常微分方程课后答案习题4.1

习题4.1 5 1. 设 和 是区间 上的连续函数，证明：如果在区间 上有 常数或 常数，则 和 在区间 上线形无关。 证明：假设在 ， 在区间 上线形相关 则存在不全为零的常数 ， ，使得 那么不妨设 不为零，则有 显然 为常数，与题矛盾，即假设不成立 ， 在区间 上线形无关 2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设 ， 分别是非齐线形方程 EMBED Equation.3 （1） EMBED Equation.3 （2） 的解，则 + 是方程 EMBED Equation.3 + 的解。 证明：由题可知 ， 分别是方程（1），（2）的解 则： （3） （4） 那么由（3）+（4）得： EMBED Equation.3 + 即 + 是方程是 EMBED Equation.3 + 的解。 3. 试验证 0的基本解组为 ，并求方程 EMBED Equation.3 的通解。 证明：由题将 代入方程 0得： - =0,即 是该方程的解， 同理求得 也是该方程的解 又显然 线形无关，故 是 0的基本解组。 由题可设所求通解为： EMBED Equation.3 ，则有： 解之得： 故所求通解为： 4. 试验证 0有基本解组t， ，并求方程 t-1的通解。 解：由题将t代入方程 0得： ，即t为该方程的解 同理 也是该方程的解，又显然t， 线形无关， 故t， 是方程 0的基本解组 由题可设所求通解为 ，则有： 解之得： 故所求通解为 5. 以知方程 0的基本解组为 ，求此方程适合初始条件 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ）并求出方程的适合初始条件 的解。 解： 时间方程 0的基本解组，故存在常数 使得： 于是： 令t=0,则有方程适合初始条件 ，于是有： 解得： EMBED Equation.3 故 又该方程适合初始条件 ，于是： 解得： 故 显然 ， 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为： ， 而此方程同时满足初始条件 ，于是： 解得： 故 满足要求的解。 6. 设 EMBED Equation.3 是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为 ，试证明 满足一阶线形方程 ，因而有： EMBED Equation.3 解： 又 EMBED Equation.3 满足 即 则： 即 则有： 即： 7. 假设 是二阶齐线形方程 （*）的解，这里 在区间 上连续，试证：（1） 是方程的解的充要条件为： ；（2）方程的通解可以表示为： ,其中 为常数, 　证：（１） （２）因为 为方程的解，则由刘维尔公式 两边都乘以 则有： ，于是： 从而方程的通解可表示为： ,其中 为常数, 。 8. 试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。 证：设 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数 ，使得： （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有 又 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有： 即（1）是线形无关的。 　　　 � EMBED Equation.3 ��� _1164201028.unknown _1164207718.unknown _1164272147.unknown _1164281355.unknown _1164281585.unknown _1164374761.unknown _1164375818.unknown _1164376034.unknown _1164376111.unknown _1164376751.unknown _1164376847.unknown _1164376098.unknown _1164375208.unknown _1164375222.unknown _1164375765.unknown _1164374803.unknown _1164373210.unknown _1164373829.unknown _1164374605.unknown _1164372996.unknown _1164373021.unknown _1164372752.unknown _1164281520.unknown _1164281390.unknown _1164272845.unknown _1164276018.unknown _1164276049.unknown _1164273063.unknown _1164272508.unknown _1164272527.unknown _1164272482.unknown _1164208200.unknown _1164210422.unknown _1164210543.unknown _1164271968.unknown _1164210529.unknown _1164208708.unknown _1164208755.unknown _1164208906.unknown _1164209312.unknown _1164208729.unknown _1164208300.unknown _1164207972.unknown _1164208109.unknown _1164208126.unknown _1164207980.unknown _1164207784.unknown _1164207844.unknown _1164207879.unknown _1164207769.unknown _1164204086.unknown _1164206097.unknown _1164207119.unknown _1164207571.unknown _1164207680.unknown _1164207695.unknown _1164207346.unknown _1164207487.unknown _1164207207.unknown _1164206813.unknown _1164207080.unknown _1164206918.unknown _1164206241.unknown _1164205546.unknown _1164206011.unknown _1164206031.unknown _1164205566.unknown _1164205943.unknown _1164205043.unknown _1164205141.unknown _1164204758.unknown _1164202152.unknown _1164203379.unknown _1164203885.unknown _1164203967.unknown _1164203496.unknown _1164203237.unknown _1164203290.unknown _1164202560.unknown _1164202353.unknown _1164201732.unknown _1164201746.unknown _1164201760.unknown _1164201335.unknown _1164201706.unknown _1164201283.unknown _1164200143.unknown _1164200193.unknown _1164200589.unknown _1164200631.unknown _1164200819.unknown _1164200616.unknown _1164200269.unknown _1164200285.unknown _1164200227.unknown _1164200180.unknown _1164200076.unknown