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题
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(七)一、选择题1．若复数z＝(x2＋x－2)＋(x＋2)i为纯虚数，则实数x＝( )A．1B．－2C．1或－2D．－1或2
答案
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A解析 由已知得2．(2019·广西南宁模拟)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝A．5B．6C．7D．8答案 C解析 B＝{x|x＝3．随着经济水平及个人消费能力的提升，我国居民对精神层面的追求愈加迫切，如图是2007年到2017年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，图中显示2007年的同比增速约为10%，即2007年与2006年同时期比较2007年的人均消费支出费用是2006年的1.1倍．则下列
表
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述中正确的是( )A．2007年到2017年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用逐年增加B．2007年到2017年，同比增速的中位数约为10%C．2011年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高D．2007年到2017年，同比增速的极差约为12%答案 B解析 A错误，因为2013年人均消费支出的费用减少；B正确，2007年到2017年，同比增速由小到大排序后依次是2013年、2008年、2014年、2009年、2017年、2012年、2010年、2007年、2016年、2015年、2011年，中位数约为10%；C错误，2011年只是增速最大；D错误，极差约为16%.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为( )A．a是偶数？ 6B．a是偶数？ 8C．a是奇数？ 5D．a是奇数？ 7答案 D解析 由已知可得，①处应填写“a是奇数？”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.5．点P(x，y)为不等式组A．－答案 D解析 如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分．由可得6．已知数列{an}是等差数列，若Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an(n≥2)，且T2＝7，T3＝16，则an＝( )A．n＋1B．2n－1C．3n－1D．4n－3答案 A解析 设数列{an}的公差为d，由已知可得，T2＝2a1＋a2＝3a1＋d＝7，T3＝3a1＋2a2＋a3＝6a1＋4d＝16，解得a1＝2，d＝1，∴an＝n＋1.7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )A.答案 B解析 设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|·cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．4B．2C.答案 D解析 该几何体的直观图，如图所示，其体积V＝9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A.答案 C解析 因为所以由正弦
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
得又sinB≠0，所以2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，所以2sinCcosA＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又sinC≠0，所以cosA＝10．(2018·全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3答案 A解析 设AB＝b，AC＝a，BC＝c，则a2＋b2＝c2，SⅠ＝SⅢ＝SⅡ＝＝＝所以SⅠ＝SⅡ，故p1＝p2.11．设双曲线C：A．5B.答案 A解析 根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5，设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形．解法一：如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝解法二：由于直线4x－3y＋20＝0的斜率为k＝12．(2019·吉林长春质量检测三)已如函数f(x)＝A．[2，＋∞)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．(－∞，2)答案 C解析 根据题意，画出分段函数f(x)的图象如右：由函数图象及题意可知x1，x2不可能同时大于1，也不可能同时小于1.否则不满足f(x1)＋f(x2)＝2，不妨设x1＜1＜x2，则f(x1)＋f(x2)＝3x1－2＋1＋lnx2＝3x1＋lnx2－1，∵f(x1)＋f(x2)＝2，∴3x1＋lnx2－1＝2，∴x1＝1－构造函数g(x)＝1＋x－则g′(x)＝1－∵x＞1，∴3x＞3，∴0＜∴－∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞1＋1－二、填空题13．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a答案 解析 ∵a3·a9＝a∴a1＝14．设函数f(x)＝答案 －1解析 由f(x)＝2得x＝因为f[f(x)]＝2，所以f(x)＝所以15．如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－答案 6解析 易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝在三角形AEC中，CE＝在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝＝16．(2019·沈阳摸底考试)如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是⊙O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为答案 2 解析 连接CD，则∠BCD＝90°，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD＝2.因为∠CBD＝30°，所以CD＝1，BC＝
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