历年考研数学三真题及解析2007年考研数学三真题及解析

2007年考研数学（三）真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） 当 时，与 等价的无穷小量是（ ） . 设函数 在 处连续，下列命题错误的是： ( ) .若 存在，则 若 存在，则 .若 存在，则 存在 若 存在，则 存在 如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（ ） . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 设函数 连续，则二次积分 等于（ ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 曲线 渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3 （7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是( ) （A） EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 （C） (D) （8）设矩阵 ， 则A与B （ ） （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( ) (10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示X, Y的概率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为( ) （A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） . （12）设函数 ，则 . （13）设 是二元可微函数， 则 ________. （14）微分方程 满足 的特解为__________. （15）设距阵 则 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分 其中 （19）（本题满分11分） 设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ＝ ， ＝ ，证明： （Ⅰ）存在 使得 ； （Ⅱ）存在 使得 （20）（本题满分10分） 将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间. （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特征值 是A的属于 的一个特征向量.记 ，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分） 设二维随机变量 的概率密度为 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的概率密度 . （24）（本题满分11分） 设总体 的概率密度为 . 其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值. （Ⅰ）求参数 的矩估计量 ； （Ⅱ）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由. 2007年考研数学（三）真题 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） 当 时，与 等价的无穷小量是（B） . 设函数 在 处连续，下列命题错误的是： (D) .若 存在，则 若 存在，则 .若 存在，则 存在 若 存在，则 存在 如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设 则下列结论正确的是：（C ） . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 设函数 连续，则二次积分 等于（B） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D） 10 20 30 40 曲线 渐近线的条数为（D） 0 1 2 3 （7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A） EMBED Equation.DSMT4 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) (D) （8）设矩阵 ， 则A与B （B） （A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C) (10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示X, Y的概率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为 (A) （A） (B) (C) (D) 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） . （12）设函数 ，则 . （13）设 是二元可微函数， 则 . （14）微分方程 满足 的特解为 . （15）设距阵 则 的秩为＿＿1＿＿＿. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为＿ ＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】： （18）（本题满分11分） 设二元函数 计算二重积分 其中 【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设 是D在第一象限中的部分，即 利用被积函数 无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得 设 ，其中 于是 由于 ，故 为计算 上的二重积分，可引入极坐标 满足 .在极坐标系 中 的方程是 的方程是， ，因而 ，故 令 作换元，则 ，于是 且 ，代入即得 综合以上计算结果可知 （19）（本题满分11分） 设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ＝ ， ＝ ，证明： （Ⅰ）存在 使得 ； （Ⅱ）存在 使得 【详解】：证明：(1)设 在 内某点 同时取得最大值，则 ，此时的c就是所求点 .若两个函数取得最大值的点不同则有设 故有 ，由介值定理，在 内肯定存在 (2)由(1)和罗尔定理在区间 内分别存在一点 ＝0在区间 内再用罗尔定理，即 . （20）（本题满分10分） 将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】： 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 的解. 即距阵 EMBED Equation.DSMT4 方程组(3)有解的充要条件为 . 当 时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为 此时的公共解为： 当 时，方程组(3)的系数距阵为 此时方程组(3)的解为 ，即公共解为： （22）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A的特征值 是A的属于 的一个特征向量.记 ，其中E为3阶单位矩阵. （Ⅰ）验证 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证 ，于是 于是 是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 ， 所以B的全部特征值为－2，1，1. 前面已经求得 为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为 ，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为 因而，矩阵B属于 的特征向量是是 ，其中 是不为零的任意常数. 矩阵B属于 的特征向量是是 ，其中 是不为零的任意常数. （Ⅱ）由 有 令矩阵 ， 则 ，所以 那么 （23）（本题满分11分） 设二维随机变量 的概率密度为 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的概率密度 . 【详解】： （Ⅰ） ，其中D为 中 的那部分区域； 求此二重积分可得 （Ⅱ） 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 当 时， 于是 （24）（本题满分11分） 设总体 的概率密度为 . 其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值. （Ⅰ）求参数 的矩估计量 ； （Ⅱ）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由. 【详解】： （Ⅰ）记 ，则 ， 解出 ，因此参数 的矩估计量为 ； （Ⅱ）只须验证 是否为 即可，而 ，而 ， ， ， 于是 因此 不是为 的无偏估计量. - 2 - _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568177.unknown _1234568209.unknown _1234568225.unknown _1234568241.unknown _1234568249.unknown _1234568253.unknown _1234568255.unknown _1234568257.unknown _1234568259.unknown _1234568260.unknown _1234568258.unknown _1234568256.unknown _1234568254.unknown _1234568251.unknown _1234568252.unknown _1234568250.unknown _1234568245.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568246.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown 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