Newton-Cotes求积公式

§4.2Newton-Cotes求积公式总结4.2.3Newton-Cotes公式的误差分析4.2.2Newton-Cotes求积公式4.2.1插值型求积法数值求积法与代数精度　　我们的目的就是根据一定原则,　选择求积节点xk和系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度,同时又计算简单。权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 f(x)的具体形式。使积分公式具有通用性右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式．其中xk称为积分节点,Ak为求积系数,也称之为伴随节点xk的权．　　(4.2.1)一、求积公式的代数精度记称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差).构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；(ii)　求积公式的误差估计和收敛性为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定求积 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 精度高低准则.用什么 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准．在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度的定义．数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。定义4.1如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多因此有等价定义。项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm精确成立即可。等价定义4.1´若(4.2.1)对于1，x,…,xm都精确成立，对xm+1不精确成立，则称(4.2.1)的代数精度为m。因为函数组(1，x,…,xm)是　　　　的一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应用时，定义4.1′比定义4.1要方便的多．由定义4.1’可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m，则求积系数Ak应满足线性方程组：（4.2.4）这是关于Ak的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵,当互异时非奇异,故有唯一解。如果事先选定求积节点，如，以区间［a,b]的等距节点依次为节点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4),即可确定系数　　从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。例4.4考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1分析：由等价定义,求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。解：所以该求积公式的代数精度m=3。例4.5例4.6试构造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0解:令公式对f(x)=1,x,x2均准确成立,则有3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得A0=h,A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0而当f(x)=x3时,公式的左边=81h4/4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;二、数值求积公式的收敛性与稳定性即：初始数据的误差没有引起计算结果的误差增大，即计算是稳定的。定理4.1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，只要求积系数Ak＞0(k＝0,1,…,n)，就能保证计算的稳定性．定理4.1若求积公式(4.2.1)中系数Ak＞0(k＝0，1，…，n)，则此求积公式是稳定的．证明:所以求积公式(4.2.1)是稳定的．问题：4.2.1插值型求积法插值基函数插值多项式1、方法与f无关,记为Ai其中求积系数(4.2.5)定义4.4对给定互异求积节点,若求积系数是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。由节点 决定 郑伟家庭教育讲座全集个人独资股东决定成立安全领导小组关于成立临时党支部关于注销分公司决定 ，与f(x)无关2、求积余项若,(4.2.5)是插值型求积公式,其中与变量x有关,记作x。特别地,如果求积公式是插值型的,按余项式,对于次数≤n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．则有余项公式定理4.2形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）证明充分性若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取时所以有,即求积公式为插值型求积公式证:必要性设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为又当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=Ln(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。推论1求积系数满足:(可用此检验计算求积系数的正确性)例4.7给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积公式证:设,则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。插值型求积公式为练习4.1求证不是插值型的求积公式。证明:设x0=-1,x1=0,x2=1,A0=1/2,A1=1,A2=1/2则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为构造插值型求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性(1)在积分区间[a,b]上选取节点xk(2)求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了(3)利用f(x)=xn,…验算代数精度构造插值求积公式的步骤例4.8对构造一个至少有3次代数精度的求积公式确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度解:3次代数精度需4个节点,在[0,3]上取0,1,2,3四个节点构造求积公式解：因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为故求积公式为例4.9给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的余项。其中ξ属于(0,1)并依赖于x。若在[0,1]上存在，则该求积公式的余项为在插值型求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式.其中插值多项式求积系数这里是插值基函数。4.2.2牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式1、求积系数的形式：节点等距分布：把[a,b]n等分，用插值Ln(x)近似f(x)积分，有Cotes系数因此,Newton-Cotes公式为称为柯特斯系数.　柯特斯系数不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关．Newton-Cotes公式是一类数值积分公式，它是封闭公式（区间端点也是积分节点），它是由拉格朗日插值公式推导来的．由于是多项式积分，Cotes系数计算不会遇到实质性困难。2、常用的Newton-Cotes公式：这就是抛物线公式，又称辛浦生—Simpson公式。几何意义就是用抛物线下的面积近似曲线f(x)下的面积。当n=3时，称之为Newton公式。(4.2.12)这就是柯特斯公式（Cotes)当n较大时，例如n=8时，系数中出现负数，而且有正有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用n较大的公式，而是将区间[a,b]分割成若干个小区间，对每个或几个小区间应用n较小的公式去计算。Cotes系数表附后.(4.2.13)当n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性(Ak>0)和收敛性，因此实用的只是低阶公式。Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到(给出了n从1～8的柯特斯系数)。Cotes系数与f(x)及区间[a,b]均无关。例4.10分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算(2)用辛卜生公式(3)用柯特斯公式计算，系数为积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐渐提高。引理：n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.证明：如果f(x)是一个次数不超过n次的多项式，则f(n+1)(x)0,其拉格朗日插值公式的插值余项为：即，Newton-Cotes公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.故f(x)=Pn(x),这是对一切x均相等，精确成立．所以，结论：当n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n；　　　当n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1(稍后再证明)2、Cotes系数特点：即有　　由引理知，求积公式至少有n次代数精度,对于1,积分公式总是精确成立,(-1)n+k=(-1)n-k4.2.3Newton-Cotes公式的误差分析1.偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，n阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n次的插值精度（定理3.2）。从上面几个特殊的公式可以猜想,n为偶数时,代数精度还可进一步提高，先看Simpson公式，它是二阶Newton---Cotes公式,因此至少具有二次代数精度。进一步用x3进行检验。按Simpson公式计算得：另一方面，直接求积分得：易验证S=I,即Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立。易验证此时S≠I（b≠a时）因此Simpson公式实际上具有3次代数精度。定理4.3当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有n+1次代数精度.说明：为了既保证精度又节约时间，尽量选用n是偶数的情形。一般地，可以证明下述定理:证明只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f(x)=xn+1的余项为零.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!.由式(4.2.7)得引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,由上述积分区间是[-n/2,n/2],被积函数于是有被积函数是个奇函数.（n+1)个乘积,(u-j)(u+j)为偶函数，j=0时，u-j为奇函数。n=1:/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不变号,在[a,b]上连续,根据高等数学中的积分中值定理,在[a,b]上存在一点η,使因此2.几种低阶求积公式的余项(4.2.14)误差估计式为n=2:代数精度=3n=3:Newton公式,代数精度=3,n=4:Cotes公式,代数精度=5,n为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。(4.2..15)(4.2.16)(4.2.17)例4.11用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:1.辛卜生公式由于由辛卜生公式余项知其误差为解:2.柯特斯公式知其误差为例4.12用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)该定积分的准确值,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。3.Newton-Cotes公式的计算稳定性问题由定理3.1知若求积公式中求积系数Ak>0(k=0,1,…n),由此求积公式是稳定的.Newton-Cotes公式的系数当n小于8时均为正值,而当n大于等于8时才出现负值.解用梯形公式计算:=2.1835估计截断误差为=0.6796用Simpson公式计算：=2.0263．例4.13试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差.估计截断误差为=198.43=0.068904.Newton-Cotes公式的计算收敛性问题（2）理解N-C公式的推导并掌握其系数的特点。作业:（3）理解N-C公式的收敛性及数值稳定性。（1）理解掌握数值求积公式的概念及其代数精度的定义并会求插值型求积公式。梯形公式代数精度=1Simpson公式代数精度=3柯特斯公式（Cotes)代数精度=5,