上课教材无限脉冲响应数字滤波器

第6章无限长单位冲激响应(IIR)滤波器6.1引言6.2模拟滤波器的设计6.3冲激响应不变法6.4双线性变换法6.5数字频率变换法6.1引言一、滤波器的分类二、滤波器的技术指标三、IIR数字滤波器的技术特点四、IIR数字滤波器的设计方法概述一、滤波器的分类1、从功能上分低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器通：输入信号中允许通过的频率成分阻：输入信号中阻止（不允许）通过的频率成分例如：高通，即输入信号中允许通过的频率成分为高频数字滤波器的理想幅频特性是周期为的偶函数，只需在区间上研究即可！一、滤波器的分类2、从单位冲激响应上分（1）无限长单位冲激响应(IIR)滤波器其单位冲激响应h(n)延伸到无穷长，结构上是递归型的（有反馈环节）（2）有限长单位冲激响应(FIR)滤波器其单位冲激响应h(n)为有限长序列，结构上是非递归型的（没有反馈环节）二、滤波器的技术指标理想滤波器由于从通带到阻带之间的过渡具有突变，因而其单位冲激响应是非因果的，是物理不可实现系统。需要设计一个因果的物理可实现的滤波器来逼近理想滤波器的频率响应。这种因果的、物理可实现的滤波器的技术指标通常以频率响应的幅频特性的允许误差来表征。下面以低通滤波器为例，具体说明物理可实现的滤波器的技术指标。低通滤波器的幅度特性指标通带截止频率阻带截止频率3dB通带截止频率通带频率范围阻带频率范围过渡带1：通带容限(最大误差)；2：阻带容限通带最大衰减阻带最小衰减如果将归一化为1，则有：当时，称为3dB通带截止频率。三、IIR数字滤波器的技术特点IIR滤波器的差分方程为N为滤波器的阶数，一般采用递归型的实现结构IIR滤波器的系统函数为IIR滤波器的系统函数H(z)在Z平面上不仅有零点，而且有极点。四、IIR数字滤波器的设计方法概述1、概念IIR数字滤波器的设计，是指按照给出的滤波器的技术指标要求，用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数H(z)逼近这些性能指标，并求出该系统函数H(z)的系数ak,bk2、IIR数字滤波器设计方法概述根据给出的滤波器的技术指标要求，先设计出一个模拟滤波器，得到其系统函数Ha(s)，然后再按一定的算法(冲激响应不变法或双线性变换法)，将Ha(s)转换成满足预定指标要求的数字滤波器的系统函数H(z)。该设计方法的实质：是一个S平面到Z平面的复变函数的映射变换，即有注意，该映射变换必须要满足以下2个条件：（1）S平面虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆ejω上（2）S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部|z|<1下面先讨论模拟滤波器的设计方法，再介绍由模拟滤波器变换为IIR数字滤波器的两种映射变换：冲激响应不变法和双线性变换法。6.2模拟滤波器的设计一、理想模拟滤波器的幅频特性二、模拟滤波器的典型类型三、低通模拟滤波器的设计四、高通模拟滤波器的设计五、带通模拟滤波器的设计六、带阻模拟滤波器的设计6.2模拟滤波器的设计一、理想模拟滤波器的幅频特性巴特沃斯（Butterworth）滤波器：具有单调下降的幅度特性在通带内有最大平坦的幅度特性。切比雪夫（Chebyshev）滤波器：通带或阻带有波动，可以提高选择性。贝赛尔（Bessel）滤波器：通带内有较好的线性相位特性椭圆（Ellipse0滤波器：选择性相对其它三种是最好的,但在通带和阻带内均有等波纹的幅频特性。二、模拟滤波器的典型类型6.2模拟滤波器的设计三、模拟低通滤波器的设计●设计指标通带截止频率阻带截止频率通带衰减阻带衰减低通滤波器的幅度特性3dB截止频率按给定的技术指标，设计出模拟滤波器的系统函数●模拟滤波器设计含义●模拟滤波器的设计原则方法：按给出的幅频平方函数逼近，不考虑相位。前提：冲激响应ha(t)是实函数式中Ha(s)是系统函数；Ha(jΩ)是频率响应；|Ha(jΩ)|是幅频特性问题：如何根据Ha(s)Ha(-s)求Ha(s)？思路：冲激响应ha(t)是实函数，所以Ha(s)Ha(-s)的极、零点是成象限对称分布的确定Ha(s)的极点：要求Ha(s)必须稳定，因此其极点必定落在s平面的左半平面！确定Ha(s)的零点：零点的分布只和滤波器的相位特征有关，如无特殊要求，可将以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半作为（应为共轭对）取为Ha(s)的零点，虚轴上的一半零点（以原点为对称轴）归为Ha(s)的零点。再根据Ha(s)的极、零点可确定其增益常数，最终得到系统函数Ha(s)（1）由幅度平方函数求得象限对称的S平面函数（2）将因式分解，得到Ha(s)的零、极点（3）求解Ha(s)的增益常数（4）由零、极点及增益常数，得 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：例2在MATLAB中设计一个4阶巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器，其3dB截止频率为0.3rad/s。MATLAB程序如下：[b,a]=butter(4,0.3,'low','s');freqs(b,a)；右图是所设计的4阶巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器的频率响应曲线。例3在MATLAB中设计一个6阶椭圆低通模拟滤波器，要求通带最大衰减3dB，阻带最小衰减30dB，其截止频率为100rad/s。MATLAB程序如下：[b,a]=ellip(6,3,30,100,'low','s');freqs(b,a);右图是所设计的6阶椭圆低通模拟滤波器的频率响应曲线。四、高通模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成要求类型(高通,带通等)，而低通是通过幅度平方函数来设计的。低通模拟滤波器的系统函数高通模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的3dB通带截止频率高通模拟滤波器的3dB通带边界频率频率变换关系例4在MATLAB中设计一个24阶贝赛尔（bessel）高通模拟滤波器，其3dB通带边界频率为100rad/s。MATLAB程序如下：[b,a]=besself(24,100,'high','s');freqs(b,a)；右图是所设计的24阶贝赛尔（bessel）模拟高通滤波器的频率响应曲线。五、带通模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所要设计的带通模拟滤波器。低通模拟滤波器的系统函数带通模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的3dB通带截止频率带通模拟滤波器的3dB通带几何中心频率频率变换关系带通模拟滤波器的3dB通带上、下边界频率B是带通模拟滤波器的3dB通带例5在MATLAB中设计一个20阶巴特沃斯带通模拟滤波器，其3dB通带频率为100---1000rad/s。MATLAB程序如下：[b,a]=butter(20,[100,1000],'s');freqs(b,a)；右图是所设计的20阶巴特沃斯带通模拟滤波器的频率响应曲线。六、带阻模拟滤波器的设计方法：先设计出低通模拟滤波器，再通过频率变换转换成所要设计的带阻模拟滤波器。低通模拟滤波器的系统函数带阻模拟滤波器的系统函数低通模拟滤波器的3dB通带截止频率，且带阻模拟滤波器的3dB阻带几何中心频率频率变换关系带阻模拟滤波器的3dB通带上、下边界频率B是带阻模拟滤波器的阻带带宽例6在MATLAB中设计一个24阶切比雪夫I型的带阻模拟滤波器，其3dB阻带的上、下边界频率分别为100rad/s和1000rad/s。通带最大衰减为3dB。MATLAB程序如下：[b,a]=cheby1(12,3,[100,1000],'stop','s');freqs(b,a);右图是所设计的24阶切比雪夫I型带阻模拟滤波器的频率响应曲线。6.3冲激响应不变法一、设计原理二、映射关系三、主要特点与适用范围四、例子6.3冲激响应不变法一、设计原理根据给出的数字滤波器的技术指标要求，先设计出一个模拟滤波器，得到其系统函数Ha(s)，然后再按冲激响应不变法，将模拟滤波器的系统函数Ha(s)转换成满足预定指标要求的数字滤波器的系统函数H(z)。冲激响应不变法的基本思想是：使数字滤波器的单位冲激响应h(n)与相应的模拟滤波器的冲激响应ha(t)，在采样点处的量值相等，即有：h(n)=ha(nT)，T是采样周期一、设计原理具体的转换过程如下：模拟滤波器数字滤波器是的单阶极点，得到对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数为：二、映射关系对模拟滤波器全是单极点情况，即例1：解：已知模拟滤波器的系统函数为用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。给定采样间隔T=1s的极点根据冲激响应不变法，求得数字滤波器的系统函数为：映射关系对于任意整数M,都有：平面是多对一的映射频率是线性关系！冲激响应不变法平面的映射关系,平面与平面之间的映射关系多对一的映射冲激响应不变法的映射关系s平面中每一个带状区的左半边映射到Z平面的单位圆内；s平面中每一个带状区的右半边映射到Z平面的单位圆外部。s平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。带状区的宽度为由采样序列的Z变换与原模拟信号的拉氏变换的关系，得到数字滤波器与模拟滤波器的频率响应间的关系为数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且满足采样定理时，数字滤波器的频率响应才不产生频率混叠失真提高采样频率为fs，可减小频率响应的混叠效应冲激响应不变法的缺点------频率混叠失真数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：冲激响应不变法中的频响混叠现象不是带限信号频响混叠现象三、冲激响应不变法的特点主要特点与适用范围◆优点：，与呈线性关系，数字滤波器能很好地重现原模拟滤波器的频响；◆缺点：数字滤波器在附近存在频率混叠现象，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标，◆适用范围：只适合设计低通和带通滤波器。不适合设计高通和带阻滤波器。例2在MATLAB中用冲激响应不变法设计一个4阶巴特沃斯低通数字滤波器，要求：模拟滤波器的截止频率为0.3rad/s,采样频率为10Hz,比较数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应。MATLAB程序如下：[b,a]=butter(4,0.3,'s');%首先设计3阶巴特沃斯低通模拟滤波器[bz,az]=impinvar(b,a,10)%对模拟滤波器的冲激响应进行10Hz采样sys=tf(b,a);%求模拟滤波器的系统函数subplot(1,2,1);impulse(sys);%绘制模拟滤波器的冲激响应title('模拟滤波器的冲激响应');gridon;subplot(1,2,2);dimpulse(bz,az);%绘制数字滤波器的冲激响应title('数字滤波器的冲激响应');gridon;所设计的数字滤波器和模拟滤波器的单位冲激响应曲线6.4双线性变换法一、设计原理二、映射关系三、主要特点与适用范围四、双线性变换法设计举例五、总结：用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤。一、设计原理为了克服冲激响应不变法的频率混叠现象，提出了双线性变换法，它采用非线性的频率压缩方法，首先将整个频率轴的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上，使S平面与Z平面建立起一一对应的单值映射关系。具体的变换规则如下：（1）频率压缩：将整个S平面压缩变换到某个中介S1平面的一横带里（宽度为，即从到）。（2）数字化：将S1平面通过变换关系式映射到整个Z平面上。这样，S平面与Z平面就建立起了一一对应的单值映射关系，无多值性，消除了频谱的混叠失真。见下图二、映射关系上图映射关系的数学表示：频率压缩：将S平面上整个频率轴映射到S1平面的横带里（即从到），可采用如下变换关系：其中c为常数。数字化：由得到：用欧拉公式展开得到：将上述关系式延拓到整个S平面和S1平面，即：二、映射关系再将S1平面通过变换关系式映射到整个Z平面上。得到：所谓“双线性”变换，是指变换公式：中s与z的关系无论是分子部分，还是分母部分都是“线性”的。总结：双线性变换法的变换公式为：频率响应：二、映射关系关于上述关系式中变换常数c的选择，有2种常用方法：方法1：根据模拟滤波器和数字滤波器在低频处的频率近似相等，即有：将这一近似关系代入到得到：（采样频率）二、映射关系严格对应。例如1：按照3dB截止频率来严格对应，得到：方法2：使模拟滤波器的某一频率和数字滤波器的相应数字频率按照频率变换公式：例如2：按照通带频率来严格对应，得到：例如3：按照阻带频率来严格对应，得到：三、主要特点与适用范围优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、带通、高通和带阻）；缺点：即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相频特性失真，影响数字滤波器模仿模拟滤波器频响的逼真程度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线性变换法。三、主要特点与适用范围优点：不存在频率混叠现象，几乎适合所有的滤波器（低通、带通、高通和带阻）；缺点：即模拟频率和数字频率之间是非线性关系，会产生相频特性失真，影响数字滤波器模仿模拟滤波器频响的逼真程度。如果对滤波器的相频特性要求较高，则不适合采用双线性变换法。四、双线性变换法设计举例当模拟滤波器的系统函数的表达式为有理分式时，即：采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数的表达式为：上式中Ｈa(s)的系数与H(z)的系数之间的关系，见下表例1采用双线性变换法设计三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4kHz，其3dB截止频率为fc=1kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器的系统函数为是模拟滤波器的3dB截止频率解:把3dB截止频率fc=1kHz转化成对应的数字频率ωc=2πfcT=2πfc/fs=0.5π由于采用双线性变换法，则对应的模拟滤波器的截止频率为将Ωc代入到三阶模拟巴特沃思滤波器的Ha(s)，得到采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为数字滤波器的频率响应为用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性例2已知模拟低通滤波器的系统函数为其3dB通带角频率。用双线性变换法设计对应的数字低通滤波器，给定其采样角频率为，3dB通带角频率解:把数字低通滤波器的3dB通带角频率转化成对应的数字频率由于采用双线性变换法，求出系数c为：采用双线性变换法，得到数字滤波器的系统函数为五、总结：用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤(1)确定数字滤波器的技术指标：例如通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs等。(2)将数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用双线性变换法，则：如果采用冲激响应不变法，则：(3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器。(4)用冲激响应不变法或双线性变换法，将模拟滤波器Ha(s)从s平面转换到z平面，得到数字滤波器的系统函数H(z)和频率响应。6.5数字频率变换法一、原理二、数字频率变换的计算公式三、举例一、原理数字频率变换法分两步：1、先将归一化的模拟原型低通滤波器(通带截止频率Ωc=1)通过冲激响应不变法或双线性变换法转换为数字低通滤波器；2、然后通过数字域的频率变换，把数字低通滤波器转换为所需类型（数字低通、数字高通、数字带通、数字带阻等）的数字滤波器。其中第1步前面已经讨论了，下面主要讨论第2步如何实现。表示原型数字低通滤波器的系统函数，表示转换后的其他类型的数字滤波器的系统函数，则转换函数可以表示成:其中：z表示原来的原型数字低通滤波器所在的z平面，Z表示新的其他类型的数字滤波器所在的z平面。问题：原型数字低通滤波器如何转换成其他类型的数字滤波器？设转换关系为：二、数字频率变换的计算公式条件1：由于数字滤波器的系统函数都是复变量的有理函数，所以转换后的系统函数仍要是Z-1的有理函数，即要求转换函数G(Z-1)也必须是Z-1的有理函数；条件2：转换后要保证数字滤波器还是稳定的因果系统，即：原来的z平面单位圆内的点映射到新的Z平面之后,还在单位圆之内;条件3：频率轴应能对应起来,即：原来z平面的单位圆还能映射到新的Z平面的单位圆上。1）转换函数转换应满足的条件：按条件3，在单位圆上，有：是全通函数！由条件1，即要求转换函数G(Z-1)也必须是Z-1的有理函数，再结合转换函数G(Z-1)是全通函数，得到：是转换函数G(Z-1)的极点，N是它的阶数。为使新的系统是稳定的（条件2），要求极点在单位园之内：转换函数G(Z-1)的零点为：（极点的共轭倒数）可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 （略）：当此时全通型的转换函数的相角时的变化量为因此，选择合适的阶数N及,可得到不同的变换,于是就可以得到所需要类型的数字滤波器。具体公式见下表θc：原型低通数字滤波器的截止频率三、数字频率变换法举例（教材P167的例题6-14）用数字频率变换法设计一个3阶的巴特沃斯高通数字滤波器，采样频率fs=6kHz，截止频率fc=1.5kHz。(1)计算模拟低通原型滤波器的系统函数，N=3，3阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的系统函数为(2)用双线性变换法，把该3阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器转换成数字低通滤波器：由上式，得到：计算该原型低通数字滤波器的截止频率θc：采用双线性变换法，得到（注意：模拟原型低通滤波器的通带截止频率Ωc=1）再计算所设计的高通数字滤波器的截止频率为：再计算数字频率变换所需要的参数：最后使用数字频率变换公式计算出所设计的3阶的巴特沃斯高通数字滤波器的系统函数（见P166的表6-4）