习题 4.3
1. 解：
.
2. 解：
.
3. 解：
，
EMBED Equation.3 ，
，故有
，
显然，当
时，
，而当
时，
，所以，当
时，
为最小值.
4. 解：
，
.虽然行列式值很小，近乎奇异，但条件数却不大.
5. 解：其系数行列式的值为1，其真解为
，系数阵
的逆阵为
，
，这对
矩阵而言，是大的，有可能病态.
6. 解：
，
，故得
7. 解：（1）
；
（2）
；
从上可看出，右端项的摄动，对解的影响较大，一般地，若
，则
，利用（1）的结果，若
，则
，故当
EMBED Equation.3 ，利用
，得
，
，
，
.
8. 解：（1）
；
（2）
.
9. 解：
.可见，当系数矩阵有微小误差（摄
动）时，引起了解的较大变化）.
10．解：（1）
；与真解相差较大.
（2）
；与（1）比较，相差较大.
（3）
；与真解靠得较近，说明运算时随着有效数字的增加（摄动减小），解的精度会增加.
11. 解：根据圆盘定理知，
的特征值都在复数平面上的几个圆盘
的并集内，这里
.所以，
的四个特征值都落在下列的四个盖尔圆的并集内：
；
；
；
.
12. 证: 由圆盘定理又知，
的任一由
个盖尔圆组成的连通部分里，有且只有
的
个特征值，那么由两个外切圆构成的连通部分里，矩阵
有且只有两个特征值.如果在每个圆上有二个特征值，则在连通部分
就有至少有3个特征值，这与前述结论矛盾 .
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