曾谨言量子力学课后答案

1曾谨言量子力学课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案目录目录目录目录第一章、量子力学的诞生...................................................................................................................................................1第二章波函数与Schrödinger方程...................................................................................................................................3第三章、一维定态问题.......................................................................................................................................................8第四章、力学量用算符表达与表象变换.........................................................................................................................20第五章力学量随时间的变化与对称性...........................................................................................................................33第六章中心力场...............................................................................................................................................................38第七章粒子在电磁场中的运动.......................................................................................................................................44第八章自旋.......................................................................................................................................................................46第九章力学量本征值问题的代数解法...........................................................................................................................50第十章定态问题的常用近似 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ...................................................................................................................................55第十一章量子跃迁...........................................................................................................................................................66第十二章散射...................................................................................................................................................................70第一章第一章第一章第一章、、、、量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，<<><∞=axaxxxV0,0,0,)(试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2L=⋅=nnaλna/2=∴λ（1）又据deBroglie关系λ/hp=（2）2而能量()Lhh,3,2,12422/2/2222222222==⋅===nmanamnhmmpEπλ（3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有()∫==⋅L,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx=⋅2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/=∴,同理可得，bhnpyy2/=,chnpzz2/=,L,3,2,1,,=zyxnnn粒子能量++=++=222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyxhπL,3,2,1,,=zyxnnn1.3设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxVω=中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp−===⋅∫L)(xV解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax≤（1）其中a由下式决定：2221)(xmxVEaxω===。a−0ax由此得2/2ωmEa=，（2）ax±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa==⋅=−=−=⋅∫∫∫+−+−2222222222)21(22πωπωωω得ωωπmnmnhah22==（3）3代入（2），解出Lh,3,2,1,==nnEnω（4）积分公式：cauauauduua++−=−∫arcsin22222221.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20L==∫nnhdpπϕϕϕp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2ϕ=。解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。它的角动量.ϕϕIp=（广义动量），ϕp是运动惯量。按量子化条件L,3,2,1,220===∫mmhpdxpϕπϕπmhp=∴ϕ，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222h==ϕ，L,3,2,1=m第二章第二章第二章第二章波函数与波函数与波函数与波函数与Schrödinger方程方程方程方程2.1设质量为m的粒子在势场)(rVv中运动。（a） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 粒子的能量平均值为wrdE⋅=∫3，ψψψψVmw**22+∇=h（能量密度）（b）证明能量守恒公式0=⋅∇+∂∂stwv∇∂∂+∇∂∂−=**22ψψψψttmshv（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ已归一化）4VTrdVmE+=+∇−=∫322*2ψψh（1）∫=ψψVrdV*3（势能平均值）（2）()()()[]∫∫∇⋅∇−∇⋅∇−=∇−=ψψψψψψ**3222*32)(2动能平均值rdmmrdThh其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此ψψ∇⋅∇=∫*322rdmTh（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2ψψψψVmw+∇⋅∇=h（4）且能量平均值∫⋅=wrdE3。（b）由（4）式，得++⋅−∇=+∇−++∇−+⋅−∇=++∇+∇−∇+∇⋅∇=++∇⋅∇+∇⋅∇=∂∂*..**22.22.*.*.**2.2.**..*2.*.*.*.*22222ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψEsVmVmsVVmVVmtwvhhvhhρtEs∂∂+⋅−∇=v（ρ：几率密度）sv⋅−∇=（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）所以0=⋅∇+∂∂stwv。2.2考虑单粒子的Schrödinger方程()()()()[]()trriVrVtrmtrti,,2,2122vvvvhvhψψψ++∇−=∂∂（1）1V与2V为实函数。5（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为()∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=ττψψψψψψψψ*32***322rdVSdimrddtdShvh证：（a）式（1）取复共轭，得()*21*22*2ψψψiVVmti−+∇−=∂∂−hh（2）×*ψ（1）-×ψ（2）,得()()()ψψψψψψψψψψψψψψ*2**22**22*2*2222iVmVimti+∇−∇⋅∇−=+∇−∇−=∂∂hhh()()()ψψψψψψψψ*2***22hhVimt+∇−∇⋅∇−=∂∂∴（3）即022≠=⋅∇+∂∂ρρhvVjt，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积τ积分，得()()()()ψψψψψψψψψψψψψψττττ*23***233***32222rVdSdimrVdrdimrdtS∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+⋅∇−∇−=+∇−∇⋅∇−=∂∂hvhhh上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（Sdjvv⋅−=∫∫），而第二项代表体积τ中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3设1ψ和2ψ是Schrödinger方程的两个解，证明()()0,,2*13=∫trtrrddtdvvψψ。证：12212ψψ+∇−=∂∂VmtihhQ（1）22222ψψ+∇−=∂∂Vmtihh（2）6取（1）之复共轭：*122*12ψψ+∇−=∂∂−Vmtihh（3）×2ψ（3）×−*1ψ（2）,得()()22*1*12222*12ψψψψψψ∇−∇−=∂∂−mtihh对全空间积分：()()[]∫∫∇−∇−=−22*1*122322*132,,ψψψψψψrdmtrtrrddtdihvvh()()()()()[]∫∇⋅∇+∇⋅∇−∇−∇⋅∇−=2*1*122*1*12322ψψψψψψψψrdmh()[]∫∇−∇⋅∇−=2*1*12322ψψψψrdmh()022*1*122=⋅∇−∇−=∫Sdmvhψψψψ，（无穷远边界面上，0,21→ψψ）即()()0,,.2*13=∫trtrrddtdψψ。2.4）设一维自由粒子的初态()h/00,xipex=ψ，求()tx,ψ。解：()h/2200,−=tmpxpietxψ2.5设一维自由粒子的初态()()xxδψ=0,，求()2,txψ。提示：利用积分公式()()2sincos22πξξξξ==∫∫+∞∞−+∞∞−dd或[][]4expexp2ππξξidi=∫+∞∞−。解：作Fourier变换：()()∫+∞∞−=dpepxipxhhϕπψ210,，()()hhhhhπδπϕπϕ21)(210,21===∫∫+∞∞−−+∞∞−−dxexdxexpipxipx，()()()∫+∞∞−−=∴dpeptxEtpxihh/21,ϕπψ（mpE22=）7∫∞+∞−−−=dpepxtmpi2221hhπ（指数配方）∫+∞∞−−−=dptmxpmitetimx222exp212hhhπ令222−=tmxpmthξ，则()−=⋅⋅=⋅=−+∞∞−−∫42exp2221221,24/22222ππππξπψπξtmxitmeetmdetmetxitimxitimxhhhhhhhh()tmtxhπψ2,2=。2.6设一维自由粒子的初态为()0,xψ，证明在足够长时间后，()[]⋅⋅−=tmxtimxitmtxhhhϕπψ2exp4exp,2式中()()∫+∞∞−−=dxexkikx0,21ψπϕ是()0,xψ的Fourier变换。提示：利用()xeexiiδπααπα=−∞→24/lim。证：根据平面波的时间变化规律()tkxiikxeeω−→，mkE22hh==ω，任意时刻的波函数为()()()dkektxmtkkxi2/221,h−+∞∞−∫=ϕπψ()−−⋅=∫∞+∞−22/2exp212tmxkmtikdketimxhhhϕπ（1）当时间足够长后（所谓∞→t），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取mt2h=α，−=tmxkuh，（2）8参照本题的解题提示，即得()()∫+∞∞−−−⋅≈kdtmxkketmetxitimxhhhδϕππψπ4/2221,2=−tmxeetmtimxihhhϕπ2/4/2（3）()22,≈tmxtmtxhhϕψ（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxkh=，即mktxh=，强度()2kϕ∝，因子tmh描述整个波包的扩散，波包强度t12∝ψ。设整个波包中最强的动量成分为0kh，即0kk=时()2kϕ最大，由（4）式可见，当t足够大以后，2ϕ的最大值出现在0ktmx=h处，即mtkx0h=处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k。2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解：经典能量方程()rVmpEv+=22。在动量表象中，只要作变换pp→，dpdirhv→所以在动量表象中，Schrödinger为：()()pEpdpdiVmpψψ=+h22。第三章第三章第三章第三章、、、、一维定态问题一维定态问题一维定态问题一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，∞<<=其余区域,0,0),(axyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如ba=，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mEyxnn222πh=2222bnanyx+9L,2,1,,sinsin2==yxyxnnnnbynaxnabyxππψ若ba=，则)(222222yxnnnnmaEyx+=πhaynaxnayxnnyxππψsinsin2=这时，若yxnn=，则能级不简并;若yxnn≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==yxnn与2,11''==yxnn）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如cba==，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cnbnanmnnnEzyxzyx++=πh,L,3,2,1,,,sinsinsin8==zyxzyxnnncznbynaxnabcnnnzyxπππψ当cba==时，)(2222222zyxnnnmannnEzyx++=πhaynaynaxnannnzyxzyxπππψsinsinsin223=zyxnnn==时，能级不简并；zyxnnn,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。zyxnnn,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，><∞<<=ax0,,0,0),(xaxyxV10证明处于定态)(xnψ的粒子)61(12)x-(x,22222πnaax−==讨论∞→n的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数xanaxnπψsin2)(=.2sin20220axdxanxadxxxaan分部∫∫==πψ（1）4)(2202222adxxxxxxna−=−=−∫ψ4)2cos1(212202adxaxnxaa−−⋅=∫π)61(12222πna−=（2）在经典情况下，在()a,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于xxdx→+范围的几率为adx，故20aadxxxa=⋅=∫，（3）32022aadxxxa=⋅=∫，43)(22222aaxxxx−=−=−（4）当∞→n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，<∞<=2,2,0),(axaxyxV处于基态)1(=n，求粒子的动量分布。解：基态波函数为axaπψcos21=,（参P57，（12））11hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh2cos22cos12cos112121121)(211cos221)(22223222222)()(2222papaqpapapapaaeepaieepaiadxeeadxeeeadxaxaepapaiapaiapaiapaiaapaipaiaxiaxiaaipxaaipx−=++−=−⋅+−+−⋅−=+=+⋅=⋅=∴++−−−−−+−−−−−−−∫∫∫ππππππππππππφππππππππ动量的几率分布()hhh2cos4)()(22222232papaapp−==ππϕρ3.5）设粒子处于半壁高的势场中><<−<∞=axaxVxV,00,0x,)(0（1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出eqs.:ax,0)()(ax0,0)()(22"212'"1>=−<<=+xkxxkxψψψψ（2）其中()22022'2k,2hhEEVkµµ−=+=（3）方程的解为kxkxxikxikDeCexBeAex−−+=+=)()(21''ψψ（4）根据对波函数的有限性 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，当∞→x时，)(2xψ有限，则0=C当0=x时，0)(1=xψ，则0=+BA于是ax,)(x0,sin)(2'1>=<<=−kxDexaxkFxψψ（5）在ax=处，波函数及其一级导数连续，得12kakakDeakFkDeakF−−−=='''cos,sin（6）上两方程相比，得kkaktg''−=（7）即()EEVEVatg+−−=+0022hµ（7’）若令ηξ==aakk,'（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：=+−=(10)9)(2220aVctghµηξξξη（10）式是以aVr202hµ=为半径的圆。对于束缚态来说，00<<−EV，结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg−=在第一象限的交点可决定束缚态能级。当2π≥r，即2220πµ≥aVh，亦即82220hπµ≥aV（11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即20VE<<，()ψψhEVmdxd−=∴222当±∞→x时，0→ψ，故有()()()()−=<<=<<+−=<=−hhhEVmkxaeAmEkaxkxAEVmkxeAxkxk2221112,,2,0,sin2,0,21πδδψ由dxdψln在0=x、ax=处的连续条件，得()δδ+−==kakctgkctgk21k,（1）由（1a）可得12sinmVkh=δ（2）由于kkk,,21皆为正值，故由（1b），知δ+ka为二，四象限的角。13因而()22sinmVkkah±=+δ（3）又由（1），余切函数()ctg的周期为π，故由(2)式，1112sinmVknh−+=πδ(4)由(3)，得212sinmVknkah−−=+πδ(5)结合(4),(5)，得1112122sin2sinmVknmVknkahh−−−−−=ππ或21112sin2sinmVkmVknkahh−−−−=π（6）L,3,2,1=n一般而言，给定一个n值，有一个解nk，相当于有一个能级：mkEnn222h=（7）当12VV≠时，仅当1212sin22VVmVa−−≥πh才有束缚态，故21,VV给定时，仅当−≥−1212sin22VVmVaπh（8）时才有束缚态（若VVV==21，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级）当aVV,,21给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:()()()()()−=>−<<+−=<=−−−hhhhEVmkaxemVkAaxxkAEVmkxemVkAnaxknnnnnnnxknnnn222211112,,21,0,sin2,0,22δψ其中()nnnkkaA21112++=3—7）设粒子（能量0>E）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为><−=.0,0,0,)(0xxVxV在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故14()hhmEkCeEVmkBeAexikxikxik2,2,22011211==+=+=−ψψ由)0()0(21ψψ=，得CBA=+。由)0()0('2'1ψψ=，得()CkBAk21=−。从上二式消去c,得()()BkkAkk2121+=−。反射系数()()221221222kkkkABrR+−===将21,kk代入运算，可得()<<−>>=++=0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明谐振子波函数满足下列关系()()()()[])(21)(12)(121)()(21)(21)(222211xnnxnxnnxxxnxnxxnnnnnnn+−+−+++++−=++=ψψψαψψψαψ并由此证明，在nψ态下，2,0nEVx==证：谐振子波函数)()(222xHeAxnxnnαψα−=（1）其中，归一化常数hωαπαm,!2=⋅⋅=nAnn（2）)(xHnα的递推关系为.0)(2)(2)(11=+−−+xnHxxHxHnnnαααα（3）15[]()()++=⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅=⋅=∴+−+−+−−−+−−−−+−−−)(21)(21)(21!121)(2!121)(!221)(!21)(2)(21)(221)()(1112112112121122222222222222222xnxnxHennxHennxHenxnHenxnHxHeAxxxHeAxxHeAxxnnnxnnxnnxnnxnnnxnnxnnxnnψψααπαααπαααπαααπαααααααααψααααααα()()()()[])(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21)(21)(222222112xnnxnxnnxnxnnxnxnnxxnxxnxxnnnnnnnnnn+−+−+−+++++−=++++++−=++=∴ψψψαψψψψαψψαψ0)(21)(21)(11**=++⋅==+−+∞∞−+∞∞−∫∫dxxnxnxdxxxnnnnnψψαψψψ()()22121122121)(122121)()(21)(2222*22*nnnnnEnnmdxxnmxdxxxmxV=+=+⋅⋅=+⋅⋅⋅=⋅⋅=∫∫+∞∞−ωαωψαωψψωψh3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））()()()()[]2222211211212)(212)(+−+−++++−−=+−=nnnnnnnnnnnnxdxdnnxdxdψψψαψψψαψ证：A3.式（12）：)(2dx)(dH),(2)(1n1'xHnxnHHnnnαααξξ−−==16()[]+−=⋅+++−=+−=⋅+−⋅=+−−+−−−−−)(21)(2)(2)(21)(2)(2)()(2)()(1111112122222222xnxnxnxnxnxnxxxHnexHexAxdxdnnnnnnnnxnxnnψψαψαψψααψψαααααψαα()()()()[]22222222112122221212212)(+−+−++++−−=+−+⋅+−−−⋅=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxdxdψψψαψψαψψααψ()021211**=+−⋅−=−=∫∫+−dxnnidxdxdipnnnnnψψαψψψhh()()()()[]()()221211241242112122222*22222*2222*2nnnnnnnnnEnnmmdxnmdxnnnnnmdxdxdmmpT=+=+⋅⋅=+⋅=++++−−⋅−=−⋅==∫∫∫+−ωωψψαψψψαψψψhhhhhh3—10）谐振子处于nψ态下，计算()212−=∆xxx，()212−=∆ppp，?=∆⋅∆px解：由题3—6），ωωωmnmEmVxxnh+====212,0222由题3—7），ωhmnmETmppn+====212,02()()()()hhh+=∆⋅∆+=−=−=∆+=−=−=∆212121212122212212122212npxmnpppppmnxxxxxωω对于基态，2,0h=∆⋅∆=pxn，刚好是测不准关系所规定的下限。173—11）荷电q的谐振子，受到外电场ε的作用，xqxmxVεω−=2221)(（1）求能量本征值和本征函数。解：xqHxqxmmpHεεω−=−+=0222212（2）0H的本征函数为)(222xHeAnxnnαψα−=，本征值()ωh+=210nEn现将H的本征值记为nE，本症函数记为)(xnϕ。式（1）的势能项可以写成()[]2020221)(xxxmxV−−=ω其中20ωεmqx=（3）如作坐标平移，令0'xxx−=（4）由于''pdxdidxdip=−=−=hh（5）H可表成2022,22'21212xmxmmpHωω−+=（6）（6）式中的H与（2）式中的0H相比较，易见H和0H的差别在于变量由x换成'x，并添加了常数项−20221xmω，由此可知()202021xmEEnnω−−=（7）)()()(0'xxxxnnn−==ψψϕ（8）即Lhh,2,1,0,2212121222222=−+=⋅−+=nmqnmqmnEnωεωωεωω（9）−=−−22222)(ωεαϕωεαmqxHeAxnmqxnn(10)其中hωαπαm,!2=⋅⋅=nAnn(11)3—12）设粒子在下列势阱中运动，18><∞=.0,21,0,)(22xxmxxVω求粒子能级。解：既然粒子不能穿入0<x的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在0=x处为零。另一方面，在0>x的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有12+=kn的奇宇称波函数在0=x处为零，因而这些波函数是这一问题的解（kn2=的偶宇称波函数不满足边条件0)0(=ψ）所以()Lh,2,1,0,232=+=kkEkω3—13）设粒子在下列势阱中运动，()>−−<∞=.0,,0,)(xaxrxxVδ()0,>ar(1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq:()ψψδψEaxrdxdm=−−−2222h(2)对于束缚态（0<E），令hmE2−=β(3)则()022222=−+−ψδψβψaxmrdxdh(4)积分∫+−εεaadx,+→0ε,得'ψ跃变的条件)(2)()(2''amraaψψψh−=−−+(5)在ax≠处，方程(4)化为0222=−ψβψdxd(6)边条件为()束缚态0)(,0)0(=∞=ψψ因此><≤=−.,,0,)(axAeaxxshxxββψ(7)再根据ax=点)(xψ连续条件及)('xψ跃变条件(5)，分别得)(aAeashaψββ==−(8))(22amrachAeaψββββh−=−−−(9)由（8）（9）可得（以)(aaψ−乘以（9）式，利用（8）式）1922cothhmraaaa=+βββ(10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，−→0E，所以+→0aβ,利用1limcothlim00==→→athaaaaaββββββ,（10）式化为++=+=01coth22aaamraβββh,因此至少存在一条束缚态能级的条件为122≥hmra（11）纯δ势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(≡xψ，对0≤x）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯δ势阱的特征长度mrL2h=。条件（11）可改写为2La≥（12）即要求无限高势垒离开δ势阱较远（2La≥）。才能保证δ势阱中的束缚态能存在下去。显然，当∞→a（即2La>>），∞→aβ时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1coth→aβ，式（10）给出22hmr=β即222222hhmrmE=−=β（13）与势阱)()(xrxVδ−=的结论完全相同。令ηβ=a，则式（10）化为()22coth1hmra=+ηη（14）由于()1coth1≥+ηη，所以只当122≥hmra时，式（10）或（14）才有解。解出根η之后，利用hmEaa2−==βη，即可求出能级2222maEηh−=（15）20第四章第四章第四章第四章、、、、力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换4.1）设A与B为厄米算符，则()BAAB+21和()BAABi−21也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分解为−++=iFFF，+F与−F均为厄米算符，且()()+++−=+=FFiFFFF21,21证：ⅰ）()()()()BAABABBABAABBAAB+=+=+=++++++21212121()BAAB+∴21为厄米算符。ⅱ）()()()()BAABiABBAiBAAB