【高中数学】解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究

2015年第1—2期摘要：从不同层面对椭圆的两条切线相交产生的交点轨迹问题展开分析，寻找适应学生思维习惯的表征方式，突破问题的障碍，优化解决的策略，以提高学生分析问题与解决问题的能力及思维能力.关键词：椭圆切线；轨迹问题；策略探究2014年高考数学广东卷文/理科第20题：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5姨，0），离心率为5姨3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.这是关于椭圆的两条切线相交产生的交点轨迹问题，绝大多数学生不能有效地表征问题，找不到合理的解决途径，或有一点思路却无法实施解题计划.下面从不同层面对问题展开分析，寻找适应学生思维状况的表征方式，突破问题的障碍，优化解题策略，提升思维能力.一、策略探究容易得到椭圆C的标准方程为x29+y24=1，难点在于第（2）问的解决策略探究.策略1：引入斜率表示切线方程，用判别式来确定位置关系.分析：解决圆锥曲线与直线相切问题的通法是联立二者的方程，减元化为一元二次方程利用判别式为0来转化.因此须用恰当的方式表示切线的方程，在已知切线过点P的情况下，设其斜率是常用策略.解法1：当过点P（x0，y0）的两条切线斜率存在时，则切线方程可统一设为y-y0=k（x-x0）.联立椭圆方程x29+y24=1，消去y，得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0.判别式Δ=182k2（y0-kx0）2-36（4+9k2）［（y0-kx0）2-4］=0，化简，得（y0-kx0）2-9k2-4=0，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.依题意，得k1·k2=y20-4x20-9=-1，即x20+y20=13.当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图象（图略）得P是直线x=-3，x=3，y=2，y=-2的四个交点，都满足x20+y20=13，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.解法2：同解法1，由判别式Δ=0，得（y0-kx0）2-9k2-4=0.同理y0+x0k姨姨2-9k2-4=0，即（y0k+x0）2-9-4k2=0.以上二式相加，可得x20+y20=13.下同解法1，略.【评析】引入斜率作为参数，可方便地表示出切线方程，判别式为0揭示二者相切的本质.解法1基于收稿日期：2014—09—15作者简介：赵银仓（1963—），男，中学高级教师，主要从事 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学教育及教学研究．解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究———以2014年高考数学广东卷文/理科第20题为例赵银仓（广东省东莞市东莞中学）解题研究JIETIYANJIU1072015年第1—2期对两条切线具有相同的性质，它们的斜率适合同一个方程这一隐性条件的挖掘；而解法2则应用了类比推理，在得到两个方程的情况下，结合方程组的特点整体消参.两种解法异曲同工，运用设参，消参，化简这一思维策略.策略2：联立两条切线方程，采用整体消参策略.分析：问题的显著特点“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”，可转化为“点P为椭圆C的两条相互垂直切线的交点”，引入其中一条切线的斜率为参数来表示两条切线的方程，联立方程求解.解法3：由解法1知，Δ=0，（kx0-y0）2-4-9k2=0.所以kx0-y0=±4+9k2姨.因为过点P（x0，y0）的切线方程为y-y0=k（x-x0），即y-kx=y0-kx0，所以一条切线方程为y=kx±4+9k2姨，即y-kx=±4+9k2姨.同理，另一条切线方程为y=-1kx±4+9k2姨，即x+ky=±4k2+9姨.以上二式平方相加，得（1+k2）（x2+y2）=（1+k2）（4+9），即x2+y2=13.下同解法1，略.【评析】联立两条切线的方程就可用斜率表示点P的坐标，即得动点P的参数方程.事实上，观察两条切线方程的结构特征，就能整体消掉斜率求得普通方程，即用交迹法来求动点的轨迹方程.策略3：以切点坐标为参数，运用导数突破难点.分析：类比抛物线，可通过导数求得过其上一点的切线的斜率，因而先研究用导数来表示过椭圆上任一点的切线的斜率.引理：过椭圆x2a2+y2b2=1上的任一点M（x1，y1）作椭圆的切线，则该切线方程为b2x1x+a2y1y=a2b2.引理的证明可从如下二个角度来思考.思路1：用通法证明，通过联立方程让判别式为0来推理论证.当切线的斜率k存在时，设过点M（x1，y1）的切线方程为y-y1=k（x-x1），联立椭圆方程x2a2+y2b2=1，消去y，得（b2+a2k2）x2+2a2k（y1-kx1）x+a2（y1-kx1）2-a2b2=0.整理得（x21-a2）k2-2x1y1k+y21-b2=0.当x1≠±a时，经验证Δ1=（2x1y1）2-4（x21-a2）（y21-b2）=4（b2x21+a2y21-a2b2）=0.解得k=x1y1x21-a2.又因为x21a2+y21b2=1，可得a2-x21=a2y21b2.所以k=-b2x1a2y1.所以过点M的切线方程为y-y1=-b2x1a2y1（x-x1），即b2x1x+a2y1y=a2b2.当x1=±a时，y1=0，此时斜率不存在，切线方程为x=±a也适合.综上，过点M的切线方程为b2x1x+a2y1y=a2b2.思路2：用导数的几何意义证明，即导数表示在该点处曲线的斜率.不过要注意在椭圆方程中将y理解为x的隐函数，方可求导.由椭圆的方程x2a2+y2b2=1，得1b2y2=1-1a2x2.两边分别看成关于x的函数，求导，2b2y·y′=-2a2x，即y′=-b2xa2y（y1≠0）.以下同思路1，略.解法4：过点P引椭圆C的两条切线，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.则切线PA的方程为4x1x+9y1y=36，切线PB的方程为4x2x+9y2y=36.因为切线PA，PB都过点P（x0，y0），所以4x0x1+9y0y1=36，4x0x2+9y0y2=36.又因为x219+y214=1，x229+y224=1，所以（x1，y1），（x2，y2）都是方程组4x0x+9y0y=36，x29+y214=≠≠≠≠≠≠≠≠≠1解题研究JIETIYANJIU1082015年第1—2期的解.消去y，整理得（9y20+4x20）x2-72x0x+4×81-81y20=0.①所以x1x2=81（9-x22）9y20+4x20.②同理，y1y2=16（9-x20）9y20+4x20.③因为PA⊥PB，所以16x1x2+81y1y2=0.④将②，③代入④，16×81（4-y20）9y20+4x20+81×16（9-x20）9y20+4x20=0，即x20+y20=13.所以点P的轨迹方程为x20+y20=13.解法5：同解法4，由方程①，可得x1+x2=72x09y20+4x20，x1x2=81（4-y20）9y20+4x20.由16x1x2+81y1y2=0，两边乘以y20，得16y20x1x2+（36-4x0x1）（36-4x0x2）=0，即（x20+y20）x1x2-9x0（x1+x2）+81=0.所以81（4-y20）（x20+y20）9y20+4x20-9x0·72x09y20+4x20+81=0.化简，得x20+y20=13.【评析】以切点坐标为参数，可以快捷地写出斜率，表示出切线方程，发现切点弦方程，运用韦达定理得到参数与变量之间的关系，同样将“两条切线相互垂直”转化为切点坐标之间的关系，代入消参，难点在于整理运算.解法4与解法5基本相同，二者同为代入消参.区别在于前者利用两个切点的横坐标之积与纵坐标之积的对称性，由横坐标之积的表达式，类比得出纵坐标之积的表达式，而后者则是直接消去纵坐标，利用韦达定理消参，消参的途径不同.策略4：从切点弦方程入手，实施“算两次”策略.分析：把两个切点看作过两个切点的弦所在的直线与椭圆的交点，待定切点弦直线方程并与椭圆方程联立，消元应用韦达定理沟通各参量与变量之间的联系.解法6：设过点P（x0，y0）的两条切线的切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）.当y0≠0时，则弦AB所在直线的斜率存在.设其方程为y=kx+b，与椭圆方程x29+y24=1联立，消去y，得（4+9k2）x2+18kbx+9b2-36=0.Δ=182k2b2-36（4+9k2）（b2-4）>0，即9k2-b2+4>0.所以x1+x2=-18kb4+9k2，x1x2=9b2-364+9k2.因为PA⊥PB，所以16x1x2+81y1y2=0，即16x1x2+81（kx1+b）（kx2+b）=0.变形，得（16+81k2）x1x2+81kb（x1+x2）+81b2=0.代入整理，得13b2-81k2=16.所以9k2-b2+4=3613（1+k2）>0恒成立.因为弦AB的方程可表示为4x0x+9y0y=36，所以k=-4x09y0，b=4y0，x20+y20=13.当y0=0时，则直线PA，PB的斜率分别为±1，可求得x0=±13姨.所以点P的轨迹方程为x20+y20=13.【评析】待定切点弦直线方程，将问题条件“两条切线相互垂直”转化为斜率与截距之间的关系，再利用点P的坐标来表示切点弦的方程，这样就找到点的坐标、斜率与截距之间的关系，代入即得所求方程.这种“算两次”的方法其实就是一种等量传递，其作用就是简化过程.策略5：观察特殊情形，归纳并验证一般情形.分析：观察、归纳、证明是数学问题探究中常用的策略，特别是处理疑难问题时可从特殊情形入手.对此题而言，容易联想到 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中在研究椭圆的范围时所用的外切矩形，其顶点到中心（原点）的距离恰为以长、短半轴为两直角边的直角三角形的斜边长.这个发现是否具有一般性？可从验证外切矩形对角线的长度是否改变入手探究.解法7：设P（x0，y0）关于原点的对称点P′（-x0，-y0），则由椭圆关于原点成中心对称知，过点P与点P′分别引椭圆的两条切线，依题意知它们围成一个中心在原点的矩形.解题研究JIETIYANJIU1092015年第1—2期由解法3知，一组平行切线方程为y=kx±4+9k2姨，即kx-y±4+9k2姨=0.则它们之间的距离，即矩形的一边长为d1=24+9k2姨k2+1姨.同理，另一组切线方程为y=-1kx±4+9k2姨，即x+ky±4k2+9姨=0.则它们之间的距离，即矩形的另一边长为d2=24k2+9姨k2+1姨.所以PP′=d21+d22姨=4（4+9k2）1+k2+4（4k2+9）1+k2姨=213姨所以OP=12PP′=13姨，即x20+y20=13.下同解法3，略.解法8：同解法7，设过点P（x0，y0）的两条切线的切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为4x1x+9y1y=36，切线PB的方程为4x2x+9y2y=36.同理，设过点P′（-x0，-y0）的两条切线的切点分别为C（-x1，-y1），D（-x2，-y2），则切线P′C的方程为4x1x+9y1y=-36，切线P′D的方程为4x2x+9y2y=-36.四条切线围成的矩形的边长分别为d1=7216x21+81y21姨，d2=7216x22+81y22姨.因为4x21+9y21=36，4x22+9y22=36，PA⊥PB，所以16x1x2+81y1y2=0.162x21x22=812y21y22，代入化简，得16x21x22=81（9-x21）（9-x22），65x21x22=81×9（x21+x22-9）.所以PP′=d21+d22姨=72216x21+81y21+72216x22+81y22姨=36181-5x21+181-5x22姨=3681×2-5（x21+x22）812-81×5（x21+x22）+25x21x22姨=3613［81×2-5（x21+x22）］13×812-81×65（x21+x22）+45×81（x21+x22-9）姨=213姨.所以OP=12PP′=13姨，即x20+y20=13.故点P的轨迹方程为x20+y20=13.【评析】显然，通过表示出两条切线方程，求出交点，再来验证对角线的长度不变运算量会很大，十分不便.解法7与解法8都是通过用两条平行线间的距离 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使运算量大幅降低.区别在于前者以斜率为参数研究不变性，而后者以切点坐标为参数研究不变性，其推理过程稍多些.策略6：引入椭圆的参数方程，化归三角恒等变形.分析：椭圆的参数方程以角度表示坐标，可将问题转化为三角问题，借助于三角运算的灵活性实现过程的简化与思维的优化.解法9：设过点P（x0，y0）的两条切线的切点分别为A（3cosα，2sinα），B（3cosβ，2sinβ），则切线PA的方程为2xcosα+3ysinα=6，切线PB的方程为2xcosβ+3ysinβ=6.由椭圆关于原点成中心对称图形知，过点P′（-x0，-y0）的两条切线分别与PA，PB平行，四条切线围成的矩形的边长如下：d1=124cos2α+9sin2α姨，d2=124cos2β+9sin2β姨.因为PA⊥PB，所以4cosαcosβ+9sinαsinβ=0.化简，得16cos2αcos2β=81sin2αsin2β，65cos2αcos2β=81（cos2α+cos2β-1）.所以PP′=d21+d22姨=1224cos2α+9sin2α+1224cos2β+9sin2β姨解题研究JIETIYANJIU1102015年第1—2期=1219-5cos2α+19-5cos2β姨=1218-5（cos2α+cos2β）（9-5cos2α）（9-5cos2β）姨=1218-5（cos2α+cos2β）81-45（cos2α+cos2β）+25cos2αcos2β姨=1213［18-5（cos2α+cos2β）］13×812-13×45（cos2α+cos2β）+5×81（cos2α+cos2β-1）姨=213姨.所以，OP=12PP′=13姨，即x20+y20=13.故点P的轨迹方程为x20+y20=13.解法10：设切点分别为A（3cosα，2sinα），B（3cosβ，2sinβ），则切线PA的方程为2xcosα+3ysinα=6，切线PB的方程为2xcosβ+3ysinβ=6.联立以上二个方程，可解得x=3（sinβ-sinα）sin（β-α），y=2（cosβ-cosα）sin（α-β），即点P轨迹的参数方程.消去参数化为普通方程，因为PA⊥PB，所以4cosαcosβ+9sinαsinβ=0.变形整理，得65cos2αcos2β=81（cos2α+cos2β-1）.所以x2+y2=9（sinβ-sinα）2+4（cosβ-cosα）2sin2（β-α）=18-5（cos2α+cos2β）sin2（β-α）.因为sin2（β-α）=sin2βcos2α+cos2βsin2α-2sinαsinβcosαcosβ=（1-cos2β）cos2α+cos2β（1-cos2α）+89cos2α+cos2β=cos2α+cos2β-109cos2αcos2β=cos2α+cos2β-109×8165（cos2α+cos2β-1）=18-5（cos2α+cos2β）13，代入上式，得点P的轨迹方程为x2+y2=13.【评析】引入椭圆参数方程表示切点坐标，以角度为参数表示切线方程，将问题条件“两条切线相互垂直”转化为关于切点坐标参数的两个角度的关系.解法9沿用前面验证外切矩形对角线的长度不变的策略，而解法10则直面问题，用两个参数表示交点坐标，直接验证交点到中心（原点）的距离不变这一特征，过程看似难，其实由于三角变形的灵活性运算过程并不复杂.二、反思感悟数学问题解决的必要条件是对问题进行合理的表征，即通过认真分析审视问题，全面把握理解问题中所含的数学结构，通过联想转化为自己容易理解的另一个数学结构.这种对数学问题表征的方式直接影响着问题解决的思维策略.如果能从多种不同角度对问题进行理解，充分挖掘自己的不同模块的知识经验，形成理解问题的不同的表征方式，就可以拓宽问题的理解与转化渠道，从而可选择接近问题本源，解决问题相对快捷的方法与策略，这样就打开了解决问题的通道.如前述广东高考解析几何试题，大多数学生在平时的学习中，缺少对问题表征能力的培养，在高考时无法找到适合自己的问题表征方式，因而无法形成解决问题的有效途径.如果能够从参数的选择，观察归纳等不同角度来表征问题，就形成以切线的斜率为参数，结合韦达定理消参或联立两条切线方程整体消参，以切点坐标为参数，运用导数列切线方程消参求解，观察特殊情形通过外切矩形的对角线入手，这样就极大地拓展了问题解决的思路，并发现以斜率为参数这个表征方式接近问题的本质，思维直接，过程简便.在高三教学中，要经常引导学生对综合问题进行多元表征训练，这样会加强学生的审题能力、理解能力、推理能力与运算能力，提升分析问题与解决问题的思维能力，从而实现提高学生分析问题与解决问题能力的教学目标.参考文献：［1］曹才翰，章建跃．数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2006.［2］赵银仓．解析几何中一类典型错解的分析［J］.中国数学教育（高中版），2012（9）：34－36.［3］赵银仓．解决一类抛物线切线问题的策略与困因分析［J］.中学教研（数学），2014（1）：15－19.解题研究JIETIYANJIU111