10a11+…+anan+1an+2，当n≤6时，Sn的每一项都大于0，当n≥9时，anan+1an+2＜0，只要计算a7a8a9+a8a9a10与0的关系即可得出．【解答】解：∵设等差数列{an}的公差为d，∵满足a9＜0，且a8＞|a9|，∴d＜0，a8+a9＞0，a8＞﹣a9＞0，∴当n≤8时，an＞0；当n≥9时，an＜0．Sn=a1a2a3+a2a3a4+…+a6a7a8+a7a8a9+a8a9a10+a9a10a11+…+anan+1an+2，当n≤6时，Sn的每一项都大于0，当n≥9时，anan+1an+2＜0，而a7a8a9＜0，a8a9a10＞0，并且a7a8a9+a8a9a10=a8a9（a7+a10）=a8a9（a8+a9）＞0，因此当Sn取得最大值时，n=8．故答案为：8．　三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利用余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…　17．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．证明AH⊥DE，AD⊥DE，然后证明DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．说明∠CNM就是所求二面角的一个平面角．然后求解即可．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…　18．已知函数f（x）=x2+ax+1，（Ⅰ）设g（x）=（2x﹣3）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得，故；综上所述，a的取值集合为．（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故ymax=f（1）=2+a；（2）若，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故，（3）若，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，，综上所述，．　19．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，c=1，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不成立．于是可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，再利用根与系数的关系代入可得：﹣2=，由1≤λ≤2，可得0≤，利用AB边上的中线长为=，及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，∴=b，∴椭圆C的方程为：．（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，∴，，由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，∵，∴，∴﹣2=，∵1≤λ≤2，∴∈，∴0≤，又AB边上的中线长为===，∵0≤，∴=t∈．∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈．∴．∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是．　20．数列{an}各项均为正数，a1=，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0）．（1）求++的值；（2）若c=，是否存在n∈N*，使得an＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由a1=，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0），可得a2==，a3=（2+c）（4+2c+c2）．代入化简整理即可得出．（2）an+1=an+can2，c=，变形为=，可得++…+=++…+=．通过“放缩法”即可得出结论．【解答】解：（1）∵a1=，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0），∴a2==，a3==+c=（2+c）（4+2c+c2）．∴++=++=++==2．（2）∵an+1=an+can2，c=，∴an+1＞an＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=．∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a2017＜1．当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a2018＞1．因此存在n∈N*，使得an＞1．　2016年9月29日