组合数学第四章习题解答习题4.1若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成立，即a,bG满足ab=ba,则称这个群为阿贝尔群，试证明所有的循环群为阿贝尔群证明：设G是一循环群，对任意的a,bG,按定义a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba,因此，循环群都是阿贝尔群。4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1}是G的一个子群证明：显然C中元素都是G中元素，只需证C满中群的四个性质即可(1)封...
习题4.1若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a=xm,则称这个群为循环群，若群的元素交换率成立，即a,bG满足ab=ba,则称这个群为阿贝尔群，试证明所有的循环群为阿贝尔群证明：设G是一循环群，对任意的a,bG,按定义a=xm,b=xn,ab=xmxn=xnxm=ba,因此，循环群都是阿贝尔群。4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2,…,xm-1}是G的一个子群证明：显然C中元素都是G中元素，只需证C满中群的四个性质即可(1)封闭性,对任意的xm,xnC,由结合性，设m+n=r(modm-1)xmxn=xr,(2)结合律显然(3)单位元显然(4)逆元素为原群逆元素4.3设G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n单位元e显然，对非单位元a，显然4.4若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示成a的幂：a,a2,…,an的元素a的数目。若a是母元素，则an=e若ak(1<01,k=hb,n=hc,kn=(hb)(hc),则(hb)c=kc=bn因此akc=abn=e,c
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